第二章多項(xiàng)式

第一節(jié)定義及基本定理

一、整式的相關(guān)概念

(1)代數(shù)式：由數(shù)和字母經(jīng)過有限次的加、減、乘、除、乘方、開方等代數(shù)運(yùn)算得到的式

子，稱為代數(shù)式。單個(gè)數(shù)字或字母也是代數(shù)式。

(2)單項(xiàng)式：有限個(gè)數(shù)字與字母的乘積稱作單項(xiàng)式。

(3)多項(xiàng)式：有限個(gè)單項(xiàng)式相加減稱作多項(xiàng)式。

(4)整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

(5)同類項(xiàng)：若兩個(gè)單項(xiàng)式所含字母相同且相同字母的基次也相同，則稱這兩個(gè)單項(xiàng)式為

同類項(xiàng)。

(6)多項(xiàng)式相等：若兩個(gè)多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)均相等，則稱這兩個(gè)多項(xiàng)式相等。

二、一元n次多項(xiàng)式的定義

設(shè)n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，4,%,都是實(shí)數(shù)，R0,多項(xiàng)式+a“+H川++?lx+a0

被稱為系數(shù)在實(shí)數(shù)域中的一元n次多項(xiàng)式。所有系數(shù)均為0的多項(xiàng)式稱為零多項(xiàng)式，記為Oo

一般用/(x),g(x),〃(x),…表示多項(xiàng)式。

例如：/(%)=2%5-尤2+1是一個(gè)一元五次多項(xiàng)式；

8(%)=2三一犬+1是一個(gè)一元三次多項(xiàng)式；

/z(x)=x-l是一個(gè)一元一次多項(xiàng)式。

兩個(gè)多項(xiàng)式〃x)=a"x"+a“+W'M++qx+q),g(x)=Z?"x"++bix+b0,

則/(x)與g(x)的和、差、積仍然是一個(gè)多項(xiàng)式，但這兩個(gè)多項(xiàng)式的商不一定是一個(gè)多項(xiàng)

式。

三、整除及帶余除法

整除的定義：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式/(X)與g(x),其中g(shù)(x)不是零多項(xiàng)式，如

果存在人⑺，使得〃x)=成立，那么稱g(x)整除/(x),記為

此時(shí)g(X)就稱為/(%)的因式，/(X)稱為g(X)的倍式。

(2)整除的性質(zhì)：①若/z(x)|g(x),且g(x)|/(x),則〃(刈〃力。

②/?(x)|g(x),且〃(x),G),則MHKk/)丑x)].其中“(X),v(x)為

兩個(gè)任意多項(xiàng)式。

(3)定理(帶余除法)：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式/(x),g(x),其中g(shù)(x)不是零多項(xiàng)

式，則一定存在多項(xiàng)式q(x),r(x)使得/(x)="(x)g(x)+r(x)成立，這里r(x)為零

多項(xiàng)式或r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)，且g(x)和r(x)都是唯一的。q(x)稱為g(x)除

/(x)所得商式，r(x)稱為g(x)除/(%)所得余式。

四、余式定理、因式定理

(1)余式定理：用一次多項(xiàng)式(x-a)去除多項(xiàng)式/(x),所得的余式是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常

數(shù)值等于函數(shù)值/(a)。

(2)因式定理：/(%)能被(x-a)整除o/(x)含有因式(X—當(dāng)

/(。)=00(%-4)|/(》)0。是/'(%)=0的根。

[例題1]一個(gè)關(guān)于X的二次多項(xiàng)式/(X),它被(X-1)除余2,被(x-3)除余28,它還

可以被(x+1)整除，求/(X)。.

【解析】設(shè)f\x)=cuC+bx+c，由題意得①f(l)=a+b+c=2,②

f/(3)=9a+3/?+c=28,③/(—l)=a—Z?+c=O。由①②③得a=3,b=l,c=-2?

故/(x)=3x2+x—2o

【例題2】試確定a和b的值，使x"+—Zzx+2能被r+3x+2整除。

【解析】由于尤2+3X+2=(X+1)(X+2),設(shè)/(耳=/+0?—區(qū)+2,若滿足“X)能

被Y+3x+2整除，貝Ux+1和x+2必是/(x)的因式，因此有/(—1)=1+。+力+2=0,

/(-2)=16+4?+2/?+2=0,解得a=-6,b=3。

五、多項(xiàng)式的因式分解

1.提取公因式法

原理：ab+ac=a(b+c)?

