重難點突破06證明不等式問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納總結(jié) 2題型一：直接法 2題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造） 3題型三：分析法 5題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù) 5題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友 7題型六：放縮法 8題型七：虛設(shè)零點 10題型八：同構(gòu)法 11題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 13題型十：分段分析法、主元法、估算法 15題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值 16題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題 17題型十三：三角函數(shù) 1803過關(guān)測試 19

利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形題型一：直接法【典例1-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．（參考數(shù)據(jù)：）【典例1-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．【變式1-1】（2024·四川·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若有3個極值點，求a的取值范圍；(2)若，，證明：．【變式1-2】已知函數(shù)，．(1)求的最小值；(2)證明：．【變式1-3】（2024·寧夏吳忠·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）【典例2-1】（2024·河北滄州·模擬預測）對于函數(shù)和，設(shè)，若存在使得，則稱和互為“零點相鄰函數(shù)”.設(shè)，，且和互為“零點相鄰函數(shù)”.(1)求的取值范圍；(2)令（為的導函數(shù)），分析與是否互為“零點相鄰函數(shù)”；(3)若，證明：.【典例2-2】（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求證：函數(shù)的圖象位于直線的下方；【變式2-1】已知函數(shù)有且只有一個零點，其中．(1)求的值；(2)若對任意的，有成立，求實數(shù)的最大值；(3)設(shè)，對任意，證明：不等式恒成立．【變式2-2】設(shè)，當時，求證：．【變式2-3】（2024·山東菏澤·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若，證明:．題型三：分析法【典例3-1】已知函數(shù)，當時，證明：.【典例3-2】已知函數(shù)，．(1)若直線是函數(shù)的圖象的切線，求實數(shù)的值；(2)當時，證明：對于任意的，不等式恒成立．【變式3-1】（2024·山東·模擬預測）已知函數(shù)，其中.(1)求曲線在點處切線的傾斜角；(2)若函數(shù)的極小值小于0，求實數(shù)的取值范圍；(3)證明：.題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)【典例4-1】已知函數(shù)，證明：當時，.【典例4-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的最大值；(2)證明：當時，．【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)的最小值與的最小值之和為，求的值．(2)若，，證明：．【變式4-2】已知，，，求證：．【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線方程為，求的值及的單調(diào)區(qū)間．(2)若的極大值為，求的取值范圍．(3)當時，求證：．【變式4-4】已知函數(shù)，求證：.【變式4-5】（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求證：.題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友【典例5-1】（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)的導函數(shù)為.(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，證明：.【典例5-2】（2024·青?！つM預測）已知質(zhì)數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．(1)求m的值；(2)證明：對一切，都有．【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)求實數(shù)的值．(2)當時，證明：對，都有．【變式5-2】（2024·廣西·模擬預測）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)證明：．【變式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函數(shù)，為的極值點.(1)求a；(2)證明：.題型六：放縮法【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最值．(2)證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【典例6-2】已知函數(shù)，為的導函數(shù)．(1)求函數(shù)的零點個數(shù)；(2)證明：．【變式6-1】（2024·江蘇徐州·模擬預測）已知函數(shù)，.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，證明：.【變式6-2】（2024·山東棗莊·模擬預測）已知函數(shù)，為的導數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若是的極大值點，求的取值范圍；(3)若，證明：．【變式6-3】（2024·遼寧大連·模擬預測）定義：若曲線或函數(shù)的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為曲線或函數(shù)的圖象的“自公切線”.(1)設(shè)曲線C：，在直角坐標系中作出曲線C的圖象，并判斷C是否存在“自公切線”？（給出結(jié)論即可，不必說明理由）(2)證明：當時，函數(shù)不存在“自公切線”；(3)證明：當，時，.【變式6-4】已知函數(shù)，證明：當時，.題型七：虛設(shè)零點【典例7-1】（2024·山東濟南·二模）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：.【典例7-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)若，，求證：．【變式7-1】已知函數(shù).(1)若在定義域內(nèi)不單調(diào)，求a的取值范圍；(2)證明：若，且，則.【變式7-2】（2024·高三·遼寧丹東·開學考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)求證：.【變式7-3】（2024·河北張家口·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：．【變式7-4】（2024·山東威?！ざ＃┮阎瘮?shù)．(1)求的極值；(2)證明：．題型八：同構(gòu)法【典例8-1】已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明．【典例8-2】已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，求證：在上恒成立；（3）求證：當時，．【變式8-1】（2024·甘肅定西·一模）設(shè)函數(shù)，(1)證明：.(2)當時，證明：.【變式8-2】（2024·甘肅白銀·三模）設(shè)函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性．(2)證明：．(3)當時，證明：．【變式8-3】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數(shù)（）.(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；(2)當時，求證：.【變式8-4】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與直線垂直，求的方程；(2)若，求證：當時，．