集合、簡單邏輯用語、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用

專題一

第1講集合與簡單邏輯用語

考點(diǎn)解讀

1.理解集合中元素的意義是解決集合問題的關(guān)鍵：弄清元素是函數(shù)關(guān)系式中自變量的

取值？還是因變量的取值？還是曲線上的點(diǎn)？…

2.數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法：解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋

恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解

決.

3.已知集合A、B,當(dāng)ACB=時(shí)，你是否注意到“極端”情況：A=或8=?

求集合的子集時(shí)是否忘記？分類討論思想的建立在集合這節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)中要得到強(qiáng)化.

4.對于含有n個(gè)元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)

依次為2n2--1,2n-l,2n-2.

5.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

1.A、B是非空集合，定義AXB={x|xWAUB,且x人08},若A={xeR|y=d^二

B={y|y=3x,x￡R},則AXB=.

2.已知命題P：—nGN,2n>1000,則P為

3.條件p：aGM={x|x2—x<0},條件q：aGN={x||x|<2},p是q的條

件.

(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

4,若命題“xGR,x2+(a—l)x+l>0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【例1】已知集合A={x|x2—3x—10W0},集合B={x|p+lWxW2p—l}.若BA,

求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

【例2】設(shè)人={6，y)1/—x—1=0},B={(x,y)|4x2+2x—2y+5=0},C={(x,y)|y

=kx+b},是否存在k、beN,使得(AUB)CC=?若存在，求出k,b的值；若不存在，

請說明理由.

【例3】(2011?廣東)設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果a,bes,有abes,則稱S

關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，TUV=Z且a,b,cGT,

有abcGT,x,y,V.有xyz6V.

則下列結(jié)論恒成立的是.

A.T,V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法封閉B.T,V中至多有個(gè)關(guān)于乘法封閉

C.T,V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法封閉D.T,V中每一個(gè)關(guān)于乘法封閉

【例4】已知a>0,函數(shù)f(x)=ax—bx?.

(1)當(dāng)b>0時(shí),若xGR,都有f(x)Wl,證明：0<aW2倔

⑵當(dāng)b>l時(shí)，證明:xW[0,l],的充要條件是bTWaW2小.

1.（2011?江蘇）已知集合A={-1,1,2,4},B={-1,0,2}.則ACB=.

2.(2011?天津)命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(—x)是奇函數(shù)”的否命題是

3.(2009?江蘇)已知集合人=4|1。82*忘2},B=(—8,a),若AB,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是(c,+°°),其中c=.

4.(2009?陜西)某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參

加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26,15,13,同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理

小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人,則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有

人.

5.(2011?陜西)設(shè)nGN+,一元二次方程x2-4x+n=0有正整數(shù)根的充要條件是n=

6.(2011?福建)在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成?個(gè)“類”，記為[k],

即[k]={5n+k|n6Z},k=0,1,2,3,4.給出如下四個(gè)結(jié)論:

①2011G[1]；

②一3G[3]；

@Z=[0]U[l]U[2]U[3]U[4];

④“整數(shù)a,b屬于同一‘類’”的充要條件是“a—be[O]”.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是個(gè).

(2011?全國)(本小題滿分14分)設(shè)aGR,二次函數(shù)f(x)=ax2-2x-2a.若f(x)>0的解集為

A,B={x[l<x<3},AC1BW,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：由f(x)為二次函數(shù)知aWO,令f(x)=O解得其兩根為xi=；—\2+\,X2=；+

d\1ad

由此可知x1v0,x2>0,（3分）

①當(dāng)a>0時(shí)，A={x|x<xi}U{x|x>x2},（5分）

AABW的充要條件是X2<3,Bp1+^/2+X<3,解得a4（9分）

②當(dāng)a<0時(shí),A={x|xi<x<x2},（10分）

ACBW的充要條件是X2>1,Bl4+A/2+i>h解得a<—2,（13分）

a7a

綜上，使AABW成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（一8,-2）鳴+8）.（[4分）

-集合、簡單邏輯用語、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用

第1講集合與簡單邏輯用語

教師備選題

1.(2011?安徽)設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7},則滿足SA且SCBW的集合

S的個(gè)數(shù)為.

A.57B.56C.49D.8

【答案】B解析：集合A的所有子集共有26=64個(gè)，其中不含4,5,6,7的子集有23

=8個(gè)，所以集合S共有56個(gè).故選B.

