1、足球構(gòu)造中的數(shù)學(xué)問(wèn)題足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為當(dāng)今世界第一體育運(yùn)動(dòng)，四年一度的世界杯足球賽吸引了數(shù)以萬(wàn)計(jì)學(xué)生的關(guān)注。但調(diào)查顯示，盡管參加足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中有95%知道足球是由黑、白兩色皮革私合或縫制而成，但知道黑、白兩色皮革的形狀、塊數(shù)的僅有28.2%和5.6%，至于足球的表面結(jié)構(gòu)與正多面體的關(guān)系則很少有人知曉。為此，以中學(xué)學(xué)科知識(shí)為基礎(chǔ)，我們開(kāi)展了一次富有成效的研究性學(xué)習(xí)。一、走訪調(diào)查通過(guò)走訪足球生產(chǎn)廠家、體育用品商店、足球教練以及中學(xué)體育教師，我們獲得了許多與足球有關(guān)的知識(shí)。1.球的外形。足球雖然是球體，但實(shí)際上是由黑、白兩色皮革勃合或縫制成的多面體加工而成的。足球不得使用可能傷害運(yùn)動(dòng)員的材料，通常用皮

2、革或其他適當(dāng)材料制作。其中黑色皮為正五邊形，白色皮為正六邊形，表面之間具有下列特征:黑色皮周圍都是白色皮;每?jī)蓚€(gè)相鄰的多邊形恰好有一條公共邊;每個(gè)頂點(diǎn)都是三塊皮的公共點(diǎn)，且為一黑二白。(圖l) .2.相關(guān)數(shù)據(jù)。正式比賽用球，其大圓的圓周長(zhǎng)在68cm至7Icm之間，球的質(zhì)量應(yīng)在396 g至453 g之間，充氣后其壓力應(yīng)在600g/cm2至1100g/cm2之間。3.充氣時(shí)的力學(xué)原理。當(dāng)空氣不斷地充人球體內(nèi)時(shí)，球內(nèi)的空氣質(zhì)量不斷增多，此時(shí)，球體內(nèi)壓強(qiáng)逐漸變大，可將球皮撐起(球體內(nèi)部氣體壓力將平衡大氣壓力及球皮張力)。二、研究?jī)?nèi)容1.黑、白兩色皮塊數(shù)的計(jì)算。依中學(xué)數(shù)學(xué)教材，簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)

3、E及面數(shù)F有關(guān)系V+F-E=2(歐拉定理)。假設(shè)黑、白兩色皮各有x，y塊，則面數(shù)F=x+y；由于每條棱均為兩個(gè)面的交線，以棱數(shù)E=(5x+6y)/2; 每個(gè)頂點(diǎn)均為三個(gè)面的公共點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)v=(5x+6y)/3。由歐拉定理，有(5x+6y)/3+( x+y)- (5x+6y)/2 =2。 又因?yàn)槊繅K白色皮對(duì)應(yīng)的六邊形中有三條邊與其他白色皮相連，剩余三條邊與黑色皮相接，故 6y/2=5x。 解可得x=12，y=20，皮有20塊。即黑色皮有12塊，白色皮有20塊。此時(shí)，面數(shù)為32，頂點(diǎn)數(shù)為60，棱數(shù)為90。2.球體與正多面體的關(guān)系。由教材中的相關(guān)知識(shí)可知，每個(gè)面都是相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂

4、點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體稱為正多面體。利用歐拉定理可以證明，正多面體只有五種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。經(jīng)過(guò)計(jì)算，上述五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)均不是60，因此，都不是足球表面的結(jié)構(gòu)。要想得到有60個(gè)頂點(diǎn)的多面體，可以采用把正多面體的頂角截下來(lái)的辦法。因?yàn)樵诮亟菚r(shí)，每截下原來(lái)的一個(gè)頂角，便會(huì)產(chǎn)生更多的頂角。通過(guò)嘗試，發(fā)現(xiàn)對(duì)正二十面體利用平截的方法截角，可以實(shí)現(xiàn)這樣的設(shè)想:在每個(gè)頂點(diǎn)的棱邊的1/3處將頂角截去，由于正二十面體有12個(gè)頂角，削3去這12個(gè)頂角后，可使這12個(gè)平截的地方變成12個(gè)五邊形，且剩下的面全變成六邊形(一共有20個(gè))，最后得到一個(gè)由12個(gè)五邊形和