提取公因式法是在乘法分配律的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，應(yīng)用時(shí)往往要先找出公因式。

例如：分解因式龍2-孫一x+y。

分析：要先構(gòu)造公因式，可以通過分組來確定。

原式=(f-^]-(x-y)=x(x->')-(x-^)=(x-l)(x-y)。

2.十字相乘法

(1)原理：f+(p+q)x+pg=(x+p)(x+g)。

(2)具體操作：

①借助畫十字交叉線分解系數(shù)，先將一元二次三項(xiàng)式f+(p+q)x+pq的二次項(xiàng)系數(shù)1及

常數(shù)項(xiàng)pq都分解為兩個(gè)因數(shù)的乘積；

②按斜線交叉相乘再相加得一次項(xiàng)系數(shù)。如圖所示：

綜上，十字左邊相乘等于二次項(xiàng)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)。

(十字相乘法最重要的就是想辦法去湊一次項(xiàng)的系數(shù)。)

3.運(yùn)用公式法

(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)[dL—ab+b2^t

(4)o,—h3-(^a—b^a2+ah+b2^；

(5)a2+b2+c+2ab+2bc+lac=(?+ZJ+c)-；

(6)a2+b2+c2±ab±bc±ac-^^a±by+(Z?±c)'+(a±c)2?

例如：分解因式3/y-81/1.

3x3y-81/=3y(x3-27/)=3y[x3-(3y)3=3y(x-3y)(/+3孫+9力。

4.分組分解法

原理：ac-\-ad+bc+bd=Q(c+d)+Z?(c+d)=(a+b)(c+d)。

［例題】分解因式+4〃的+nq+np。

【解析】本題采用分組提取公因式的方法，然后再進(jìn)一步提取公因式。

原式=(4如+4%的)+(叼+〃p)=4加(〃+4)+〃(〃+4)=(4m+〃)(〃+q)。

5.求根法

/(《)=。

原理：=<=></(?,)=0

有些代數(shù)式在因式分解時(shí)，若通過觀察得到/(“)=0,則/(x)一定含有一次因式x-%,

這種方法就是求根法。

【例題1】分解因式/+3%-4。

【解析】令/(x)=d+3x—4,觀察可知/(1)=0,則/(同一定含有一次因式x-l?因

此f+3x-4=(x-l)(x+4)o

【例題2】多項(xiàng)式2犬_》3一6%2_》+2的因式分解為(2x—l)q(x),則q(x)等于()

(A)(x+2)(2x-l『(B)(x-2)(^+l)2

(C)(2X+1)(X2-2)(D)(2X-1)2(^+2)

(E)(2x+l)-(x-2)

【答案】B

【解析】解題的關(guān)鍵是明確一次式與高次式間系數(shù)的關(guān)系。2d一丁—6f—x+2是高次式,

其中最高次為4,最高次項(xiàng)的系數(shù)為2,常數(shù)項(xiàng)為2o最高次是幾次就能因式分解為幾個(gè)一

次式相乘，貝!12x,—%3—6爐—x+2=(2%—1)(%?+a)3%+/73)(04%+，4)，其中

</(?=(g*3aM)(人4*｝。高次式中最高次項(xiàng)的系數(shù)等于因式分解后各個(gè)一次

式中一次項(xiàng)系數(shù)的積，即2=2、。2*。3、4，則分析選項(xiàng)特點(diǎn)只有B項(xiàng)

符合題意。

【例題3］若d—3x+2孫+/一3y—40=(x+y+〃?)(x+y+〃)，則m,n的值可能為

()