2.(2011?江蘇)設(shè)集合A={(x,y)|y^(x-2)2+y2^m2,x,y6R},B={(x,y)|2mWx+

y〈2m+l,x,yCR},若ACB中,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】2+啦]解析：由AC1BW得，A豐,所以m?》，，或mWO.

當(dāng)mWO時(shí)，小一正m>—m,且^~~~乎一正m>—m,又2+0=2>2m

+1,所以集合A表示的區(qū)域和集合B表示的區(qū)域無公共部分；當(dāng)m25寸，只要，叫Wm

或^~翁~^Wm,解得2一啦WmW2+6或1—^<mWl+乎，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍

是任，2+閭

點(diǎn)評：解決此類問題要挖掘問題的條件，并適當(dāng)轉(zhuǎn)化，畫出必要的圖形，得出求解實(shí)數(shù)

m的取值范圍的相關(guān)條件.

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.(—8,3)解析：A=(-8,0]U[3,+°°),B=(0,4-°°),AUB=(-8,4-co),

APIB=[3,+°°).

2.nGN,20000

3.充分不必要解析：M=(0,l)N=(—2,2).

4.a》3或aW—1解析：A—(a—l)2—420,a23或aW—1.

例題選講

例I解：由x2-3x-10這0得一2WxW5.。A=[-2,5].

①當(dāng)B#時(shí);即p+lW2p-lp22.由BA得一2Wp+l且2p-lW5.得一

3WpW3.；.2WpW3.

②當(dāng)B=時(shí)，即p+l>2p-lp<2.BA成立.綜上得pW3.

點(diǎn)評：從以上解答應(yīng)看到：解決有關(guān)ACB=,AUB=A,人08=8或人B等集合

問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過程中全方位、多角度審視問題.

變式訓(xùn)練設(shè)不等式x2—2ax+a+2W0的解集為M,如果M[1,4],求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

解：M[1,4]有n種情況：其一是M=,此時(shí)AV。；其二是MW,止匕時(shí)ANO,

分三種情況計(jì)算a的取值范圍.

設(shè)f(x)=x2-2ax+a+2,有A=(-2a)2—(4a+8)=4(a2-a-2),

①當(dāng)△<()時(shí)，M=[1,4]成立；

②當(dāng)△=()時(shí),a=-1或2,當(dāng)a=-1時(shí),M={-1}[1,4],當(dāng)a=2時(shí),M={2}[1,4]；

③當(dāng)A>0時(shí)，a<-l或a>2.設(shè)方程f(x)=O的兩根為x”x2,且x1<X2，那么M=

依1)20且f(4)，0,

[xi，X2],M[1,4]1WXI<X2W4IV

UWaW4且△>().

"—a+320,

18—7a20,18(18~l

即〈一一解得：2<aW與，綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是一1,Y.

lWaW4,'\

、a<—1或a>2,

例2解：V(AUB)AC=,VAnC=且BCC=,

y=x+i,,.

由得l?x2+(2bk—l)x+b2-l=0,

[y=kx+b

：AnC=,k#0,A!=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0,

A4k2-4bk+l<0,此不等式有解,其充要條件是16b2—16>0,即b?》1,①

4x2+2x-2y+5=0,

y=kx+b,

:.4x2+(2-2k)x+(5-2b)=0,

2

：BnC=,A2=4(l-k)-16(5-2b)<0,

Ak2-2k+8b-19<0,AW8b<20,即b<2.5,②

由①②及bdN,得b=2,代入由△]<()和A2Vo組成的不等式組，得

f4k2-8k+l<0,

|k2-2k-3<0,

,k=l,故存在自然數(shù)k=l,b=2,使得(AUB)CC=.

點(diǎn)評：把集合所表示的意義讀懂，分辨出所考查的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而解決問題.

變式訓(xùn)練已知集合A=1(x,y)上音=3B=｛(x,y)|y=kx+3｝,若ACB=,

求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解：集合A表示直線y=-3x—2上除去點(diǎn)(一1,1)外所有點(diǎn)的集合，集合B表示直線

y=kx+3上所有點(diǎn)的集合，ACB=,所以兩直線平行或直線y=kx+3過點(diǎn)所

以k=2或k=—3.

例3【答案】A解析：由于TUV=Z,故整數(shù)1一定在T,V兩個(gè)集合中的一個(gè)

中，不妨設(shè)1GT,貝I」a,b￡T,

由于a,b,ieT,則ablGT,即ab^T,從而T對乘法封閉；

另一方面，當(dāng)丁=｛非負(fù)整數(shù)｝,V=｛負(fù)整數(shù)｝時(shí)，T關(guān)于乘法封閉，V關(guān)于乘法不封閉，

故D不對；

當(dāng)丁=｛奇數(shù)｝,V=｛偶數(shù)｝時(shí)，T,V顯然關(guān)于乘法都是封閉的，故B,C不對.

