第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025年上海市徐匯區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知A、B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則“A、B為互斥事件”是“A、B為對(duì)立事件”的(

)A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件2.在研究線性回歸模型時(shí)，若樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在直線y=?13A.?1 B.1 C.?13 3.在桌面上有一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體D?ABC.從該正四面體與桌面貼合的面上的三條棱中等可能地選取一條棱，沿其翻轉(zhuǎn)正四面體至正四面體的另一個(gè)面與桌面貼合，如此翻轉(zhuǎn)稱(chēng)為一次操作.如圖，開(kāi)始時(shí)，正四面體與桌面貼合的面為ABC，操作n(n=1,2,3,?)次后，正四面體與桌面貼合的面是ABC的概率記為Pn.現(xiàn)有下列兩個(gè)結(jié)論：①P2=13A.①正確，②錯(cuò)誤 B.①錯(cuò)誤，②正確 C.①、②都正確 D.①、②都錯(cuò)誤4.已知函數(shù)y=f(x)的定義域和值域都為R，且圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的值如表：x(?∞,x(x(f′(x)+0?0+設(shè)D?R，若集合{y|y=f(x),x∈D}={a,b,c}，其中a，b，c為常數(shù)，則符合要求的集合D的個(gè)數(shù)不可能是(

)A.3 B.27 C.63 D.343二、填空題：本題共12小題，共54分。5.已知全集U={x||x?1|≤2,x∈R}，A=[1,3]，則A?=______．6.復(fù)數(shù)z=11?i(其中i為虛數(shù)單位)7.在空間直角坐標(biāo)系中，向量a=(?m,6,3),b=(2,n,1)，若a/?/b，則8.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(3,339.如圖是一個(gè)2×2列聯(lián)表，則s=______．yy總計(jì)xa3545x7bn總計(jì)m73s10.已知cosθ=?35,θ∈(0,π)，則tan(θ?11.已知PA⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，且AB=AC=2，PA=4，則點(diǎn)P到直線BC的距離是______．12.已知ABCD是正方形，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，且AE=3EC，則∠MED的大小為_(kāi)_____．13.已知兩個(gè)隨機(jī)事件A，B，若P(A)=15，P(B)=14，P(B|A)=2314.已知F1為雙曲線x2a2?y2b215.如圖，某處有一塊圓心角為23π的扇形綠地AOB，扇形的半徑為20米，AB是一條原有的人行直路，由于工程建設(shè)需要，現(xiàn)要在綠地中建一條直路OC，以便在圖中陰影部分區(qū)域分類(lèi)堆放物料.為了盡量減少對(duì)綠地的破壞(不計(jì)路寬)，則原直路AB與新直路OC的交叉點(diǎn)D到O的距離為_(kāi)_____米.16.設(shè)實(shí)數(shù)ω>0，若f(x)=sinωx滿(mǎn)足對(duì)任意x1∈[0,π]，都存在x2∈[π,2π]，使得f(x三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題14分)

如圖，ABCD?A1B1C1D1是一塊正四棱臺(tái)形鐵料，上、下底面的邊長(zhǎng)分別為20cm和40cm，高30cm．

(1)求正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的側(cè)面18.(本小題14分)

已知函數(shù)y=f(x)，其中f(x)=log2x.

(1)解關(guān)于x的不等式f(3x?2)<f(2x+1)；

(2)若存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)，19.(本小題14分)

某公司生產(chǎn)的糖果每包標(biāo)識(shí)“凈含量500g”，但公司承認(rèn)實(shí)際的凈含量存在誤差.已知每包糖果的實(shí)際凈含量ξ(單位：g)服從正態(tài)分布N(500,2.52).

(1)隨機(jī)抽取一包該公司生產(chǎn)的糖果，求其凈含量誤差超過(guò)5g的概率(精確到0.001)；

(2)隨機(jī)抽取3包該公司生產(chǎn)的糖果，記其中凈含量小于497.5g的包數(shù)為X.求X的分布和期望(精確到0.001)．

參考數(shù)據(jù)：Φ(1)≈0.8413，Φ(2)≈0.9772，Φ(3)≈0.9987，其中y=Φ(x)20.(本小題18分)

已知拋物線C：y2=4x，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)F的坐標(biāo)及點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離；

(2)過(guò)點(diǎn)F作相互垂直的兩條直線l1，l2，l1交拋物線C于點(diǎn)P1、P2，l2交拋物線C于點(diǎn)Q1、Q2，求證：1|P1P2|+1|Q1Q2|為定值，并求出該定值；21.(本小題18分)

