羅村高級中學(xué)2024—2025學(xué)年度第二學(xué)期高一年級數(shù)學(xué)科段測一（必修一5.5，5.6，5.7必修二6.1，6.2，6.3）考試題（全卷共4頁）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用幾何關(guān)系，確定，再利用向量的線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，?故選：D2.設(shè)、是不共線的兩個(gè)非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用共線向量的知識可解決此問題．【詳解】根據(jù)題意得，2（）=,由共線向量基本定理知與共線，因此不能作為基底；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的簡單應(yīng)用．3.化簡的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦的倍角公式化簡，并根據(jù)進(jìn)一步化簡.詳解】，故選：D4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和與差的公式列出方程組求解即可.【詳解】因?yàn)樗詣t故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用角的變換，代入兩角差的正切公式即可求解.【詳解】．故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的變換，兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對于AC，利用完全平方公式與三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可判斷；對于B，結(jié)合選項(xiàng)A中結(jié)論即可判斷；對于D，利用選項(xiàng)C中的結(jié)論求得，進(jìn)而求得，再根據(jù)二倍角的正切公式即可求解.【詳解】由①，以及，對等式①兩邊取平方得，②，故A正確；因?yàn)椋?，所以由②可得，所以，故B正確；所以③，故C錯(cuò)誤；①③聯(lián)立解得，所以，所以，故D正確．故選：C．7.在中，，邊上的高等于，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由邊上的高等于，根據(jù)勾股定理求出，然后再利用余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)邊上的高為，因?yàn)檫吷系母叩扔冢?，所以，，，所以由勾股定理可得，所以由余弦定理?故選：B.8.已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后與原圖象重合，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.8【答案】B【解析】【分析】由題可知，是該函數(shù)的周期的整數(shù)倍，根據(jù)可得答案.【詳解】由題可知，是該函數(shù)的周期的整數(shù)倍，即，解得，又，故其最小值為．故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，為非零向量，則下列命題中正確的是（）A.若，則與方向相同B.若，則與方向相反C.若，則與有相等的模D.若，則與方向相同【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量共線的特征進(jìn)行求解.【詳解】根據(jù)平面向量的平行四邊形或三角形法則，當(dāng)與不共線時(shí)，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，有.當(dāng)與同向時(shí)有，反之也成立；當(dāng)與反向時(shí)有，，反之也成立.故選:ABD.10.要得到的圖象，可以將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)（）A.向右平行移動個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍B.向右平行移動個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍C.橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再把所得各點(diǎn)向右平行移動個(gè)單位長度D.橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再把所得各點(diǎn)向右平行移動個(gè)單位長度【答案】AD【解析】分析】利用三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換求解.【詳解】將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝sin(x)，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到y(tǒng)＝sin(2x)．也可以將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到y(tǒng)＝sin2x，再把所得各點(diǎn)向右平行移動個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝sin2(x)＝sin(2x)．故選：AD．11.下列四個(gè)等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對A，，利用兩角和的正切公式化簡求解；對B，利用二倍角正弦公式，再轉(zhuǎn)化為齊次式弦化切求解；對C，利用二倍角余弦公式求解；對D，通分，再利用兩角差的正弦公式化簡即可.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，故B正確；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分12.已知點(diǎn)，，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】確定，再根據(jù)公式計(jì)算投影向量即可.【詳解】，向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為.故答案為：13.函數(shù)的圖象如圖所示，則__________【答案】【解析】【分析】依據(jù)圖象求周期可得，代坐標(biāo)求，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圖象可知，且，所以，解得，又圖象過點(diǎn)，所以，即，解得，又，所以，可得故答案為：14.將余弦函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫胶瘮?shù)的圖象，若在區(qū)間上恰有1個(gè)最小值和3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為___.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖像變換可得，再以為整體，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)列式求解即可.【詳解】余弦函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得，再將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模傻?，因，且，則，由題意可得：，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共計(jì)77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，．（1）若，求；（2）若，，求與的夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐標(biāo)，利用向量模長公式計(jì)算即得；（2）利用向量共線求得的值，代入向量坐標(biāo)，利用向量夾角公式計(jì)算即得.【小問1詳解】由題意，因?yàn)?，則，得，則，所以；【小問2詳解】由已知，又，，所以，得，則，，故．16.已知，，、.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式求出和的值，然后利用兩角差的余弦公式可求出的值；（2）利用兩角和的余弦公式求出的值，并求出角的取值范圍，即可求出的值.【詳解】（1）且，.，，因此，；（2）由（1）知，，且，，，、，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角差的余弦公式求值，同時(shí)也考查了給值求角，涉及二倍角正弦公式和余弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.17.已知函數(shù)的最大值為1.（1）求常數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求使成立的實(shí)數(shù)的取值集合.【答案】（1）（2）.（3）【解析】【分析】（1）化簡，求最大值，即可求解；（2）應(yīng)用整體思想，結(jié)合正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，即可得出結(jié)論；（3）運(yùn)用正弦函數(shù)圖像，即可求解.【詳解】解：.（1）函數(shù)的最大值為，所以.（2）由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）由（1）知.因?yàn)椋?所以，所以.所以，所以使成立的的取值集合為.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換，化簡解析式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角不等式，屬于中檔題.18.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要（參考數(shù)據(jù)）（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）求游客甲在開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)P，以軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為，計(jì)算得到答案.（2）將數(shù)據(jù)代入解析式計(jì)算得到答案.（3）計(jì)算，，相減得到，計(jì)算最值得到答案.【小問1詳解】如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)P，以軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)時(shí)，游客甲位于點(diǎn)，以O(shè)P為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為，由題意可得，.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，所以，所以游客甲在開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度約為.【小問3詳解】如圖，甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)A，B表示，則.經(jīng)過后甲距離地面的高度為，點(diǎn)B相對于點(diǎn)A始終落后，此時(shí)乙距離地面的高度為.則甲、乙距離地面的高度差，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，h的最大值為.所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為.19.如圖，已知直線．垂直于直線、，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，是上一動點(diǎn)，作，