從而本題就選A.

例4證明：(1)ax—bx?Wl對xGR恒成立，又b>0,a?—4b<0,/.0<a^2-\/b.

(2)必要性，xe[0,i],|f(x)|Wl恒成立，...bx?—axWl且bx'—ax》一1,

顯然x=0時(shí)成立，

對xW(0,l]時(shí)a，bx—;且aWbx+g函數(shù)①x)=bx—；在xG(0,l]匕單調(diào)增，f(x)最大值

f(l)=b—l.

函數(shù)g(x)=bx+：在(0,母匕單調(diào)減，在：*，1上單調(diào)增，函數(shù)g(x)的最小值為g(，《)

=2的，b-lWaW2，E,故必要性成立；

充分性:f(x)=ax-bx2=-b(x-^)2+^,齊氤x/lX東WL

2

f(x)max=awi,又f(x)是開口向下的拋物線，f(0)=0,f(l)=a—b,

f(x)的最小值從f(0)=0,f(D=a—b中取最小的，又a—b》一1,

...-lWf(x)Wl,故充分性成立；

綜上命題得證.

變式訓(xùn)練命題甲：方程x2+mx+l=0有兩個(gè)相異負(fù)根；命題乙：方程4x?+4(m—2)x

+1=0無實(shí)根，這兩個(gè)命題有且只有一個(gè)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

A]=m2—4>0,

解：使命題甲成立的條件是：，m>2.

,xi+x2=_m<0

集合A={m|m>2}.

2

使命題乙成立的條件是:A2=16(m-2)-16<0,/.l<m<3.

/.集合B={m[l<m<3}.

若命題甲、乙有且只有一個(gè)成立，則有：

①meAnCRB,(2)meCRAHB.

若為①，則有：ACCRB={m|m>2}C{m|mWl或m23}={m|m23}；

若為②，則有：BACRA={m|lvm〈3}C{m|mW2}={m|lvmW2}；

綜合①、②可知所求m的取值范圍是{m[l<mW2或m23}.

點(diǎn)評：明確命題為真時(shí)的充要條件，再分類確定.

高考回顧

I.{-1,2}

2.若f(x)不是奇函數(shù)，則f(—x)不是奇函數(shù)

3.4解析：A=(0,4],AB,二a>4,二c=4.

4.8解析：畫韋恩圖.設(shè)同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有x人，則20—x+ll+x+4+9

—x=36,x=8.

5.3或4解析：令g)=*2—4*+11,1161<,￡(0)=11>0,，f(2)W0即nW4,故n=l,2,3,4,

經(jīng)檢驗(yàn)，n=3,4適合，或直接解出方程的根，x=2±\/4-n,nGN*,只有n=3,4適合.

6.3解析：正確的是①③④，在②中一3W[2]才對.

函數(shù)、圖象及性質(zhì)

第2講

考點(diǎn)解讀

1.函數(shù)在高考中的題型設(shè)置有小題也有大題，其中大題有簡單的函數(shù)應(yīng)用題、函數(shù)與

其他知識(shí)綜合題，也有復(fù)雜的代數(shù)推理題，可以說函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是高考者查的主要著力點(diǎn)

之一.

2.重點(diǎn)：①函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性；②函數(shù)與不等式結(jié)合；③函數(shù)與方程的

綜合；④函數(shù)與數(shù)列的綜合；⑤函數(shù)與向量的綜合；⑥利用導(dǎo)數(shù)來刻畫函數(shù).

3.難點(diǎn)：①新定義的函數(shù)問題；②代數(shù)推理問題，常作為高考壓軸題.

1.已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)=0,f(x+l)=f(x)+x+l,則f(x)=.

2.函數(shù)f(x)=(＞幺的定義域?yàn)開_____.

A/|x|—x

3.函數(shù)f(x)的定義域是R,其圖象關(guān)于直線x=l和點(diǎn)(2,0)都對稱，(一力=2,則

+,胃/2009'

4.函數(shù)f(x)=x2—2x,g(x)=mx+2,對X]￡[—1,2],x0G[—1,2],使g(xi)=f(x()),

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【例1】已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在區(qū)間［—14］上

的最大值是12.

