矩陣?yán)碚?課件 第6章第4節(jié)矩陣的奇異值分解_第1頁
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文檔簡介

矩陣的奇異值分解6.4從Beltrami(1873)和Jordan(1874)提出奇異值分解(SVD,Singularvaluedecomposition)至今，SVD及其推廣已經(jīng)成為矩陣計算最有用和最有效的工具之一，在最小二乘問題、最優(yōu)化、統(tǒng)計分析、信號與圖像處理、系統(tǒng)理論與控制、最佳逼近問題和實驗數(shù)據(jù)處理等領(lǐng)域被廣泛使用。矩陣的奇異值分解定義6.7設(shè)，則階Hermite矩陣是半正定的，因而特征值

均為非負(fù)實數(shù)，可以表示為稱其算術(shù)平方根為矩陣的奇異值．定理6.10設(shè),則存在階酉矩陣以及階酉矩陣，使

其中,且是矩陣的正奇異值．這時式（6-7）稱為矩陣的奇異值分解式．證明由定理6.5，階矩陣是半正定的Hermite矩陣,因而，不妨設(shè)的特征值為

由定義令均為的奇異值，且滿足矩陣的奇異值分解由為半正定的Hermite矩陣，從而存在階酉矩陣，使其中令，其中是列，則

矩陣的奇異值分解比較上式左右兩邊的矩陣，可得

又因為所以令則即為階矩陣且列向量是兩兩正交的單位向量，記為將其擴(kuò)充成酉空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，令則矩陣的奇異值分解是階酉矩陣，且有，，故定理6.11設(shè)為階非奇異矩陣，則存在階酉矩陣及，使得

（6-8）若將和分別寫成，，則矩陣的奇異值分解證明由非奇異，為階正定的Hermite矩陣，故存在階酉矩陣，使其中為的特征值，令則令矩陣的奇異值分解則故而且酉對角分解的求法正如證明中所給：先對對角化（酉對角化），求出變換酉矩陣，再令即可．例6.11求矩陣的奇異值分解．解，則，可得的特征值為

.由此可得矩陣的奇異值分解又的特征值所對應(yīng)的特征向量分別是由于是Hermite矩陣，故兩兩正交，將其單位化

矩陣的奇異值分解得正交矩陣

取取的列向量生成子空間的正交補(bǔ)的基

，得，從而矩陣的奇異值分解因此，的奇異值分解為矩陣的奇異值分解例6.12設(shè)矩陣且矩陣的奇異值分解為

，其中

證明的列向量是的特征向量，而的列向量是的特征向量．證明由的奇異值分解式可得

故

令，代入上式得到

矩陣的奇異值分解故的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量．同理可證,從而令，代入上式得故的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.

矩陣的奇異值分解例6.13求矩陣的奇異值分解．解因為,所以，因此，可計算的特征值為它們所對應(yīng)的單位特征向量分別是

又因為

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