考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分（共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有1項(xiàng)符合題目要求.1.已知向量，點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，又，所以，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故選：A.2.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知，，，則（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以正弦定理可得：，所以，則.故選：C.3.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，則，故ABC錯(cuò)誤；所以，所以.故選：D.4.已知平面平面，直線(xiàn)滿(mǎn)足，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用空間線(xiàn)面、面面垂直與平行的關(guān)系即可判斷出結(jié)論．【詳解】平面α⊥平面β，則“”?“或m?β或m與β相交”，反之，平面α⊥平面β，令平面α⊥平面β=，在l上任取一點(diǎn)A，在α內(nèi)過(guò)A作AB⊥l，則AB⊥平面β，又m⊥β，可得，∴；則“”是“m⊥β”的必要不充分條件．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了空間線(xiàn)面面面垂直與平行的關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5.已知圓錐側(cè)面積為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為l，底面半徑為r，根據(jù)題意可求得母線(xiàn)l，底面半徑r，根據(jù)勾股定理，可求得圓錐的高h(yuǎn)，代入體積公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為lcm，底面半徑為rcm，如圖所示，由題意得：，所以母線(xiàn)cm，所以側(cè)面展開(kāi)半圓的弧長(zhǎng)為cm，所以底面圓的周長(zhǎng)為，即，所以底面半徑cm，所以該圓錐的高cm，所以圓錐的體積.故選：C6.若數(shù)據(jù)、、?的平均數(shù)是5，方差是4，數(shù)據(jù)、、?、的平均數(shù)是4，標(biāo)準(zhǔn)差是，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】先設(shè)出數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，利用平均數(shù)的定義求解A，B，利用標(biāo)準(zhǔn)差和方差的關(guān)系求解C，D即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)、、?、平均數(shù)是4,則，解得而數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5,可得，由方差公式可得，，，解得，故D正確.故選：D.7.在正三棱柱中，面ABC，，則異面直線(xiàn)與所成角余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別取的中點(diǎn)，可得是異面直線(xiàn)與所成角即為與所成角（或其補(bǔ)角），在中，由余弦定理求解即可.【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，所以，所以異面直線(xiàn)與所成角即為與所成角（或其補(bǔ)角），即，設(shè)，所以，，所以在中，所以，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選：A.8.在等腰中，，若點(diǎn)M為的垂心，且滿(mǎn)足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】合理作圖，建立平面直角坐標(biāo)系，利用垂心的性質(zhì)得到之間的關(guān)系，進(jìn)而求出，再利用二倍角公式求出，最后求出即可.【詳解】如圖，在等腰中，找底邊的中點(diǎn)，作，，交點(diǎn)即為垂心，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，故，，，故，，，故，設(shè)，故，則，故，又，故，而，則，解得，故，故，解得，可得，易得，，可得，可得，解得，由三線(xiàn)合一性質(zhì)得平分，故，而，由二倍角公式得，故，故C正確.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，然后表利用垂心的性質(zhì)結(jié)合二倍角公式求出，最后得到即可．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.若復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確是（）A.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限 B.C.（是z的共軛復(fù)數(shù)） D.若，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷A；由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷BC；由復(fù)數(shù)模的幾何意義可判斷D.【詳解】因?yàn)?，?duì)于A，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故A正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，，，故C正確；對(duì)于D，，則點(diǎn)表示以為圓心，為半徑的圓，表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.10.下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線(xiàn)圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A.這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15B.這10年糧食年產(chǎn)量的平均數(shù)為33C.這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29D.前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差【答案】AC【解析】【分析】由折線(xiàn)圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算估值判斷．【詳解】由折線(xiàn)圖知最大值是40，最小值是25，極差是15，A正確；平均值為，B錯(cuò)；10年數(shù)據(jù)按從小到大排序?yàn)椋?，中位?shù)為，C正確；前5年數(shù)據(jù)波動(dòng)比后5年數(shù)據(jù)波動(dòng)要小，因此前5年的糧食年產(chǎn)量的方差小于后5年糧食年產(chǎn)量的方差，D錯(cuò)．故選：AC．11.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)P，使平面B.三棱錐的體積為定值C.若，則P點(diǎn)在正方形底面ABCD內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為D.若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，過(guò)P，Q作平面平面，則平面截正方體的截面面積為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)等體積法可計(jì)算出三棱錐的體積，可判斷選項(xiàng)B，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)線(xiàn)面平行的向量表示和垂直得向量數(shù)量積為列式，從而判斷選項(xiàng)B，C，利用線(xiàn)面垂直的判定定理得平面，再證明四點(diǎn)共面，從而得平面，再由面面平行的性質(zhì)可得平面截正方體的截面為正六邊形，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)計(jì)算面積即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于B，由等體積法，三棱錐的高為，底面積，所以，所以三棱錐的體積為定值，B正確；對(duì)于A，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，若平面，則，所以，即表示線(xiàn)段，則當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段時(shí)，平面，所以存在點(diǎn)，使得平面，A正確；對(duì)于C，，若，，即，所以點(diǎn)的軌跡就是線(xiàn)段，軌跡長(zhǎng)為，C正確；對(duì)于D，如圖取中點(diǎn)，連接，由題可得，平面，連接，因?yàn)?，平面，則，，又，

平面，則平面，又取中點(diǎn)為，則，有四點(diǎn)共面，則平面即為平面，又由兩平面平行性質(zhì)可知，，，，又都是中點(diǎn)，故是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則平面截正方體的截面為正六邊形，又正方體棱長(zhǎng)為，則，故截面面積為，D錯(cuò)誤.故選：ABC非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c，若，，，則最小角的余弦值＝______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)性質(zhì)大邊對(duì)大角確定三角形的最小角，再由余弦定理求最小角的余弦值.【詳解】因，，，所以，所以，又，所以最小角的余弦值為，故答案為：.13.若虛數(shù)是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)虛根成對(duì)原理可知方程的另一個(gè)虛根為，再由韋達(dá)定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，所以方程的另一個(gè)虛根為，所以，解得，，所以.