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在整數(shù)m使得方程氏*)+a37=0在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)

數(shù)根？若存在，求出m值；若不存在，說明理由.

【例2】已知函數(shù)f(x)=x2+?(xW0,常數(shù)a^R).

(1)討論函數(shù)［X)的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數(shù)f(x)在xG［2,+8)上為增函數(shù)，求a的取值范圍.

【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+|2x-a|(xGR,常數(shù)a為實(shí)數(shù)).

(1)若f(x)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)設(shè)a>2,求函數(shù)f(x)的最小值.

【例4】(2011?蘇錫常鎮(zhèn)模擬)已知函數(shù)f(x)=，￡W+a|x|,a為實(shí)數(shù).

(1)當(dāng)a=l,xW［—1,1］時(shí),求函數(shù)f(x)的值域；

31

(2)設(shè)m、n是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足m<n,若函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(m,n),且n-m忘記,

求a的取值范圍.

1.(2011?遼寧)若函數(shù)［x)=(2x+i；(x—a)為奇函數(shù)'則a="

2.(2011?湖北)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=eX,則g(x)=

3.(2011?上海)設(shè)g(x)是定義在R上、以1為周期的函數(shù)，若：x)=x+g(x)在［0,1］上的值

域?yàn)椋?2,5］,則f(x)在區(qū)間［0,3］上的值域?yàn)?

4.(2011?北京)已知點(diǎn)A(0,2),B(2,0),若點(diǎn)C在函數(shù)y=x?的圖象上，則使得aABC的

面積為2的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為.

5.(2011?上海)已知函數(shù)f(x)=a2x+b-3、，其中常數(shù)a,b滿足ab#0.

⑴若ab>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若ab〈O,求f(x+l)>f(x)時(shí)x的取值范圍.

6.(2011?湖北)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下,

大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流

密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，

車流速度為60千米/小時(shí).研究表明：當(dāng)20WxW200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次

函數(shù).

(1)當(dāng)0WxW200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛

/小時(shí))f(x)=x-v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí))

(2011?鎮(zhèn)江一模)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=3—21og2X,g(x)=log2x.

(1)如果xG[l,4],求函數(shù)h(x)=(f(x)+l)g(x)的值域；

(2)求函數(shù)M(x)Jx)+g(x\f(x)—g(x)|的最大值;

(3)如果對不等式f(x2)f(F)>kg(x)中的任意Xd[l,4],不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值

范圍.

解：令t=10g2X,(1分)

2

(l)h(x)=(4-21og2x)-log2x=-2(t-l)+2,(2分)

Vxe[l,4],.,.te[0,2],(3分)

，h(x)的值域?yàn)閇0,2].(4分)

(2)f(x)—g(x)=3(l—log2x),

當(dāng)0<xW2時(shí)，f(x)》g(x)；當(dāng)x>2時(shí),f(x)<g(x),(5分)

fg(x),Rx)》g(x),(logx,0<xW2,

，M(x)=iM(x)=彳2(6分)

〔f(x),f(x)<g(x),[3-21og2x,x>2,

當(dāng)0VxW2時(shí)，M(x)最大值為1；(7分)

當(dāng)x>2時(shí)，M(x)<l.(8分)

綜上：當(dāng)x=2時(shí)，M(x)取到最大值為1.(9分)

(3)由f(x2)f(-\/x)>kg(x),得(3—4log2X)(3—log2X)>k-log2X,

VxG[l,4],AtG[0,2],

:.(3-4t)(3-t)>kt對一切te[0,2]恒成立,(10分)

①當(dāng)t=0時(shí)，keR；(11分)

②te?2]時(shí)，kvG_4?(3—t)恒成立,即k<4t+,-15,(12分)

993

???4t+?212,當(dāng)且僅當(dāng)4t=：,即t=]時(shí)取等號.(13分)

9

4t+y-15的最小值為-3.

綜上：k<-3.(14分)

第2講函數(shù)、圖象及性質(zhì)

教師備選題

1.已知a=^2],函數(shù)f(x)=a*,若實(shí)數(shù)m、n滿足f(m)>f(n),則m、n的大小關(guān)系

為.

【答案】m<n解析：考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

a=^2%(0，1),函數(shù)f(x)=a、在R上遞減.由f(m)>f(n)得：m<n.

2.設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2x2+(x—a)|x—a|.

(1)若f(0)2l,求a的取值范圍；

(2)求f(x)的最小值；

(3)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x),xG(a,+8),直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)》l的解

集.

