專題解直角三角形一．選擇題1．（2025?濱海新區(qū)一模）計(jì)算tan60°的值等于（）A． B． C．1 D．2．（2025?松江區(qū)一模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．3．（2025?濱海新區(qū)模擬）式子2cos30°﹣tan45°的值是（）A．1﹣ B．0 C．﹣1 D．﹣4．（2025?隴南模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，過D點(diǎn)作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，BC＝6，sinA＝，則DE的長(zhǎng)為（）A．4 B． C． D．5．（2025?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在4×4的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，那么∠BAC的正切值是（）A． B． C．2 D．6．（2025?南寧一模）如圖是廠房屋頂人字形（等腰三角形）鋼架結(jié)構(gòu)，已知AB＝10米，∠B＝36°，則中柱AD（D為底邊中點(diǎn)）的長(zhǎng)是（）A．10sin36°米B．10cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米7．（2024?日照）潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測(cè)量潮汐塔AB的高度，測(cè)量方案如圖所示：無人機(jī)在距水平地面119m的點(diǎn)M處測(cè)得潮汐塔頂端A的俯角為22°，再將無人機(jī)沿水平方向飛行74m到達(dá)點(diǎn)N，測(cè)得潮汐塔底端B的俯角為45°（點(diǎn)M，N，A，B在同一平面內(nèi)），則潮汐塔AB的高度為（）（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．41m B．42m C．48m D．51m8．（2025?云南模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是BC邊上的中線，BC＝6，AD＝5，則∠CAD的正弦值為（）A． B． C． D．9．（2024?沭陽縣校級(jí)模擬）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要應(yīng)用．我們已經(jīng)知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在來求tan22.5°的值：如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝22.5°．設(shè)AC＝1，則BC＝1，AB＝＝BD，所以tan22.5°＝＝＝＝﹣1．類比這種方法，計(jì)算tan15°的值為（）A．﹣ B．2﹣ C．+ D．﹣210．（2024?南山區(qū)校級(jí)三模）“圭表”是中國古代用來確定節(jié)氣的儀器．某“圭表”示意圖如圖所示，AC⊥BC，AC＝3米，測(cè)得某地夏至正午時(shí)“表”的影長(zhǎng)CD＝1米，冬至?xí)r的正午太陽高度角∠ABC＝α，則夏至到冬至，影長(zhǎng)差BD的長(zhǎng)為（）A．（3sinα﹣1）米B．米 C．（3tanα﹣1）米D．米二．填空題11．（2024?哈爾濱）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°，則AC的長(zhǎng)為．12．（2025?泉州模擬）如圖，某商場(chǎng)手扶梯的坡比為，已知扶梯的長(zhǎng)AB為16米，則小明乘坐扶梯從B處到A處上升的高度AC為．（單位：米）13．（2025?長(zhǎng)寧區(qū)一模）已知在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，那么∠BAC的正弦值等于．14．（2024?鹽城）如圖，小明用無人機(jī)測(cè)量教學(xué)樓的高度，將無人機(jī)垂直上升距地面30m的點(diǎn)P處，測(cè)得教學(xué)樓底端點(diǎn)A的俯角為37°，再將無人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行26.6m至點(diǎn)Q處，測(cè)得教學(xué)樓頂端點(diǎn)B的俯角為45°，則教學(xué)樓AB的高度約為m．（精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）15．（2024?梅縣區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于點(diǎn)E，cosB＝，則＝．16．（2025?市中區(qū)校級(jí)一模）勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”的證明簡(jiǎn)明、直觀，是世界公認(rèn)最巧妙的方法．“趙爽弦圖”已成為我國古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)重要標(biāo)志，千百年來倍受人們的喜愛．小亮在如圖所示的“趙爽弦圖“中，連接EG，DG．若正方形ABCD與EFGH的邊長(zhǎng)之比為：1，則cos∠DGE等于．三．解答題17．（2025?敦化市一模）計(jì)算：2sin60°﹣tan60°+sin45°cos45°．18．（2025?泗洪縣一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解這個(gè)三角形．19．（2025?拱墅區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，BD＝5，．（1）求CD的長(zhǎng)．（2）求tan∠ADE的值．20．（2025?淮南一模）在如圖的直角三角形中，我們知道sinα＝，cosα＝，tanα＝，∴sin2α+cos2α＝+＝＝＝1．即一個(gè)角的正弦和余弦的平方和為1．（1）請(qǐng)你根據(jù)上面的探索過程，探究sinα，cosα與tanα之間的關(guān)系；（2）請(qǐng)你利用上面探究的結(jié)論解答下面問題：已知α為銳角，且tanα＝，求的值．