故答案為：14.我國(guó)歷史悠久，各地出土文物眾多.甲圖為湖北五龍宮遺址出土的道家篆書(shū)法印.圖乙是此印章中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖乙所示，在邊長(zhǎng)為2的正八邊形ABCDEFGH中，P是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求，取AC中點(diǎn)，根據(jù)向量運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得，求，再求的最大值，可得結(jié)論.【詳解】正八邊形內(nèi)角和為，則，取AC中點(diǎn)，則，所以，又，所以由對(duì)稱(chēng)性可得，所以，過(guò)點(diǎn)分別作，垂足為，則都為等腰直角三角形，且，所以，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，滿(mǎn)足，，，，的夾角為.（1）；（2）若，求實(shí)數(shù)；（3）若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）且【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積定義求，結(jié)合向量的模的性質(zhì)和數(shù)量積運(yùn)算律求；（2）根據(jù)向量垂直關(guān)系列方程，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律化簡(jiǎn)方程可求；（3）根據(jù)數(shù)量積性質(zhì)由條件列不等式求的范圍.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，∴【小問(wèn)2詳解】∵,∴，得【小問(wèn)3詳解】由已知，且與不共線(xiàn)，由可得，，所以，若與共線(xiàn)，則可得，所以，所以由與不共線(xiàn)可得，所以且，所以的取值范圍為，且.16.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面ABC，，，M，N分別為，AC的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)MN與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取BC中點(diǎn)K，借助三角形中位線(xiàn)性質(zhì)及線(xiàn)面平行的判定推理即得.（2）根據(jù)給定條件，作出在平面上的射影，再在直角三角形中求解即可.【小問(wèn)1詳解】取BC中點(diǎn)K，連接NK，，由M為的中點(diǎn)，得，且，又N為AC的中點(diǎn)，則，且，因此四邊形是平行四邊形，即，平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】在三棱柱中，過(guò)點(diǎn)M作于，接NQ，而平面ABC，則平面ABC，即平面，平面，于是，平面，則平面，直線(xiàn)MN與平面所成角為，由，，得是等腰直角三角形，，而，則，，因此，所以直線(xiàn)MN與平面所成角的正弦值為.17.近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行營(yíng)銷(xiāo)形式.某直播平臺(tái)有1000個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類(lèi)等，各類(lèi)直播商家所占比例如圖①所示.為了更好地服務(wù)買(mǎi)賣(mài)雙方，該直播平臺(tái)打算用分層抽樣的方式抽取80個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢(xún)交流.（1）應(yīng)抽取小吃類(lèi)、生鮮類(lèi)商家各多少家？（2）在問(wèn)詢(xún)了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的80個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率直方圖如圖②所示.（i）估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的75百分位數(shù)與平均數(shù)（求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)的數(shù)值為代表）；（ii）若將平均日利潤(rùn)超過(guò)480元的商家稱(chēng)為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)質(zhì)商家”的個(gè)數(shù).【答案】（1）小吃類(lèi)28家，生鮮類(lèi)12家（2）（i）75百分位數(shù)為487.5元，平均數(shù)為440元，（ii）個(gè)數(shù)為280【解析】【分析】（1）由題意求出小吃類(lèi)所占的百分比，進(jìn)而求出應(yīng)抽取小吃類(lèi)、生鮮類(lèi)商家的數(shù)目；（2）（i）由頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積之和，求出，再由百分位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可；（ii）先求出平均日利潤(rùn)超過(guò)480元的商家稱(chēng)為“優(yōu)質(zhì)商家”所占的比列，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)分層抽樣知：應(yīng)抽取小吃類(lèi)家，生鮮類(lèi)家，所以應(yīng)抽取小吃類(lèi)28家，生鮮類(lèi)12家.【小問(wèn)2詳解】（i）根據(jù)題意可得，解得，設(shè)75百分位數(shù)為x，因?yàn)椋?，解得，所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的75百分位數(shù)為487.5元.平均數(shù)為，所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的平均數(shù)為440元.（ii），所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為280.18.在中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若.（1）求角；（2）若點(diǎn)M在邊上BC滿(mǎn)足，且，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；（2）法一：先量化結(jié)合基本不等式求出的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.法二：利用雙余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】由，由正弦定理得，即，所以，又，所以；【小問(wèn)2詳解】法一：由M在邊BC上滿(mǎn)足，可得，兩邊平方可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以，所以，即面積的最大值為.法二：由，則，由余弦定理可得，即，可得，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，所以，所以，即面積的最大值為.19.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑.在如圖所示的陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面ABCD，且，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，連接DE、BD、BE.（1）證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑.若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)H點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，若面EDB與面ABCD所成二面角的大小為，求四棱錐的外接球的表面積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，是鱉臑，四個(gè)面的直角分別是，，，（2）【解析】【分析】（1）先證明，，由線(xiàn)面垂直判定定理證明平面，由此證明，再證明，根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理證明平面，通過(guò)判斷四面體的各面形狀，判斷是否為鱉臑，并寫(xiě)出直角；（2）找中點(diǎn)，連接，過(guò)作，連接，證明就是面與面所成二面角的平面角，設(shè)，解三角形可得，利用正弦定理求的外接圓半徑，由此確定的外接圓圓心，根據(jù)球的截面性質(zhì)確定球心和球的半徑，利用球的表面積公式可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌?，平面所以，因?yàn)闉殚L(zhǎng)方形，所以，因?yàn)椋矫嫠云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?/p>