點(diǎn)撥：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力.

a<0,

解：⑴若戈0)21,則一a|a|elaW—1.

a2^l

??.a的取值范圍是(一8,-1]

(2)當(dāng)x2a時(shí)，f(x)=3x2—2ax+a2,

f(a),a20,2a2,a，0,

Rx)min-2a2

,a<0亍a<0,

R—a),a20,—2a2,a^O,

22

當(dāng)xWa時(shí)，f(x)=x+2ax—a,f(x)min=

?a),a<02a2,a<0,

—2a2,a20,

綜上嶇溫=等，aVO.

(3)xe(a,+8)時(shí)，h(x)21得3x?—2ax+a2-120,A=4a2-12(a2-1)=12-8a2.

當(dāng)aW—乎或

，AWO,x《(a,+°°)；

20,

當(dāng)一，A>0,得：<

、x>a,

討論得：當(dāng)a解集為(a,+8)；

/

/亞

當(dāng)aG-a-yS-Za2口a+d3—2a^

\2時(shí),解集為Ia,-

\33，+°°

_

也

當(dāng)ae-

2J，解集為

3

3

綜上，當(dāng)一8,+8時(shí)，解集為(a,+8),當(dāng)a￡

.2'

-a+、3-2a2a一山一2a?

解集為+?>，當(dāng)aS時(shí)，解集為a,

3當(dāng)3

-a+^/3-2a2

U,+°°.

3，

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.|x2+|x

x+1WO,

2.(—8,—1)U(—1,0)解析:xVO,xW—1.

|x|—x>0

3.-4解析：函數(shù)圖象關(guān)于直線x=l對稱，則f(x)=f(2—x),函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)

對稱，則f(x)=-f(4—x),f(x+2)=-f(x),二f(x+4)=f(x),

...f(竽=(1004+*巧,又

-6,6)+(竽=2f@=-2f(-4-4.

4.—1,解析：x￡[—1,2]時(shí)，f(x)e[—1,3].m，0,x￡[—1,2]時(shí)，g(x)e[2—m,2

+2m]；m<0,x￡[—1,2]時(shí),g(x)^[2+2m,2—m].m20,[2—m,2+2m][—1,3];mV

0,[2+2m,2-m][-1,3]得OWmwg或一1Wm<0,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是一1,1.

例題選講

例1解：(1)???f(x)是二次函數(shù)，且f(x)V0的解集是(0,5),J可設(shè)f(x)=ax(x-5)(a

>0).

???f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值是f(-l)=6a.

由已知得6a=12,a=2,/.f(x)=2x(x-5)=2x2—1Ox(xR).

(2)方程f(x)+q~=O等價(jià)于方程2x3-10x2+37=0.設(shè)h(x)=2x3-10x2+37,則h，(x)

=6x2—20x=2x(3x~10).

當(dāng)xW(0,果時(shí)，h'(x)<0,h(x)是減函數(shù)；當(dāng)xe作，+8)時(shí)，h'(x)>0,h(x)是

增函數(shù).

：h(3)=l>0,h[y)=-jy<0,h(4)=5>0,；.方程h(x)=O在區(qū)間(3,y),(宇，4)

內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間(0,3),(4,+8)內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，所以存在唯一的自然數(shù)m

=3,使得方程f(x)+￥=()在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

變式訓(xùn)練已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5,函數(shù)y=f(x)(一

IWxWl)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，在[1,4]上是二次函數(shù)，且

在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值一5.

(1)證明:f(l)+f(4)=0；

(2)求y=f(x),xG[l,4]的解析式；

(3)求y=f(x)在乩9]上的解析式.

(1)證明：：f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，；.f(4)=f(4—5)=f(—1),

又?y=flx)(-IWXWI)關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(l)=-f(-l)=-f(4),

二f(l)+f(4)=0.

(2)解：當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)f(x)=a(x-2)2-5(a>0),

由f(l)+f(4)=0得a(l-2)2-5+a(4-2)2-5=0,a=2,

二f(x)=2(x-2)2—5(lWxW4).

(3)解：y=f(x)(—IWXWI)是奇函數(shù)，，f(0)=0,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，

二可設(shè)f(x)=kx(OWxWl),而41)=2(1—2)2—5=—3,二k=-3,，當(dāng)OWxWl時(shí)，f(x)

=—3x,從而當(dāng)一IWxVO時(shí)，f(x)=—f(—x)=-3x,故一iWxWl時(shí)，f(x)=-3x,/.當(dāng)

4WxW6時(shí)，有一iWx—5W1,f(x)=f(x—5)=—3(x—5)=—3x+15,

當(dāng)6<xW9時(shí)，l<x-5W4,f(x)=f1x-5)=2[(x-5)—2『一5=2(x-7尸一5,f(x)

f—3x+15,4WxW6,

一12(X-7)2—5,6VXW9.