21．（2024?秦都區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝4，連接AD，tan∠DAC＝．（1）求邊AC的長(zhǎng)；（2）求tan∠BAD的值．22．（2025?西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提起．起始位置示意圖如圖2，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A到BC所在直線的距離AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意圖如圖3，此時(shí)測(cè)得∠CDB＝37°（點(diǎn)C，A，D在同一直線上，且直線CD與平面平行，圖3中所有點(diǎn)在同一平面內(nèi)．定滑輪半徑忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)過程中繩子總長(zhǎng)不變．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求物體上升的高度CE（結(jié)果精確到0.1m）．23．（2024?煙臺(tái)）根據(jù)收集的素材，探索完成任務(wù)．探究太陽能熱水器的安裝素材一太陽能熱水器是利用綠色能源造福人類的一項(xiàng)發(fā)明．某品牌熱水器主要部件太陽能板需要安裝在每天都可以有太陽光照射到的地方，才能保證使用效果，否則不予安裝．素材二某市位于北半球，太陽光線與水平線的夾角為α，冬至日時(shí)，14°≤α≤29°；夏至日時(shí)，43°≤α≤76°．sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01素材三如圖，該市甲樓位于乙樓正南方向，兩樓東西兩側(cè)都無法獲得太陽光照射．現(xiàn)準(zhǔn)備在乙樓南面墻上安裝該品牌太陽能板．已知兩樓間距為54米，甲樓AB共11層，乙樓CD共15層，一層從地面起，每層樓高皆為3.3米．AE為某時(shí)刻的太陽光線．問題解決任務(wù)一確定使用數(shù)據(jù)要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板，應(yīng)選擇日（填冬至或夏至）時(shí)，α為（填14°，29°，43°，76°中的一個(gè)）進(jìn)行計(jì)算．任務(wù)二探究安裝范圍利用任務(wù)一中選擇的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，確定乙樓中哪些樓層不能安裝該品牌太陽能熱水器．

答案與解析一．選擇題1．（2025?濱海新區(qū)一模）計(jì)算tan60°的值等于（）A． B． C．1 D．【點(diǎn)撥】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：原式＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．（2025?松江區(qū)一模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【點(diǎn)撥】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求得答案．【解析】解：已知∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，則cosA＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．3．（2025?濱海新區(qū)模擬）式子2cos30°﹣tan45°的值是（）A．1﹣ B．0 C．﹣1 D．﹣【點(diǎn)撥】把30°的余弦值、45°的正切值代入，計(jì)算即可．【解析】解：2cos30°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．4．（2025?隴南模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，過D點(diǎn)作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，BC＝6，sinA＝，則DE的長(zhǎng)為（）A．4 B． C． D．【點(diǎn)撥】先在Rt△ABC中求出AB、AD，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系設(shè)出DE、AE，最后利用勾股定理得到方程，求解后得結(jié)論．【解析】解：在Rt△ABC中，∵sinA＝＝，BC＝6，∴AB＝10．∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝AB＝5．在Rt△ADE中，∵sinA＝＝，設(shè)DE＝3x（x＞0），則AE＝5x．∴AE2＝DE2+AD2．∴（5x）2＝（3x）2+52．解得x＝．∴DE＝3x＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．5．（2025?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在4×4的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，那么∠BAC的正切值是（）A． B． C．2 D．【點(diǎn)撥】根據(jù)所給網(wǎng)格，連接BC得出BC與AC垂直，再結(jié)合正切的定義即可解決問題．【解析】解：連接BC，如圖所示，則BC⊥AC．令小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為a，則由勾股定理得，BC＝；AC＝．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，通過連接BC構(gòu)造出直角三角形及熟知正切的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2025?南寧一模）如圖是廠房屋頂人字形（等腰三角形）鋼架結(jié)構(gòu)，已知AB＝10米，∠B＝36°，則中柱AD（D為底邊中點(diǎn)）的長(zhǎng)是（）A．10sin36°米B．10cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米【點(diǎn)撥】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AD⊥BC，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】解：∵AB＝AC＝10米，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，∠B＝36°，∴AD＝AB?sin36°＝10sin36°（米），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義解題的關(guān)鍵．7．（2024?日照）潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測(cè)量潮汐塔AB的高度，測(cè)量方案如圖所示：無人機(jī)在距水平地面119m的點(diǎn)M處測(cè)得潮汐塔頂端A的俯角為22°，再將無人機(jī)沿水平方向飛行74m到達(dá)點(diǎn)N，測(cè)得潮汐塔底端B的俯角為45°（點(diǎn)M，N，A，B在同一平面內(nèi)），則潮汐塔AB的高度為（）（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．41m B．42m C．48m D．51m【點(diǎn)撥】延長(zhǎng)BA交MN于點(diǎn)C，根據(jù)等角對(duì)等邊得出CN的長(zhǎng)，得出CM的長(zhǎng)，再結(jié)合tan∠AMC＝≈0.40，即可得出結(jié)果．【解析】解：如圖，延長(zhǎng)BA交MN于點(diǎn)C，則∠ACN＝90°，由題意可知，BC＝119m，MN＝74m，∵∠BNC＝45°，∠BCN＝90°，∴CN＝CB＝119m，∴CM＝CN+MN＝119+74＝193（m），∴tan∠AMC＝≈0.40，∴AC≈77.2m，∴AB＝BC﹣AC＝119﹣77.2＝41.8（m）≈42（m），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2025?云南模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是BC邊上的中線，BC＝6，AD＝5，則∠CAD的正弦值為（）A． B． C． D．【點(diǎn)撥】根據(jù)AD是BC邊上的中線得到BD＝3，再根據(jù)銳角的正弦值列式計(jì)算即可得解．【解析】解：∵AD是BC邊上的中線，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，直角三角形斜邊的中點(diǎn)，直角三角形斜邊正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．9．（2024?沭陽縣校級(jí)模擬）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要應(yīng)用．我們已經(jīng)知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在來求tan22.5°的值：如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝22.5°．設(shè)AC＝1，則BC＝1，AB＝＝BD，所以tan22.5°＝＝＝＝﹣1．類比這種方法，計(jì)算tan15°的值為（）A．﹣ B．2﹣ C．+ D．﹣2【點(diǎn)撥】仿照題例作等腰三角形，利用直角三角形的邊角間關(guān)系計(jì)算得結(jié)論．【解析】解：如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°．設(shè)AC＝1，則BA＝BD＝2，BC＝．∴CD＝BC+BD＝2+．在Rt△ACD中，tan15°＝tanD＝＝＝2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，看懂題例，仿照題例作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．10．（2024?南山區(qū)校級(jí)三模）“圭表”是中國古代用來確定節(jié)氣的儀器．某“圭表”示意圖如圖所示，AC⊥BC，AC＝3米，測(cè)得某地夏至正午時(shí)“表”的影長(zhǎng)CD＝1米，冬至?xí)r的正午太陽高度角∠ABC＝α，則夏至到冬至，影長(zhǎng)差BD的長(zhǎng)為（）A．（3sinα﹣1）米B．米C．（3tanα﹣1）米D．米【點(diǎn)撥】根據(jù)垂直定義可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解析】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AC＝3米，∴BC＝＝（米），∵CD＝1米，∴BD＝BC﹣CD＝（﹣1）米，∴影長(zhǎng)差BD的長(zhǎng)為（﹣1）米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行投影，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．二．填空題11．（2024?哈爾濱）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°，則AC的長(zhǎng)為2或．【點(diǎn)撥】分若∠A＝90°，若∠C＝90°求解即可．【解析】解：若∠A＝90°，則AC＝＝2；若∠C＝90°，則AC＝AB＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是分類討論．12．（2025?泉州模擬）如圖，某商場(chǎng)手扶梯的坡比為，已知扶梯的長(zhǎng)AB為16米，則小明乘坐扶梯從B處到A處上升的高度AC為8米．（單位：米）【點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得：∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，根據(jù)tan∠ABC＝，從而可得∠ABC＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解析】解：由題意得：∠ACB＝90°，∵商場(chǎng)手扶梯的坡比為，∴＝＝，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∵AB＝16米，∴AC＝AB＝8（米），故答案為：8米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．