(A)m=8,n=5(B)m=8,n=-5

(C)m=-8,n=5(D)m=-8,n=-5

(E)以上答案均不正確

【答案】C

【解析】x?-3x+2孫+y2-3y-40是二元二次式，(x+y+/n)(x+y+〃)是兩個(gè)二元一

次式相乘。因此-40=mx〃，排除A、D；而-3x=3+nx=(/n+〃)x,則-3=m+n,所

以m=-8,n=5或m=5,n=-8,結(jié)合選項(xiàng)可知C項(xiàng)符合題意。

6.待定系數(shù)法

(1)待定系數(shù)法的應(yīng)用環(huán)境：我們對(duì)變形后代數(shù)式的構(gòu)成是清晰的，只是每部分的系數(shù)未

知，那么可以采用待定系數(shù)法。這種變形是恒等變形。

(2)待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟：

①先將系數(shù)用參數(shù)表示；

②展開對(duì)比系數(shù)，得到關(guān)于參數(shù)的方程，解方程即可得到參數(shù)(系數(shù))。

【例題】/+5%+6可以變形為x+3和另外一個(gè)代數(shù)式之積，求另一個(gè)代數(shù)式。

【解析】設(shè)另一個(gè)代數(shù)式為x+m,則

3+m=5

x2+5x+6=(x+3)(x+〃?)=J?+(3+m)x+3/〃n解得m=2,則另一個(gè)代數(shù)

3m=6

式為x+2。

第二節(jié)分式

一、定義

4

設(shè)A,B表示兩個(gè)整式，若B中含有字母且B#0,則稱一為分式。

B

二、運(yùn)算性質(zhì)

設(shè)以下各式中分母均不為0,即表達(dá)式均有意義，則

aka八八、

(1)—=—(人聲0)；

bkb

ad±ch

(2)—±—=———

bdbd

acac

(3)—X—=—;

bdbd

ad

(4)一

bdbe

三、分式求值

1.分式裂項(xiàng)

一個(gè)分式拆分成幾個(gè)分式的和或差從而簡化運(yùn)算，有以下兩種常見形式:

11

x(x+l)XX+1

_1

⑵一-

x(x+Z)k\xx+k

2.正負(fù)基次對(duì)稱分式

1

形如+—(neN+)的代數(shù)式稱為正負(fù)某次對(duì)稱分式,有以下兩種常見的變形形式:

3

(1)x2n+

xn)

2z/+111

(2)x+-XH----

x,2/j+lX

第三節(jié)習(xí)題精練

一、問題求解。下列每題給出的A、B、C、D、E五個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合試題要求的。

11

1.(2013年聯(lián)考】已知/(x)=----------4--------------------------FH--------------------------,則

(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+9)(%+10)

/⑻=()

(7

(A)-(B)—(D)—(E)—

9101718

18

2.【2013年聯(lián)考】在(f+3x+l)'的展開式中,

/的系數(shù)為()

(A)5(B)10(C)45(D)90(E)95

3.【2012年聯(lián)考】若丁+r能被廠一3%+2整除，則()

(A)a=4,b=4(B)a=-4,b=-4

(C)a=10,b=-8(D)a=-10,b=8

(E)a=-2,b=0

4.【2011年聯(lián)考】已知V+y2=9,孫=4,則”丫——()

x+y+x+y

11

(A)-(B)-(c)i(D)(E)

2513

5.【2008年MBA聯(lián)考】若=則⑵+血

()

3412a—86

(A)2(B)3(C)4(D)(E)-2

5x—3

6.已知------=二上，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

2x+52x+5

5T353

(A)x<—或xN—(B)—WxW-

2525

5,3

(C)——<x<—(D)

2552

(E)以上答案均不正確

7.設(shè)y=|x—tz|+|x-10|+|x—6Z—10|,其中0<a<10,則滿足aWxWlO的x,y的最小值是

)

(A)5(B)10(C)15(D)20(E)30

8.當(dāng)(3+%)+(3+x)2++(3+x)"=4(X+1)+42(I+1)2++2(%+1)〃時(shí)，若

X?！?>那么％+/++?！?()

3向一33W+1-3

(A)(B)

24

3"-33"+3

(C)(D)

22

3,,+|+3

(E)

9.如果多項(xiàng)式/（%）=2丁+以2+〃x+4含有一次因式x+2和2（x+l）,則.f（x）的另一個(gè)

一次因式是（）

(A)x+1(B)x+2(C)x-1(D)x+-(E)x

2

%3

10.若￡—3x+l=0,那么)

x6+x3+1

(A)—(B)—(C)—(D)—(E)—

1516171819

4(l+3)(l+32)(l+34)(l+38)(l+316)

l+9+92+93+94++97―(

(A)16(98+1)(B)8(98+l)

(C)2(98-l)(D)4(98+l)

(E)32(爐+1)

