2024-2025學(xué)年山西省呂梁市方山縣部分學(xué)校九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請把正確答案的代號填在下表中）1．（3分）下列函數(shù)中，y是關(guān)于x的反比例函數(shù)的是（）A．y＝x+2 B．y＝x2 C． D．解：y＝x+2，y＝x2，y＝不符合反比例函數(shù)的定義，它們不是反比例函數(shù)；y＝符合反比例函數(shù)的定義，它是反比例函數(shù)；故選：D．2．（3分）已知＝，則的值為（）A． B． C． D．解：由＝，得＝＝．故選：D．3．（3分）剪紙藝術(shù)是我國傳統(tǒng)文化寶庫中的優(yōu)秀瑰寶．下列4個(gè)剪紙圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：左起第一和第二兩個(gè)圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；第三和第四兩個(gè)圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．、所以既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有2個(gè)．故選：B．4．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0沒有實(shí)數(shù)根，則n的值可能是（）A．﹣1 B． C．0 D．1解：由題知，因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0沒有實(shí)數(shù)根，所以Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n）＜0，解得n＜，顯然只有A選項(xiàng)符合題意．故選：A．5．（3分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣2），則下列各點(diǎn)中，在該反比例函數(shù)圖象上的是（）A．（3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝（k≠0），∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣2），∴﹣2＝，∴k＝﹣6，即y＝，點(diǎn)（3，2），（﹣2，﹣3），（﹣3，﹣2）代入解析式，均不成立，點(diǎn)（﹣2，3）代入y＝﹣成立，∴點(diǎn)（﹣2，3）在y＝﹣圖象上．故選：B．6．（3分）手工制作課上，小紅利用一些花布的邊角料，剪裁后裝飾手工畫，下面四個(gè)圖案是她剪裁出的空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形花邊，其中，每個(gè)圖案花邊的寬度都相等，那么，每個(gè)圖案中花邊的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不一定相似的是（）A． B． C． D．解：A：形狀相同，符合相似形的定義，對應(yīng)角相等，所以三角形相似，故A選項(xiàng)不符合要求；B：形狀相同，符合相似形的定義，故B選項(xiàng)不符合要求；C：形狀相同，符合相似形的定義，故C選項(xiàng)不符合要求；D：兩個(gè)矩形，雖然四個(gè)角對應(yīng)相等，但對應(yīng)邊不一定成比例，故D選項(xiàng)符合要求；故選：D．7．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD與AB相交于點(diǎn)E，CA＝CD．若∠ACD＝30°，則∠BEC的度數(shù)是（）A．35° B．40° C．45° D．60°解：連接BC，∵CA＝CD，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝∠CDA＝＝75°，∴∠ADC＝∠ABC＝75°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝15°，∵∠BEC是△ACE的一個(gè)外角，∴∠BEC＝∠CAB+∠ACD＝45°，故選：C．8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在反比例函數(shù)的圖象上，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b解：∵k＜0，∴反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．∵A（﹣2，a），B（﹣1，b），∴A，B在第二象限．∵﹣2＜﹣1，∴0＜a＜b．∵C（3，c）在第四象限，∴c＜0．綜上，b＞a＞c．故選：B．9．（3分）兩千四百多年前，我國學(xué)者墨子就在《墨經(jīng)》中記載了小孔成像實(shí)驗(yàn)的做法與成因，圖1是小孔成像實(shí)驗(yàn)圖，抽象為數(shù)學(xué)問題如圖2所示：AC與BD交于點(diǎn)O，AB∥CD，若點(diǎn)O到AB的距離為10cm，點(diǎn)O到CD的距離為18cm，蠟燭火焰AB的高度是4cm，則蠟燭火焰倒立的像CD的高度是（）A．4.8cm B．6cm C．7.2cm D．8cm解：根據(jù)題意可得：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∵點(diǎn)O到AB的距離為10cm，點(diǎn)O到CD的距離為18cm，∴由相似三角形對應(yīng)高之比是相似比可得，∵AB＝4cm，∴CD＝7.2cm，故選：C．10．（3分）如圖，O是正方形ABCD的中心，以點(diǎn)O為圓心，作圓心角為90°的扇形EOF，點(diǎn)C恰好在EF上，設(shè)∠COE＝α（0°＜α＜90°），當(dāng)α由小到大變化時(shí)，圖中陰影部分的面積（）A．不變 B．由小到大變化 C．由大到小變化 D．先由小到大，后由大到小變化解：如圖，設(shè)OE交BC于點(diǎn)M，OF交CD于點(diǎn)N，設(shè)正方形ABCD的邊長為a．∵O是正方形ABCD的中心，∴∠BOC＝90°，OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∵∠EOF＝90°，∠COE＝α，∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COE＝90°﹣α，∠CON＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣α，∴∠BOM＝∠CON，在△BOM和△CON中，，∴△BOM≌△CON（ASA），∴S△BOM＝S△CON，∴S四邊形OMCN＝S△CON+S△COM＝S△BOM+S△COM＝S正方形ABCD，∴S陰影＝S扇形EOF﹣S四邊形OMCN＝π?OC2﹣S正方形ABCD＝π×（a）2﹣a2＝a2，∵a是定值，∴S陰影＝a2（定值），∴當(dāng)α由小到大變化時(shí)，圖中陰影部分的面積不變．