（2025?長(zhǎng)寧區(qū)一模）已知在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，那么∠BAC的正弦值等于．【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CK⊥AB于點(diǎn)K．利用勾股定理求出AH，再利用面積法求出CK可得結(jié)論．【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CK⊥AB于點(diǎn)K．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝1，∴AH＝＝＝2，∵CK⊥AB，∴?BC?AH＝?AB?CK，∴CK＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法解決問題．14．（2024?鹽城）如圖，小明用無人機(jī)測(cè)量教學(xué)樓的高度，將無人機(jī)垂直上升距地面30m的點(diǎn)P處，測(cè)得教學(xué)樓底端點(diǎn)A的俯角為37°，再將無人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行26.6m至點(diǎn)Q處，測(cè)得教學(xué)樓頂端點(diǎn)B的俯角為45°，則教學(xué)樓AB的高度約為17m．（精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【點(diǎn)撥】令A(yù)B的延長(zhǎng)線與PQ的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，先求出PC，從而得到QC，BC，再利用AB＝AC﹣BC即可求出AB．【解析】解：如圖，令A(yù)B的延長(zhǎng)線與PQ的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，由題意，知AC＝30m，PQ＝26.6m，∠APC＝37°，∠BQC＝45°，在Rt△APC中，PC＝≈＝40（m），∴QC＝PC﹣PQ＝40﹣26.6＝13.4（m），在Rt△BQC中，BC＝QC＝13.4m，∴AB＝AC﹣BC＝30﹣13.4＝16.6≈17（m），故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，理解題意，能熟練運(yùn)用三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2024?梅縣區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于點(diǎn)E，cosB＝，則＝．【點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，設(shè)BD＝5x，AB＝13x，根據(jù)勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE＝x，CE＝x，于是得到結(jié)論．【解析】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵cosB＝＝，設(shè)BD＝5x，AB＝13x，∴AD＝＝12x，∴BC＝2BD＝10x，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE，∴，∴＝，∴BE＝x，CE＝x，∴＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．16．（2025?市中區(qū)校級(jí)一模）勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”的證明簡(jiǎn)明、直觀，是世界公認(rèn)最巧妙的方法．“趙爽弦圖”已成為我國古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)重要標(biāo)志，千百年來倍受人們的喜愛．小亮在如圖所示的“趙爽弦圖“中，連接EG，DG．若正方形ABCD與EFGH的邊長(zhǎng)之比為：1，則cos∠DGE等于．【點(diǎn)撥】過點(diǎn)D作DN⊥GE，交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，設(shè)AF＝BG＝CH＝DE＝a，DF＝AG＝BH＝CE＝b，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)題意列方程組得到AG＝DE＝b＝2x，AF＝a＝x，求得AD＝DG＝x，根據(jù)勾股定理得到EG＝＝＝x，∠FEG＝∠FGE＝45°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到結(jié)論．【解析】解：過點(diǎn)D作DN⊥GE，交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，設(shè)AF＝BG＝CH＝DE＝a，DF＝AG＝BH＝CE＝b，∵正方形ABCD與EFGH的邊長(zhǎng)之比為：1，∴設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x，∵AF2+DF2＝AD2，DF﹣DE＝EF，∴，解得，∴AG＝DE＝b＝2x，AF＝a＝x，∴AG＝2AF，∵∠AFD＝90°，∴DF是AG的垂直平分線，∴AD＝DG＝x，∵∠EFG＝90°，EF＝FG＝x，∴EG＝＝＝x，∠FEG＝∠FGE＝45°，∴∠NED＝∠FEG＝45°，在Rt△END中，NE＝DE?cos45°＝x，∴GN＝EG+NE＝x+x＝x，在Rt△DNG中，cos∠DGE＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題17．（2025?敦化市一模）計(jì)算：2sin60°﹣tan60°+sin45°cos45°．