12.已知多項(xiàng)式辦*+"+，，除以x-1余數(shù)是2,除以x+2余數(shù)是8,除以x+1余數(shù)是0。

當(dāng)x=2時(shí)，多項(xiàng)式的值為（）

（A）12（B）10（C）8（D）2（E）0

二、條件充分性判斷。要求判斷每題給出的條件（1）和條件（2）能否充分支持題干所陳述

的結(jié)論。A、B、C、D、E五個(gè)選項(xiàng)為判斷結(jié)果，請(qǐng)選擇一項(xiàng)符合試題要求的判斷。

（A）條件（1）充分，但條件（2）不充分。

（B）條件（2）充分，但條件（1）不充分。

（C）條件（1）和條件（2）單獨(dú)都不充分，但條件（1）和條件（2）聯(lián)合起來充分。

（D）條件（1）充分，條件（2）也充分。

（E）條件（1）和條件（2）單獨(dú)都不充分，條件（1）和條件（2）聯(lián)合起來也不充分。

1.【2014年聯(lián)考】設(shè)x是非零實(shí)數(shù)。則1+二=18。

X

（1）Xd—=3；

X

（2）H——=7o

￡

2.[2011年在職】已知1-kx]=?x+*攵+/3工+4〃對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立。則

4+%+%+。4=8。

(1)a2=-9；

（2）%=27。

3.【2010年在職】o?—法2+23工—6能被（x—2）（x—3）整除。

(1)a=16,b=3；

(2)a=3,b=16o

4.【2009年MBA聯(lián)考】對(duì)于使空士二有意義的一切x的值，這個(gè)分式為一個(gè)定值。

+11

(1)7〃-1仍=0；

(2)11la-77=0。

5.【2009年在職】二次三項(xiàng)式元之+1一6是多項(xiàng)式2/+x3-ax2+hx+a+b-\的一個(gè)因式。

(1)a=16；

(2)b=2o

"?八"。c+Qa+b1

6.【2008年MBA聯(lián)考】一廠+--+--=U

p|㈤忖

(I)實(shí)數(shù)a,b,c,滿足a+b+c=0；

(2)實(shí)數(shù)a,b,c,滿足abc>0。

7.【2008年在職】一

3

,、2x-ll-2x

(I)-Z---=----7:

X+ll+x

2x—I2x—I

(2)-----=-----o

33

8.【2008年在職】o^+bx+l與3/—4x+5的積不含x的一次項(xiàng)和三次項(xiàng)。

(I)。：〃=3:4；

34

(2)a=-,b=-o

55

9.a=2,b=lo

(I)/+b~—4。+2Z?—5；

(2)Y-2%2+依一人除以九2一%十］的結(jié)果為x」。

第四節(jié)答案及解析

問題求解

I.【考點(diǎn)】分式裂項(xiàng)求和

【答案】E

【解析】

，/、11111111

f(X)=----------------1------------------FH-----------------------------------1-----------------FH-------

(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+9)(x+10)x+1x+2x+2x+3x+9

111…g111

-------=----------------，貝(jf(8)=---------------=—■>

x+10x+lx+108+18+1018

點(diǎn)撥分母由相鄰的數(shù)相乘組成的多個(gè)分式求和，一般先考慮裂項(xiàng)求和法。

2.【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【答案】E

【解析】展開式的一般項(xiàng)為為=以(1+3)。*(4=0,1,,5),其中只有

4=5工(》+3)和4=1收(*+3)2中含有/，故/的系數(shù)為5+10x3?=95。

點(diǎn)撥本題的關(guān)鍵是寫出展開式的一般項(xiàng)。

3.【考點(diǎn)】多項(xiàng)式整除的性質(zhì)

【答案】D

【解析】令/(》)=%3+%2+辦+匕，當(dāng)/-31+2=0時(shí)，x=l或x=2。由整除的性質(zhì)可

〃l)=l+l+a+Z?=0,

知，x=l和x=2是/(x)=0的兩個(gè)根，則有/解得a=?10,b=8o

/⑵=8+4+2Q+A=0,

4.【考點(diǎn)】因式分解

【答案】C

【解析】由立方和公式V+y3=(x+H(x2—孫+力可得

x+y_x+y1_11

d+y'+x+y(x+y)(x2—xy+^2j+(x+y)(x2—xy+y2^+l9-4+16

點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵是將分母中的式子變形。

5.【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的計(jì)算

【答案】C

12a+16Z?_48+48

【解析】方法一：令a=4,b=3,則=4。

12a-勸-48-24

12a+16b12-+16

方法二：將分式的分子、分母同除以b,分式變?yōu)橐籢——

I2a-Sb12--8

b

代入可得原式=3土3=4。

16-8

點(diǎn)撥根據(jù)比值求數(shù)值的問題，可用特值法來簡化計(jì)算。

6.【考點(diǎn)】絕對(duì)值運(yùn)算

【答案】C

【解析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可知，土衛(wèi)..0,說明(3-8)(a+5.).即