故選：A．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11．（3分）若兩個(gè)相似圖形的周長比為3：1，則它們的面積比為9：1．解：∵兩個(gè)相似三角形的周長比為3：1，∴兩個(gè)相似三角形的相似比為3：1，∴兩個(gè)相似三角形的面積比為9：1．故答案為：9：1．12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A（﹣1，a）和點(diǎn)B（b，2）關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，則a+b的值為﹣1．解：∵坐標(biāo)系中點(diǎn)A（﹣1，a）和點(diǎn)B（b，2）關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，∴b＝1，a＝﹣2，則a+b＝﹣2+1＝﹣1．故答案為：﹣1．13．（3分）已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則當(dāng)電阻為6Ω時(shí)，電流為6A．解：設(shè)反比例函數(shù)式I＝．∵把（9，4）代入反比例函數(shù)式I＝，∴k＝9×4＝36．∴I＝，∴當(dāng)R＝6Ω時(shí)，I＝6A．故答案為：6．14．（3分）如圖，在矩形ABCD中，若AB＝3，BD＝5，，則線段CE的長為．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD，CD＝AB＝3，AD∥BC，∵BD＝5，∴AD＝＝4，∴BC＝4，∵，∴DE＝1，∴CE＝＝＝，故答案為：．15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D是CB延長線上一點(diǎn)，且∠DAB＝45°，則AD的長為40．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，過B作BH⊥AD于H，∵∠DAB＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AH＝BH＝AB＝5，∵∠BHD＝∠C＝90°，∠D＝∠D，∴△DBH∽△DAC，∴，∴＝＝，∴DH＝35，∴AD＝35+5＝40，故答案為：40．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0；（2）已知y與x+3成反比例，并且當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x+1）（x﹣5）＝0，則x+1＝0或x﹣5＝0，所以x1＝﹣1，x2＝5．（2）由題知，令y＝，則，解得k＝8，所以y＝，故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝．17．（7分）一個(gè)不透明的盒子中有三枚棋子，其中兩枚是白色，一枚是黑色，這些棋子除顏色不同外，其余完全相同．（1）從盒子中隨機(jī)摸出一枚棋子，摸出的棋子是白色的概率是；（2）若小敏從盒子中隨機(jī)摸出一枚棋子，記錄下棋子顏色，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出一枚棋子，記錄下棋子顏色，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求摸出的兩枚棋子中一枚是白色，一枚是黑色的概率．解：（1）由題意知，共有3種等可能的結(jié)果，其中摸出的棋子是白色的結(jié)果有2種，∴從盒子中隨機(jī)摸出一枚棋子，摸出的棋子是白色的概率是．故答案為：．（2）列表如下：白白黑白（白，白）（白，白）（白，黑）白（白，白）（白，白）（白，黑）黑（黑，白）（黑，白）（黑，黑）共有9種等可能的結(jié)果，其中摸出的兩枚棋子中一枚是白色，一枚是黑色的結(jié)果有4種，∴摸出的兩枚棋子中一枚是白色，一枚是黑色的概率為．18．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，4）．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸左側(cè)畫出與△ABC的相似比為2的△A1B1C1，其中點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A1，B1，C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)．（2）畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2，其中點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A2，B2，C2，并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)．（3）如果在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)D（x，y），請寫出點(diǎn)D經(jīng)過（2）變化后的對應(yīng)點(diǎn)D2的坐標(biāo)．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．由圖可得，點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（﹣2，8）．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．由圖可得，點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（﹣4，﹣1）．（3）由題意得，點(diǎn)D2的坐標(biāo)為（﹣y，x）．19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C（1，c），D（3，2），連接OC，OD．（1）分別求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求△OCD的面積．解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)D（3，2），∴m＝3×2＝6．∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，∵點(diǎn)C（1，c）在y＝上，∴c＝6．∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），把C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝kx+b，得，解得∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣2x+8；（2）在y＝﹣2x+8中，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝4，∴A（4，0），∴OA＝4，∴S△OCD＝S△AOC﹣S△AOD＝﹣＝12﹣4＝8．