矩陣范數(shù)3.2矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)的概念與性質(zhì)

定義3.3如果對(duì)任意矩陣都有一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng),記為且滿(mǎn)足下面的條件.(1)正定性：當(dāng)時(shí),且(2)齊次性：對(duì)(3)三角不等式：有(4)相容性：當(dāng)矩陣乘積有意義時(shí),有那么,稱(chēng)是矩陣的矩陣范數(shù).例3.8

設(shè)試證明下面兩個(gè)函數(shù)都是矩陣范數(shù)：

都是矩陣范數(shù)．矩陣范數(shù)證對(duì)函數(shù)而言,顯然,它具有非負(fù)性與齊次性,下面僅需證明三角不等式及相容性.三角不等式：

相容性：設(shè)則

矩陣范數(shù)因此,是的矩陣范數(shù).下面證明也是矩陣范數(shù).此時(shí),非負(fù)性與齊次性顯然也是成立的.三角不等式：

相容性：設(shè)則

故也是矩陣范數(shù).矩陣范數(shù)定義3.4對(duì)于中的矩陣范數(shù)和與中的同類(lèi)向量范數(shù)如果

則稱(chēng)矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容.例3.9設(shè)定義

證明是中的一種矩陣范數(shù),且與向量范數(shù)相容.此范數(shù)稱(chēng)為矩陣的Frobenius

范數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)F-范數(shù).證顯然,具有非負(fù)性與齊次性.三角不等式：對(duì)有矩陣范數(shù)因此從而

相容性：對(duì)有

矩陣范數(shù)即是的矩陣范數(shù).在相容性的證明中,若取則有

即矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容.定理3.4設(shè)且與都是酉矩陣,則

證由F-范數(shù)的定義可知，

矩陣范數(shù)推論3.1與矩陣酉相似的矩陣的F-范數(shù)是相同的,即若其中是與方陣同階的酉矩陣,即例3.10設(shè)為中任一矩陣范數(shù),取定中一個(gè)非零向量定義則是中的向量范數(shù),且與相容.證非負(fù)性：當(dāng)時(shí),從而；當(dāng)時(shí),從而齊次性：有三角不等式：對(duì)有

從而,是中的向量范數(shù).當(dāng)時(shí),有因此,矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容.矩陣范數(shù)矩陣的算子范數(shù)首先給出一種構(gòu)造與已知向量范數(shù)相容的矩陣范數(shù)的方法.設(shè)是中的向量范數(shù),我們希望在建立一種矩陣范數(shù)使得對(duì)都有

當(dāng)時(shí),這啟發(fā)我們定義

定理3.5

設(shè)是中的向量范數(shù),由式(3.1)定義的是中的一種矩陣范數(shù),稱(chēng)為矩陣的算子范數(shù),且與中的向量范數(shù)相容.證首先,注意到且故

矩陣范數(shù)因此,式(3.1)是有意義的.非負(fù)性：且由式(3.1)可知,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)即齊次性：三角不等式：有

相容性：當(dāng)時(shí),有

矩陣范數(shù)所以從而

綜上所述,由式(3.1)定義的是中的一種矩陣范數(shù),且與中的向量范數(shù)相容.注矩陣的算子范數(shù)是一類(lèi)范數(shù),是由向量范數(shù)導(dǎo)出的,因此又稱(chēng)之為由向量范數(shù)導(dǎo)出的矩陣范數(shù)或從屬于向量范數(shù)的矩陣范數(shù).下面借助3種常用的向量范數(shù)(1-范數(shù)、2-范數(shù)和-范數(shù)),按式(3.1)可以分別導(dǎo)出3種常用的矩陣范數(shù),依次記為、和這3種矩陣范數(shù)的值可以用矩陣的元素,以及的特征值具體表示出來(lái),現(xiàn)敘述如下.矩陣范數(shù)定理3.6設(shè)矩陣則從屬于向量的3種范數(shù)、和的矩陣的算子范數(shù)依次如下.(1)

(列范數(shù)).(2)

(譜范數(shù)),其中為的最大特征值.(3)

(行范數(shù)).證

(1)設(shè)則

矩陣范數(shù)因此,

選取使得

取有從而

故注由于為的列向量的1-范數(shù)的最大值,因此又稱(chēng)其為的列范數(shù).因?yàn)闉镠ermitian矩陣,且半正定,所以其特征值均為非負(fù)實(shí)數(shù),不妨設(shè)為

具有個(gè)兩兩正交且2-范數(shù)為1的特征向量并設(shè)它們依次屬于特征值于是,對(duì)任何一個(gè)2-范數(shù)為1的向量可以用這些特征向量來(lái)線(xiàn)矩陣范數(shù)性表示,即

于是

從而

另外,由于而且因此

故注的2-范數(shù)也稱(chēng)為的譜范數(shù).

矩陣范數(shù)(3)設(shè)則

因此

選取使得

取其中

有且從而

矩陣范數(shù)故注由于為的行向量的