2%+5V2/

(5x—3)(2x+5),,0|.r*--解得—

I2；25

7.【考點(diǎn)】絕對(duì)值化簡

【答案】B

【解析】因?yàn)閍WxWlO,則y=x-a+10-x-x+a+10=20-x。因?yàn)閍WxWlO,要

使y=20-尤最小，就要x取最大，則當(dāng)x=10時(shí)，y能取最小值，最小值為10。

點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件所給的范圍去掉絕對(duì)值求最值。

8.【考點(diǎn)】多項(xiàng)式的展開與合并，等比數(shù)列求和

【答案】A

【解析】已知等式右邊為q(x+l)+O2(x+l)2++??(%+1)",當(dāng)x+l=l,即x=0的時(shí)候,

q,g,%，的系數(shù)都為1，左邊為首項(xiàng)是3,公比也是3的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，右邊

3(1-3")3*3

為q+g+%++4，則4+4+4++凡=^-----0=—°

\-q1-32

點(diǎn)撥本題主要考查多項(xiàng)式的展開與合并，關(guān)鍵是結(jié)合等式設(shè)特值。

9.【考點(diǎn)】因式分解

【答案】A

【解析】因?yàn)?(X)=2^3+參2+陵+4含有一次因式x+2和2(x+1),所以x=-2,x=-l

為/(x)=0的兩個(gè)根，則/(一2)=0，-1)=0,解得a=8,b=10,所以

/(x)=2d+8x2+i0x+4。又因?yàn)?x+2)(2x+2)=2f+6x+4,故另一個(gè)因式為x+L

點(diǎn)撥本題的核心是求多項(xiàng)式展開中高次項(xiàng)前的系數(shù)與項(xiàng)數(shù)的值。

10.【考點(diǎn)】整式與分式的計(jì)算

【答案】E

1，

【解析】f—3%+1=0可以化簡為x+上=3,『二一的分子分母同時(shí)除以Y可以化

XX4-X+1

為——二丁，其中

d+1-I---

X'

1+4=（%+!）（/一%+4）=3（/+二一1）,x+-l=/+2+4=9,則

^+2=7。所以d+4=3x（7—1）=18,原式=——i-=—1-=-1。

x2?V73,1,,18+119

X7-T1

X

點(diǎn)撥本題的核心是分式的變形。

11.【考點(diǎn)】多項(xiàng)式

【答案】A

【解析】分子中的4可以寫成2（3-1）,

分?jǐn)?shù)的分子=2（3—1）（3+1乂32+1）（34+］）（38+1）（3*+1）

=2（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（3,6+1）=2（34-1）（34+1）（38+1）（316+1）

2（38-1）（38+1）（316+1）=2（316-1）（3|6+1）=2（332-1）=2（916-1）=2（98+1）（98-1）

98-198-1

分母—=——,故原分?jǐn)?shù)=16（丁+1卜

9-18

點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵是將分子變形，化成平方差。

12.【考點(diǎn)】多項(xiàng)式整除的性質(zhì)

【答案】A

【解析】設(shè),f（x）=ax2+bx+c，根據(jù)多項(xiàng)式的余式定理可知

。+2+。=2a=3

/（I）=2,/（-2）=8,/（-1）=0,因此可得方程組.14。-2b+c=8解得（匕=1,因此

Q—/7+C=0c=-2

多項(xiàng)式為3/+%-2,當(dāng)x=2時(shí)，該多項(xiàng)式的值為12。

條件充分性判斷

1.【考點(diǎn)】分式運(yùn)算

【答案】A

【解析】對(duì)于條件(1),若x+-=3,則

X

/IA31311

x+-=?+—+3x+-=x+4+9=3=27-,可得V+F=18,故條件(1)充

VxJxxxX'

1](]￥]