對(duì)于函數(shù)y=?(x)，記?(0)(x)=?(x)，?(1)(x)=(?(x))′，…，?(n+1)(x)=(?(n)(x))′(n∈N).如果n是滿(mǎn)足?(n)(x)=?(x)的最小正整數(shù)，則稱(chēng)n是函數(shù)y=?(x)的“最小導(dǎo)周期”．

(1)已知函數(shù)y=f(x)，其中f(x)=asin(x+t)+bcos(x+t)，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，t，都有f(4)(x)=f(x)；

(2)設(shè)m，n∈R，g(x)=emx+ncosx，若函數(shù)y=g(x)的最小導(dǎo)周期為2，記M(a,b)=(a?b)2+(a+1+g(b))2，當(dāng)實(shí)數(shù)a，b變化時(shí)，求M(a,b)的最小值；

(3)設(shè)參考答案1.B

2.A

3.C

4.B

5.[?1,1)

6.127.?4

8.(0,+∞)

9.90

10.7

11.312.π213.71514.515.1016.3417.解：(1)設(shè)正方形ABCD，A1B1C1D1的中心分別為O，O1，連接OO1，

則OO1⊥平面ABCD，

分別取BC，B1C1的中點(diǎn)E，E1，連接EE1，OE，OE1，

則OE⊥BC，O1E1⊥B1C1．

又E，E1分別為等腰梯形BCC1B1底邊BC，B1C1的中點(diǎn)，所以EE1⊥BC，

由O1E1//A1B1//AB//OE，可得四邊形O1OEE1是一個(gè)直角梯形，

EE1⊥BC，又OE⊥BC，

所以∠OEE1為側(cè)面BCC1B1與底面ABCD所成二面角的平面角，

因?yàn)檎睦馀_(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為20cm和40cm，高30cm．

則O1E1=12A1B1=10,OE=12AB=20,OO1=30，

所以tan∠OEE1=OO1OE?O1E1=3010=3．

所以側(cè)面BCC1B1與底面ABCD所成二面角的大小為arctan3；

(2)設(shè)圓臺(tái)O?19.解：(1)由題意，ξ～N(500,2.52)，

令Y=ξ?5002.5，則Y～N(0,1)，

因此P(|ξ?500|>5)=P(|Y|>2)=2(1?Φ(2))≈0.0456，

故凈含量誤差超過(guò)5g的概率約為0.046；

(2)由題意可知，X可能的取值為0、1、2、3，

由(1)可知，任取一包糖果，凈含量小于497.5g的概率為Φ(?1)=1?Φ(1)≈0.1587，

故X服從二項(xiàng)分布B(3,0.1587)，X的所有可能取值為0，1，2，3，

則P(X=0)=(1?0.1587)3≈0.595，P(X=1)=CX0123P

0.5950.337

0.0640.004所以E(X)=3×0.1587≈0.476．20.解：(1)易知2p=4，

解得p=2，

因?yàn)辄c(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，

所以F(1,0)，點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2；

(2)證明：易知直線l1，l2的斜率存在且不等于0并過(guò)點(diǎn)F(1,0)，

設(shè)直線l1的方程為y=k(x?1)(k≠0)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，

聯(lián)立y2=4xy=k(x?1)，消去y并整理得k2x2?(2k2+4)x+k2=0，

由韋達(dá)定理得x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1，

|P1P2|=x1+x2+2=2k2+4k2+2=4k2+4k2，

同理得|Q1Q2|=4(?1k)2+4(?1k)2=4k2+4，

則1|P1P2|+1|Q1Q2|=k24k2+4+14k2+4=14；

(3)直線AB的方程為y=3(x?1)，

聯(lián)立y=3(x?1)y2=4x，

解得x1=13y1=?233或x1=3y1=23，

令B(13,?233),A(3,23)，

此時(shí)|AB|=13+1+3+1=163，|AF||BF|=3+113+1=3，

在△PAF中，|PA|sin∠PFA=|AF|sin∠APF，

在△PBF中，|PB|sin∠PFB=|BF|sin∠BPF，

因?yàn)椤螾FA+∠PFB=π，∠APF=∠BPF，

所以|PA||PB|=|AF||BF|=3

設(shè)P(x,y)，

此時(shí)(x?3)2+(y?23)2=3(x?13)2+(y+233)2，

整理得x2+(y+3)2=4，

所以點(diǎn)P在以點(diǎn)(0,?3)為圓心，2為半徑的圓上(除去與直線AB的兩個(gè)交點(diǎn))，

因?yàn)閳A心(0,?3)在直線AB上，

所以點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為2．

故△PAB面積最大值S=12×2×163=163．

21.解：(1)證明：因?yàn)閒(1)(x)=[asin(x+t)+bcos(x+t)]′=acos(x+t)?bsin(x+t)，

f(2)(x)=[acos(x+t)?bsin(x+t)]′=?asin(x+t)?bcos(x