20．（8分）項(xiàng)目化學(xué)習(xí)：學(xué)校綜合實(shí)踐活動小組針對銷售花卉獲得最大利潤開展項(xiàng)目化學(xué)習(xí)活動，請你參與活動，并與他們共同完成該項(xiàng)目任務(wù)．項(xiàng)目主題：怎樣獲得最大利潤？驅(qū)動問題：數(shù)學(xué)來源于生活，也服務(wù)于生活．請你運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識幫助校外花店的李老板獲得最大利潤．分步探究：任務(wù)一：市場調(diào)查李老板的花店以15元/盆的價(jià)格新購進(jìn)了某種盆栽花卉，項(xiàng)目組同學(xué)幫李老板調(diào)查了附近A，B，C，D，E五家花店近期該種盆栽花卉的售價(jià)與日銷售量情況，記錄如下：花店售價(jià)/（元/盆）日銷售量/盆A2246B2344C2442D2540E2638任務(wù)二：模型建立（1）根據(jù)調(diào)查記錄表中的信息可知，花卉的日銷售量y（單位：盆）是售價(jià)x（單位：元/盆）的一次（選填“一次”“二次”或“反比例”）函數(shù)，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣2x+90．任務(wù)三：問題解決（2）根據(jù)以上信息，李老板在銷售這種花卉，售價(jià)為多少元時(shí)，每天能夠獲得最大利潤？最大利潤為多少元？解：（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可知，花卉的日銷售量y（單位：盆）是售價(jià)x（單位：元/盆）的一次函數(shù)．設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx+b（k≠0），把x＝22，y＝46和x＝23，y＝44代入解析式得：，解得，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣2x+90，故答案為：一次，y＝﹣2x+90；（2）設(shè)李老板每天能夠獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得：w＝（x﹣15）y＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝30時(shí)，w有最大值，最大值為450，答：當(dāng)售價(jià)為30元時(shí)，每天能夠獲得最大利潤，最大利潤為450元．21．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑作⊙O，⊙O分別與AC，BC，AB相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接CG，過點(diǎn)E作⊙O的切線，交AB于點(diǎn)H．（1）求DG的長．（2）求EH的長．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝＝5，∵CD是直徑，∴∠CGD＝90°，∴CG⊥AB，∵?AC?BC＝?AB?CG，∴CG＝，∵AD＝DB，∴CD＝AB＝，∴DG＝＝＝；（2）如圖，連接OE，DE，過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M．∵CD是直徑，∴∠CED＝90°，∴DE⊥AC，∵DC＝DA，∴AE＝EC，∵OC＝OD，∴OE∥AB，∵EH是⊙O的切線，∴OE⊥EH，∴∠OEH＝90°，∵∠OEH+∠EHG＝180°，∴∠OEH＝∠EHM＝90°，∵OM⊥DG，∴DM＝MG，∠OMH＝90°，∴四邊形OEHM是矩形，∴EH＝OM，∵DM＝MG，OD＝OC，∴OM＝CG＝，∴EH＝OM＝．22．（12分）如圖，拋物線L：y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)坐標(biāo)為P，對稱軸交x軸于點(diǎn)D．（1）求拋物線L的解析式和頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）已知拋物線L'與拋物線L關(guān)于點(diǎn)M（m，0）對稱，點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為點(diǎn)P'，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D'，若△PDB∽△MD'P'，求拋物線L'的解析式．解：（1）設(shè)拋物線L的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），代入C（0，﹣3）得，﹣3a＝﹣3，∴a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4）；（2）∵拋物線L的對稱軸為直線x＝1，∴D（1，0），∵P（1，﹣4）．B（3，0），∴BD＝2，DP＝4，設(shè)P'（x，y），∵拋物線L′與拋物線L關(guān)于點(diǎn)M（m，0）中心對稱，點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為點(diǎn)P'，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D′，∴△MDP≌△MD'P'，∵△PDB∽△MD′P′，∴△PDB∽△MDP，∴＝，即＝，∴DM＝8，當(dāng)M在D（1，0）左側(cè)時(shí)，M（﹣7，0），∵P（1，﹣4），P'（x，y），∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，∴，∴P'（﹣15，4），∵拋物線L′與拋物線L關(guān)于點(diǎn)M（m，0）中心對稱，∴開口方向發(fā)生了變化，開口大小沒變，∴拋物線L′的表達(dá)式為y＝﹣（x+15）2+4；當(dāng)M在D（1，0）右側(cè)時(shí)，M（9，0），∵P（1，﹣4），P'（x，y），∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，∴，∴P'（17，4），∴拋物線L′的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣17）2+4．綜上，拋物線L′的表達(dá)式為y＝﹣（x+15）2+4或y＝﹣（x﹣17）2+4．23．（13分）綜合與探究如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線B→C→D→A移動，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1cm的速度在對角線CA上移動，點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止移動．設(shè)移動時(shí)間為t