分；對(duì)于條件(2),若/+^=7,則9=d++2=尤+—，于是元+—=±3。當(dāng)

XX\X)X

3

X+4=3時(shí)，由條件(1)的結(jié)論知/+二=18；當(dāng)x+'=—3時(shí)，%+-!-=-18＞故

XXXX

條件(2)不充分。

2.【考點(diǎn)】多項(xiàng)式合并與展開

【答案】A

322334234

【解析】X(1-ZJ:)=x-3kx+3kx-kx=a1x+a2x+a3x+a4x,所以

q=1,%=-3%,%=3%)。4=-A.由條件(1)得k=3,所以q+%+%+4=-8,故條

件(1)充分；由條件(2)得％=±3,當(dāng)k=-3時(shí)，q+4+/+4=64,故條件(2)不

充分。

點(diǎn)撥本題通過多項(xiàng)式展開后各項(xiàng)系數(shù)的唯一性來確定ai，a2,a3,必的值。

3.【考點(diǎn)】因式分解

【答案】B

【解析】令/。)=依3-笈2+231-6,因?yàn)閒(x)能被(x-2)(x-3)整除，則

/(2)=8a—4Z?+40=0,/(3)=27a—9人+63=0,解得a=3,b=16,所以條件(1)不充

分，條件(2)充分。

點(diǎn)撥若/(x)能被x-a整除，則〃a)=0。

4.【考點(diǎn)】分式

【答案】B

【解析】由條件(1)7a-Hb=0,得〃=1。，代入絲匕后分式仍含有未知數(shù)，分式

11bx+ll

為一個(gè)不定值，條件(1)不充分；由條件(2)Ua-7b=0,得匕=U〃，則

7

^±1=彳,+7f+7_=」,分式為一個(gè)定值，所以條件㈡)充分。

版+11Lx+11耳奴+71

771)

點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵是分式的化簡代入。

5.【考點(diǎn)】因式分解

【答案】E

【解析】令f+x—6=0,解得x=2或x=-3。令/（力=2/+/一0￥2+陵+。+人一1,

則/（2）=/（-3）=0,解得a=16,b=3。所以條件（1）和條件（2）單獨(dú)均不充分，聯(lián)合

起來也不充分。

點(diǎn)撥若x-a是的一個(gè)因式，則/（a）=0。

6.【考點(diǎn)】絕對(duì)值性質(zhì)

【答案】C

【解析】條件（1）,令a=2,b=l,c=l,則如+"匕/也=1-1-1,故條件（1）

\a\|口I4

bCC_|_Z7ZJ

不充分；條件（2）,令a=l,b=l,c=l,則"上+七巴+匕嗎-=a42=6,故條件（2）

RIIb\|4

不充分；現(xiàn)條件（1）與條件（2）聯(lián)合考慮，得到a,b,c兩負(fù)一正，a+b+c=0,

-a-b-c

+---------1---------=—TT+rT+TT=1，所以條件（1）和條件（2）聯(lián)合起來充分。

網(wǎng)klU41\c\）

點(diǎn)撥解答本題的核心是根據(jù)條件判斷絕對(duì)值的值。

7.【考點(diǎn)】絕對(duì)值判斷

【答案】E

【解析】由條件（1）得2x—1f，所以無42，條件（1）不充分；由條件（2）得2x—1W,

2

所以xN」，條件（2）不充分；條件（1）和條件（2）聯(lián)合起來得1—2x20且2x—120,

2

即》=',則條件（1）和條件（2）聯(lián)合起來也不充分。

2

點(diǎn)撥了解絕對(duì)值的意義是解答本題的關(guān)鍵。

8.【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘法

【答案】B

【解析】G?+區(qū)+］與3》2一4x+5的乘積中，三次項(xiàng)的系數(shù)為3b-4a,則3b-4a=0；一次

項(xiàng)的系數(shù)為5b-4,則5b-4=0,解得。=巳3，b=4±,所以條件（1）不充分，條件（2）充分。

55

點(diǎn)撥本題考查多項(xiàng)式的系數(shù)，注意已知條件的限定。

9.【考點(diǎn)】因式分解，完全平方數(shù)