點(diǎn)評：緊抓函數(shù)幾個(gè)性質(zhì)，將未知的轉(zhuǎn)化為己知的，注意函數(shù)圖象及端點(diǎn)值.

例2解：(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2,對任意xG(—8,0)U(0,+°°),f<-x)=(-x)2

=x2=f(x),:.f(x)為偶函數(shù).

ca

當(dāng)aWO時(shí)，f(x)=x~+baW。，xWO),

Wx=±l,得f(-l)+f(l)=2W0,f(—l)—f(l)=-2aW0,

/.函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

(2)(解法I)設(shè)2WXI<X2，

f(x1)—f(X2)=X；—x^一]=(x；j"[xIX2(X1+X2)—a],

X1x2xlx2

要使函數(shù)f(x)在x￡[2,+8)上為增函數(shù)，必須f(X])—f(x2)V0恒成立.

*.*Xj—x2<0,XIX2>4,即aVx]X2(x1+x2)恒成立.

又;Xj+x2>4,AX1X2(X1+X2)>16.

的取值范圍是(-8,16].

(解法2)當(dāng)a=O時(shí)，f(x)=x2,顯然在[2,+8)為增函數(shù).

當(dāng)aVO時(shí)、反比例函數(shù):在[2,+8)為增函數(shù)，

/.f(x)=x2+：在[2,+8)為增函數(shù).

當(dāng)a>0時(shí)，同解法1.

(解法3)f'(x)=2x—?20,對xe[2,+8)恒成立.aW2x?而yW2x?.在[2,+°0)

上單調(diào)增,最小值為16,aW16.

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及分類討論處理含參數(shù)問題.

例3解：⑴由已知出一x)=(x),E[J|2x—a|=|2x+a|,解得a=O.

1

x2+2x-a,x2產(chǎn)

{x2—2x+a,x〈]a,

當(dāng)時(shí)，f(x)=x2+2x—a=(x+1)2—(a+1),

山a>2,xega,得x>l,從而x>—1,又f'(x)=2(x+l),

故f(x)在X2%時(shí)單調(diào)遞增，f(x)的最小值為e)=s

1°

當(dāng)x<2^時(shí)\f(x)=x2—2x+a=(x—l)o~+(a—1),

故當(dāng)IVxV即寸，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xVl時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，

則f(x)的最小值為f(l)=a—l；

2g—2)2

由a彳一(a—1)=-->0,知f(x)的最小值為a—1.

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)含參數(shù)最值的討論方法.

變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)=x|x—2］.設(shè)a>0,求f(x)在［0,a］上的最大值.

X2-2X=(X-1)2-1,X》2,

解：f(x)=x|x—2|=

—X2+2X——(x—1)2+1,x<2.

...f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,1］和［2,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間是［1,2］.

①當(dāng)OVaWl時(shí)，f(x)是［0,a］上的增函數(shù),此時(shí)f(x)在［0,a］上的最大值是f(a)=a(2

—a)；

②當(dāng)l〈aW2時(shí),f(x)在［0,1］上是增函數(shù),在［1,a］上是減函數(shù),此時(shí)f(x)在［0,a］上的

最大值是f(l)=l;

③當(dāng)a>2時(shí)，令f(a)-41)=a(a-2)-l=a2-2a—l>0,解得a>l+，l

若2<aWl+g,貝I」f(a)Wf(l),*x)在［0,a］上的最大值是f(l)=l；

若a>l+［L貝ijf(a)>f(l),f(x)在［0,a］上的最大值是出a)=a(a—2).

綜上，當(dāng)0<a<l時(shí)，f(x)在［0,a］上的最大值是a(2-a)；當(dāng)1—W1+娘時(shí)，*x)在［0,

a］上的最大值是1；當(dāng)a>l+皿忖，f(x)在［0,a］上的最大值是a(a—2).

例4解：設(shè)y=f(x),

(l)a=l時(shí)，f(x)=Mx+l+|x|,

當(dāng)xd(0,l］時(shí)，f(x)=5Tl+x為增函數(shù)，y的取值范圍為(1,1+啦］.