題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理【典例9-1】證明不等式：．【典例9-2】已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時．若正實數(shù)，滿足，，，，證明：．【變式9-1】（2024·河南周口·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的極值點的個數(shù)．(2)“”是一個求和符號，例如，，等等．英國數(shù)學家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)，當時，，這就是麥克勞林展開式在三角函數(shù)上的一個經(jīng)典應用．證明：（i）當時，對，都有；（ii）．【變式9-2】英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數(shù)都存在時，．注：表示的2階導數(shù)，即為的導數(shù)，表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點后兩位；(2)由該公式可得：．當時，試比較與的大小，并給出證明（不使用泰勒公式）；(3)設(shè)，證明：.【變式9-3】閱讀材料一：“裝錯信封問題”是由數(shù)學家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667～1748）的兒子丹尼爾·伯努利提出來的，大意如下：一個人寫了封不同的信及相應的個不同的信封，他把這封信都裝錯了信封，問都裝錯信封的這一情況有多少種？后來瑞士數(shù)學家歐拉（LeonhardEuler，1707～1783）給出了解答：記都裝錯封信的情況為種，可以用全排列減去有裝正確的情況種數(shù)，結(jié)合容斥原理可得公式：，其中．閱讀材料二：英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處階可導，則有：，注表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．閱讀以上材料后請完成以下問題：(1)求出的值；(2)估算的大小（保留小數(shù)點后2位），并給出用和表示的估計公式；(3)求證：，其中．題型十：分段分析法、主元法、估算法【典例10-1】已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的導函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對，恒成立．【典例10-2】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當，且時，．【變式10-1】若定義在上的函數(shù)滿足，，．（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當且時，試比較和哪個更接近，并說明理由．【變式10-2】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，求證：對任意的，，．題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值【典例11-1】（2024·河南·模擬預測）已知，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.(1)求a，b的值;(2)若方程（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個實數(shù)根，且，證明：【典例11-2】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個不相等的零點，且.①證明：隨的增大而增大；②證明：.【變式11-1】（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求證：；(2)若是的兩個相異零點，求證：．題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題【典例12-1】（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）已知函數(shù)．(1)證明：時，；(2)證明：．【典例12-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在內(nèi)點處的切線斜率為，求點的坐標；(2)①當時，求在上的最小值；②證明：．【變式12-1】（2024·江蘇南通·模擬預測）已知函數(shù)，且在上的最小值為0.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，若對任意實數(shù)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).（i）求證：函數(shù)在上具有性質(zhì)；（ii）記，其中，求證：.【變式12-2】（2024·天津·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求在點處的切線方程；(2)若恒成立，求的值；(3)求證：．【變式12-3】（2024·湖南衡陽·三模）已知正項數(shù)列的前項和為，首項.(1)若，求數(shù)列的通項公式；(2)若函數(shù)，正項數(shù)列滿足：.（i）證明：；（ii）證明：.題型十三：三角函數(shù)【典例13-1】（2024·全國·三模）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求a的值；(2)證明：.【典例13-2】（2024·遼寧·模擬預測）已知函數(shù)，(1)求的最小值；(2)證明：.【變式13-1】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，，證明：.【變式13-2】已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)求曲線在處的切線方程(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的最大值；(3)證明：．【變式13-3】（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，，且，證明：.1．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)若，證明：時，；(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；(3)已知數(shù)列的通項公式為，求證：．2．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)．(1)判斷并證明的零點個數(shù)(2)記在上的零點為，求證;（i）是一個遞減數(shù)列（ii）．3．（2024·山東·模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)當時，判斷的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點．（?。┳C明：；（ⅱ）證明：時，．4．已知，.(1)若，判斷函數(shù)在的單調(diào)性；(2)設(shè)，對，，有恒成立，求k的最小值；(3)證明：..5．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；(2)求證：．6．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．7．（2024·河北滄州·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的值域；(2)求證：當時，．8．已知函數(shù).(1)當時，求的極值；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.9．已知，函數(shù)，．(1)若函數(shù)的最小值是0，求實數(shù)m的值；(2)已知曲線在點處切線的縱截距為正數(shù)．（?。┳C明：函數(shù)恰有兩個零點；（ⅱ）證明：．10．（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)，(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)證明：.11．（2024·廣東廣州·三模）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)已知，證明：．12．已知函數(shù)．(1)證明：．(2)已知，證明：．13．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值．(2)證明：當且時，．14．（2024·貴州黔東南·二模）已知函數(shù)在處的切線為軸.(1)求實數(shù)的值；(2)若，證明：.15．（2024·福建莆田·三模）已知函數(shù)，其中.(1)當時，，求的取值范圍.(2)若，證明：有三個零點，，（），且