【答案】D

【解析】由條件（1）可知，移項(xiàng)可變成兩個(gè)完全平方公式（4一2『+0-1）2=0,則a=2,

b=l,條件（1）充分；由條件（2）可知，令除式、商式相乘得

（%2—x+l）（x-1）=x3—2x2+2%—1=x3—2x2+ax—b,對(duì)比系數(shù)可得a=2,b=l,條件

（2）也充分。

點(diǎn)撥解答本題只需根據(jù)條件求出a與b的值即可。

第三章方程（組）與不等式

第一節(jié)方程

一、方程（組）

含有未知數(shù)的等式稱為方程；未知數(shù)同時(shí)滿足幾個(gè)方程，則稱這組方程為方程組。

二、一元一次方程

形如ax+b=0（a#0）的方程稱為一元一次方程，其中x為未知數(shù)，a,b為常數(shù)。

第二節(jié)二元一次方程組

一、定義

由兩個(gè)一次方程組成，并含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫作二元一次方程組。

一般地，二元一次方程組的兩個(gè)二元一次方程的公共解，叫作二元一次方程組的解。

二、一般形式

a.x+b.y+c.=0

\'八其中x,y為未知數(shù)，ai，a2，bi,b2不同時(shí)為零。

a2x+b2y+c2=0

三、求解方法

1.代入消元法

代人消元法的求解步驟如下：

（1）選一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程進(jìn)行變形，變成y=ax+b或x=ay+b的形式；

（2）將丫=2*+1?或*=2丫+1?代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，從而將另一個(gè)方程變成一元

一次方程；

（3）解這個(gè)一元一次方程，求出x或y的值；

（4）將已求出的x或y的值代入方程組中的任意一個(gè)方程（y=ax+b或x=ay+b）,求出另一

個(gè)未知數(shù)；

（5）把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來，得到二元一次方程組的解。

=10,

【例題】解方程組14x+2,y

3x—5y-1

【解析】將4x+2y=10變形為y=5-2x,將y=5-2x代入第二個(gè)方程3x-5y=l中，解得x=2,再

將x=2代入y=5-2x中，求得y=l,則方程組的解為＜'x=2'

[y=l

【考點(diǎn)】本題考查二元一次方程的求解，選取的解題方法為代入消元法。

2.加減消元法

加減消元法的求解步驟如下：

（1）在二元一次方程組中，若有同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同（或互為相反數(shù)），則可直接相減

（或相加），消去一個(gè)未知數(shù)；

（2）在二元一次方程組中，若不存在第一步中的情況，可選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩

邊，使其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同（或互為相反數(shù)），再把方程兩邊分別相減（或相加），消

去一個(gè)未知數(shù)，得到一元一次方程；

（3）解這個(gè)一元一次方程；

（4）將求出的一元一次方程的解代入原方程組中系數(shù)比較簡單的方程，求另一個(gè)未知數(shù)的

值；

（5）把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來，得到二元一次方程組的解。

x+y=9,

【例題】解方程組＜

x-y=5

【解析】將第一個(gè)方程和第二個(gè)方程相加，可得2x=14,解得x=7,再將x=7代入x+y=9中，

解得y=2,則方程組的解為《x=l'

〔尸2

【考點(diǎn)】本題考查二元一次方程組的求解，選取的解題方法為加減消元法，當(dāng)然也可以選取

代入消元法進(jìn)行求解。

第三節(jié)一元二次方程

一、根的判別式：

—b+J及—4ac

形如ax2+bx+c=0（aNO）的方程為一元二次方程，該方程的解為x=——--------，其

2a

中△=〃—4ac稱為一元二次方程根的判別式。

若△>(),則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

若A=0,則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

若△<(),則方程無實(shí)數(shù)根。

【例題1】判斷以下方程根的情況：

(1)x2+2x+l=0o

【解析】△=22-4x1x1=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

(2)x2+2x+3=0o

【解析】△=22-4xlx3=—8<0,方程無實(shí)數(shù)根。

(3)X2+5X+2=0?

【解析】A-52-4xlx2=17>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

【例題2］若m為不等于零的實(shí)數(shù)，則方程x2+mx-m2=0的根的情況是()

(A)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

(C)無實(shí)數(shù)根(D)不能確定

(E)以上答案均不正確

【答案】B

【解析】方程x2+mx-m2=0的A=m2—4xlx(T??)=5m2>0,所以方程有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根。

二、韋達(dá)定理

1.韋達(dá)定理的概念

b

X]+M=--

a

x”X2是一元二次方程ax,2+bx+c=0(A^O)的兩個(gè)實(shí)根，則<

C

xx

}2a

【例題1】已知方程?x2+6x+7=0的兩個(gè)根為用XI，X2,則X|X2=(),X|+X2=()

ch

【解析】由韋達(dá)定理可得%9=上=-7,內(nèi)+&=—±=6o

aa

【例題2】已知XI，X2是方程2x2-3x+l=0的兩個(gè)根，—+—=()

(A)2(B)3(C)4(D)1(E)5.