當(dāng)xe［—1,0］時(shí)，f(x)=#x+l—x,令t=#x+l,OWtWl,

則xV—l,y=一。一號+點(diǎn)OWtWl,y的取值范圍為1,

???*1+6

時(shí)，函數(shù)Rx)的值域?yàn)?,1+也］.

(2)令t=.x+a,則x=t2—a,t20,y=g(t)=t+a/一a|.

①a=0時(shí)，噲)=質(zhì)無單調(diào)減區(qū)間；

②a<0時(shí)，y=g(t)=at2+t-a2,在(一+8)上g(t)是減函數(shù)，則在(表一a,+0°^

上f(x)是減函數(shù)..??aV0不成立.

—at2+t+a2,OWtW,,

③a>0時(shí),y=g(t)=<

^at2+t—a2,

僅當(dāng)(V,,即a>dT時(shí)，

在(4’時(shí)，g(t)是減函數(shù)，即x￡(表一a,0)時(shí)，f(x)是減函數(shù).

131o

.,.n—m=a—薪忘評，即(a—2)(16a~+a+2)W0.，aW2.

故a的取值范圍是靡，2.

高考回顧

1.1解析：f(—x)=-f(x)恒成立或從定義域可直接得到.

2.g(x)=-2—解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，所以f(—x)+g(—x)

=f(x)-g(x)=ex.

e*+er

又因?yàn)閒(x)+g(x)=ex,所以g(x)=-5—.

3.[-2,7]解析：設(shè)X|G[O,1],則Rxi)=X|+g(xi)G[—2,5],???g(x)是定義域?yàn)镽周期

為1的函數(shù)，,當(dāng)X2^[1,2]時(shí),f(X2)=Xi+1+g(x1+l)=l+x1+g(X,)=l+f(Xi)G[—1,6],

當(dāng)X2W[2,3]時(shí),f(X2)=xi+2+g(X|+2)=2+xi+g(X|)=2+f(X|)W[0,7],/.f(x)在區(qū)間[0,3]

上的值域?yàn)閇-2,7].

4.4解析：AB=26，直線AB的方程為x+y=2,在y=x?上取點(diǎn)C(x,y),點(diǎn)C(x,

2

y)到直線AB的距離為近，區(qū)芍=2=蛆，|X+X-2|=2,此方程有四個(gè)解.

5.解：⑴當(dāng)a>0,b>0時(shí)，任意X],X20R,X]<X2,

貝ijf(x])—f(x2)=a(2xj—2x2)+b(3xi—3X2),

*.*2XI<2X2,a>0a(2xi—2X2)<0,3XI<3x2,b>0b(3xj—3x2)<0,

???f(X|)-f(x2)<0,函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).

當(dāng)a<0,b<0時(shí)，，同理函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù).

(2)f(x+l)-f(x)=a-2x+2b-3x>0,當(dāng)aVO,b>0時(shí)，(1>>一玲，則

x>logi,5(—&)；當(dāng)a>0,b<0時(shí)，(1)x<一東，則x<log"(一射.

6.解：⑴由題意:當(dāng)0WxW20時(shí),v(x)=60：當(dāng)20WxW200時(shí),設(shè)v(x)=ax+b,

200a+b=0,[a=-3)

顯然丫儀)=a*+1?在[20,200]是減函數(shù)，由已知得,，人解得<故

20a+b=60,|1?=于200

60,0WxW20,

函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)=〈l

^(200-x),20<X^200.

'60x,0WxW20,

(2)依題意并由⑴可得f(x)=］11

鏟(200—x),20Vx<200.

當(dāng)0WxW20時(shí),f(x)為增函數(shù),故當(dāng)x=20時(shí),其最大值為60X20=1200；

當(dāng)20<xW200時(shí)，Kx)=1x(200—x)W§-------g---=-j-,

當(dāng)且僅當(dāng)x=200—x,即x=100時(shí)，等號成立.

所以，當(dāng)x=100時(shí)，f(x)在區(qū)間［20,200］上取得最大值3詈.

綜上，當(dāng)x=100時(shí)，f(x)在區(qū)間［0,200］上取得最大值普絲^3333,

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí).

基本初等函數(shù)

第3講

考點(diǎn)解讀

1.掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

2.理解對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

3.能夠應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決某些簡單實(shí)際問題.

4.了解事函數(shù)的定義，熟悉常見黑函數(shù)的圖形與性質(zhì).

1.函數(shù)y=loga(x+2)+l(a>0,aWl)的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.