5、20個(gè)六邊形組成的三十二面體。它的頂點(diǎn)數(shù)為60，棱邊數(shù)為90，面數(shù)為32，此為足球表面的多面體結(jié)構(gòu)(圖2)。3.足球與C60。在中學(xué)化學(xué)教材中，碳的第三種同素異形體C60的分子結(jié)構(gòu)被形象地稱為“足球分子”。那么，C60的分子結(jié)構(gòu)與足球有何關(guān)系呢?在C60被發(fā)現(xiàn)之前，人們對(duì)碳的同素異形體的認(rèn)識(shí)僅停留在金剛石和石墨上。金剛石是由許多正四面體分子結(jié)構(gòu)組成的，每個(gè)四面體由四個(gè)正三角形組成。它的硬度極高，折光率也高。石墨則是由許多六邊形排成的平面層狀分子組成的，層與層之間連接很弱。它的硬度很低，潤(rùn)滑性好。據(jù)資料介紹，1985年國(guó)外的幾位科學(xué)家在一次實(shí)驗(yàn)中，偶爾發(fā)現(xiàn)了碳的第三種同素異形體C60。但它的分子

6、結(jié)構(gòu)究竟怎樣，一直困擾著這幾位科學(xué)家，因?yàn)椴恢浞肿咏Y(jié)構(gòu)，就無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行相關(guān)研究。他們中的一位科學(xué)家曾經(jīng)參觀過(guò)加拿大蒙特利爾萬(wàn)國(guó)博覽會(huì)中的美國(guó)館。美國(guó)館是一座外形奇特的球形建筑，其球頂由正五邊形和正六邊形組成，整個(gè)建筑沒(méi)有任何柱子或內(nèi)部支撐物，參觀者可以從各個(gè)角度對(duì)館內(nèi)景象一覽無(wú)余。他們正是受該博覽館的啟發(fā)，大膽地提出了C60的分子結(jié)構(gòu)模型:由12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形構(gòu)成的一個(gè)中空球體，即C60的分子結(jié)構(gòu)酷像足球。因此稱C60的分子結(jié)構(gòu)為“足球分子”或“足球烯”(圖3)。無(wú)獨(dú)有偶，在1997年全國(guó)高校統(tǒng)一招生考試的化學(xué)試卷中，就有一道以此為背景的試題:1996年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)C

7、60有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家。C60是由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，它是一個(gè)形如足球的多面體，這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，以每一個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有三條棱，面的形狀只有五邊形和六邊形。試計(jì)算五邊形和六邊形的個(gè)數(shù)。三、結(jié)論1.足球是由邊長(zhǎng)相等的黑色皮正五邊形12塊與白色皮正六邊形20塊翻合或縫制而成。在正二十面體的每個(gè)頂點(diǎn)的棱邊的奮處進(jìn)行平截，可得足球表面的多面體結(jié)構(gòu)。由于C60的分子結(jié)構(gòu)類似于足球的表面結(jié)構(gòu)，因此，C60的分子結(jié)構(gòu)又稱為“足球分子”。2. 12塊正五邊形和20塊正六邊形拼成一個(gè)完美無(wú)缺的“三十二面體”球面，象征著參加世界杯決賽的32支隊(duì)伍從五大洲、四大洋匯聚在一起，共同交流文化、切磋球技、展示風(fēng)采，并以此促進(jìn)足球運(yùn)動(dòng)的不斷發(fā)展。足球在運(yùn)動(dòng)員腳下創(chuàng)造了無(wú)數(shù)奇