【答案】B

【解析】由韋達(dá)定理可得%+%=—2=3,玉％=,，因此原式=%土歪=3。

a22玉龍2

2.韋達(dá)定理的應(yīng)用

根據(jù)韋達(dá)定理可以求出關(guān)于兩個(gè)根的輪換對(duì)稱式的數(shù)值。

(I)-+—=

xxx2XyX2

c1,1(%+%)2-2X|W

⑵/+丫2=z\2；

玉X?(玉工2)

(3)X；=(3+xj；

(4)四一%|=J(%—X2)2=J(X|+X2)2—4%

x2;

(5)X；+石=(%+%2)3-3尤1尤2(工1+尤2)。

【例題1】已知方程2x2+3x+l=0的兩根為XI,x：2,求以下式子的值。

(1)1---；(2)-2—2；(3)元；+%2；(4)|x,-x,|；(5)x；+￡。

玉x2X,x2

31

【解析】由韋達(dá)定理可得%+%=-一，%工2=二則

2/>

_3

/八11x,+x2)

(1)—+—=———2-=—p-=-3；

%X2XyX2

2

/29_]

(2)1I1=(%+*2)_2X|/=W__

4

5

(3)x；+x；=(X+*2)~—2X[X)=——2x—=

4：

(4)四一々|=1(玉一w)2=J(玉+々)2—4罰

32：7c1「3、9

(5)x：+￥=(x-3中2(玉+X)=--;---3x—x——=——

82{2)8o

【例題2】設(shè)XI，X2是方程2x2+5x+l=0的兩個(gè)根，則&—/)2=()

,、33(c)lZ9

(B)——(D)

4444

(E)以上答案均不正確

【答案】C

【解析】原式可化為(玉-%)2=片-2%赴+￥=(玉+%2)2-4玉％2，由韋達(dá)定理可知

51則原式=(—3]-4xl=—

X\+x=--,xx=-o

2x2I2)24

第四節(jié)分式方程

一、定義

分母中含有未知數(shù)的有理方程叫作分式方程。

二、求解步驟

分式方程的求解步驟如下：

(1)在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程;

(2)解這個(gè)整式方程；

(3)把整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原

分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解，須舍去。

【注】使分母為0的未知數(shù)的值是增根，須舍去。

(4)寫出原方程的根。

60

【例題1】解分式方程

20+x20-x

【解析】方程兩邊都乘以最簡公分母(20+x)(20-x),得100(20-x)=60(20+x),解得x=5,

把x=5代入原方程中，分母不為0,即x=5不是增根，因此x=5是原方程的解。

【例題2】解分式方程-------」一=0。

x~+3xx—x

【解析】原式=--------1—=0。

x(x+3)x(x-l)

方程兩邊都乘以最簡公分母X(x+3)(x-1),得5(x-D-(x+3)=0,解得x=2,把x=2代

入原方程中，分母不為0,即x=2不是增根，因此x=2是原方程的解。

【例題3】解分式方程上'+2=」一。

x—3x—3

【解析】方程兩邊都乘以最簡公分母x?3,得2?x+2(x-3)=1,解得x=5,把x=5代入原方

程中，分母不為0,即x=5不是增根，因此x=5是原方程的解。

V-L14

【例題4】解分式方程二」-一二一=1。

x-1x2-l

【解析】方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母(x-1)(X+1),得(x+l)2—4=(x+l)(x—l),解

得x=l,把x=l代入原方程中，分母為0,即x=l是方程的增根，故舍去。

所以原分式方程無解。

第五節(jié)不等式

一、不等式的定義及性質(zhì)

1.定義

用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連接而成的式子稱為不等式，常見的不等號(hào)有W、<、W、>、>>五

種。將幾個(gè)不等式聯(lián)立起來構(gòu)成一組稱為不等式組，不等式組的解集為各不等式解集的