2.函數(shù)y=lg(x2-2x)的定義域是.

3.函數(shù)y=a、(a>0,aWl)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，關(guān)于x的不等式a?*—2a'—3>0的解

集為.

4.定義：區(qū)間［xi，X2］(Xi〈X2)的長度為X2—Xi.已知函數(shù)y=|logo.5x|定義域?yàn)椋踑,b］,值域

為［0,2］,則區(qū)間［a,b］的長度的最大值為.

【例1】函數(shù)f(x)=^不小a，b，cdZ)是奇函數(shù)，且f(l)=2,f(2)<3.

(1)求a,b,c的值；

(2)當(dāng)xvO時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性.

【例2】已知函數(shù)f{x)=2X—次.

(1)若f(x)=2,求x的值;

(2)若2，f(2t)+mf(t)20對于te［l,2］恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【例3】已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+l+b(aW0,b<l),在區(qū)間［2,3］上有最大值4,最

小值1，設(shè)f(x)=號.

(1)求a,b的值:

(2)不等式fQX)—kOO在x￡[—1,1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)方程珀2*—1|)+1<(冒力—3)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【例4】(2011?鹽城二模)已知函數(shù)f(x)=”U是定義在R上的奇函數(shù)，其值域?yàn)?/p>

「111

4.'

(1)試求實(shí)數(shù)a、b的值；

(2)函數(shù)y=g(x)(xGR)滿足：當(dāng)xd[0,3)時(shí)，g(x)=f(x)；g(x+3)=g(x)lnm(mW1).

①求函數(shù)g(x)在xG[3⑼上的解析式；

②若函數(shù)g(x)在xd[0,+8)上的值域是閉區(qū)間，試探求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并說明

理由.

1.(2011?廣東)設(shè)函數(shù)f(x)=x3cosx+l.若f(a)=ll,則?—a)=.

2.(2011?江蘇)函數(shù)f(x)=log5(2x+l)的單調(diào)增區(qū)間是.

xWl,

3.(2011?遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x)W2的x的取值范圍是

[I-log2x,X>1,

4.(2011?山東)已知函數(shù)f(x)=logax+x—b(a>0且aWl).當(dāng)2VaV3VbV4時(shí),函數(shù)出x)

的零點(diǎn)x()￡(n,n+1),n￡N*,則n=.

2

5.(2009?山東)已知函數(shù)f(x)=x--+a(2—lnx)(a>0),討論f(x)的單調(diào)性.

6.(2011?陜西)設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f(x).

(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(2)討論g(x)與gQ的大小關(guān)系；

(3)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得g(a)—g(x)<；對任意x>0成立.

a

(2011?常州模考)體小題滿分16分)已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(l+ax)ex,函數(shù)g(x)==—

iax

令函數(shù)F(x)=f(x)g(x).

(1)若a=l,求函數(shù)f(x)的極小值；

(2)當(dāng)a=-g時(shí)，解不等式F(x)<l；

(3)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間.

解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=(l+x)ex.

則f‘(x)=(x+2)e*.令f'(x)=0,得x=-2.(l分)

列表如下：

X(一8,-2)-2(-2,+8)

f'(X)—0+

f(x)極小值f(-2)

...當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，極小值為f(—2)=-er(3分)

12—x

(2)當(dāng)a=—］時(shí)，F(xiàn)(X)=4^X,定義域?yàn)椋鹸|xW—2,xSR｝.

...F'的=(留'€>+妥(爐)'=一告<。，

二F(x)在(一8,—2)及(一2,+8)上均為減函數(shù).(5分)

■:當(dāng)XG(—8,—2)時(shí)，F(xiàn)(x)<0,Xd(—8,—2)時(shí)，F(xiàn)(x)<l.

V當(dāng)xG(-2,+8)時(shí)，F(xiàn)(0)=l,...由F(x)Vl=F(0),得x>0.

綜上所述，不等式F(x)<l的解集為(-8,-2)U(0,+8).(7分)

(3)函數(shù)F(x)=：；：e、,定義域?yàn)椋鹸xGR,

2r22a+-

—a2x2+2a+la\-a2)

當(dāng)aV。時(shí)，F(xiàn),(x)—『——

./口)2a+1,八

令A(yù)F(x)=0,得x=—r".(9分)

a

①當(dāng)2a+l<0,即a<-g時(shí)，F(xiàn)z(x)<0.

當(dāng)a<—g時(shí)，函數(shù)F(x)的單調(diào)減區(qū)間為