【點(diǎn)撥】把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解析】解：2sin60°﹣tan60°+sin45°cos45°＝2×﹣+×＝﹣+＝．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．（2025?泗洪縣一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解這個(gè)三角形．【點(diǎn)撥】根據(jù)解直角三角形的步驟進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°．又∵a＝4，∴c＝8，∴b＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形及含30度角的直角三角形，熟知解直角三角形的步驟是解題的關(guān)鍵．19．（2025?拱墅區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，BD＝5，．（1）求CD的長(zhǎng)．（2）求tan∠ADE的值．【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)垂直定義可得：∠DEB＝90°，然后在Rt△DEB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，最后利用角平分線的性質(zhì)即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得：BC＝9，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長(zhǎng)，從而求出AE的長(zhǎng)，最后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，在Rt△DEB中，BD＝5，，∴BE＝DB?cosB＝5×＝3，∴DE＝＝＝4，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝4；（2）∵BD＝5，DC＝4，∴BC＝CD+BD＝9，在Rt△ABC中，，∴AB＝＝＝15，∵BE＝3，∴AE＝AB﹣BE＝15﹣3＝12，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝＝＝3．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．20．（2025?淮南一模）在如圖的直角三角形中，我們知道sinα＝，cosα＝，tanα＝，∴sin2α+cos2α＝+＝＝＝1．即一個(gè)角的正弦和余弦的平方和為1．（1）請(qǐng)你根據(jù)上面的探索過程，探究sinα，cosα與tanα之間的關(guān)系；（2）請(qǐng)你利用上面探究的結(jié)論解答下面問題：已知α為銳角，且tanα＝，求的值．【點(diǎn)撥】（1）利用sinα＝，cosα＝，tanα＝，即可得出sinα，cosα與tanα之間的關(guān)系；（2）利用（1）中所求得出2sinα＝cosα，進(jìn)而代入原式求出即可．【解析】解：（1）∵sinα＝，cosα＝，tanα＝，∴＝＝，則tanα＝；（2）∵tanα＝，∴＝，∴2sinα＝cosα，∴＝＝﹣．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，得出sinα，cosα與tanα之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．21．（2024?秦都區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝4，連接AD，tan∠DAC＝．（1）求邊AC的長(zhǎng)；（2）求tan∠BAD的值．【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)，可以求得AC的長(zhǎng)；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，可以得到AC、CD的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理可以得到AD的長(zhǎng)，再根據(jù)等面積法可以求得DE的長(zhǎng)，從而可以求得AE的長(zhǎng)，然后即可得到tan∠BAD的值．【解析】解：（1）設(shè)AC＝3m，∵BD＝4，BC＝CD+BD∠C＝90°，sin∠ABC＝，tan∠DAC＝，∴CD＝2m，∴4m＝2m+4，解得m＝2，∴AC＝3m＝6；（2）作DE⊥AB于點(diǎn)E，由（1）知，AB＝5m＝10，AC＝6，BD＝4，∵，∴，解得DE＝，∵AC＝6，CD＝2m＝4，∠C＝90°，∴AD＝＝2，∴AE＝＝＝，∴tan∠BAD＝，即tan∠BAD的值是．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．22．（2025?西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提起．起始位置示意圖如圖2，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A到BC所在直線的距離AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意圖如圖3，此時(shí)測(cè)得∠CDB＝37°（點(diǎn)C，A，D在同一直線上，且直線CD與平面平行，圖3中所有點(diǎn)在同一平面內(nèi)．定滑輪半徑忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)過程中繩子總長(zhǎng)不變．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求物體上升的高度CE（結(jié)果精確到0.1m）．【點(diǎn)撥】（1）解Rt△ABC即可求解；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝3m，解Rt△BCD求得BD＝5m，由題意得，BC+AB＝BE+BD，故BE＝BC+AB﹣BD＝6﹣2m，則CE＝BC﹣BE≈2.7m．【解析】解：（1）由題意得：∠BCA＝90°，∵AC＝3m，∠CAB＝60°，在Rt△ABC