§2.6指數(shù)函數(shù)

預備知識

(1)/優(yōu)=ar+i(a>0,r,5eQ)

i.分數(shù)指數(shù)察的性質(zhì)⑴,(2)(優(yōu))'=a"(a>0,r,seQ)

(3)(abY-arbr(a>0,/?>0,reQ)

2.0的正分數(shù)指數(shù)慕等于0,0的負分數(shù)指數(shù)嘉沒有意義

課本知識導學運用

課本知識詮解

1.指數(shù)函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=a'(a>0且aKl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，指數(shù)函數(shù)的定義域為R,值域為(0,+8).

2.指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

a>l0<a<l

像小

性定義域R,值域(0,+8).

恒過定點(0,1)即x=0,y=l

x>0時，y>lxVO時，OVyVlx>0時，x<y<lx<0時，y>l

質(zhì)在(-8,+8)上為增函數(shù)在(-8,+8)上為減函數(shù)

當x>0時，a越大圖像越高當x>0時，a越大圖像越低

當x<0時，a越大圖像越低當x<0時，a越大圖像越高

重要提示

1.定義中規(guī)定a>0且a/1,是為了保證定義域為實數(shù)集，具有單調(diào)性.

2.底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖像的影響：①無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何變化，指數(shù)函數(shù)y=ax的圖像與直線x=1的交點坐標均為(1,a);②當a

>1時，a由大變小接近于1時，函數(shù)y=ax的圖像與直線x=1的交點逐漸接近直線y=1;③當0<a<1時，a由大變小接近于。時，函數(shù)

y=ax的圖像與直線x=1的交點逐漸接近x軸.

隨筆：

對于指數(shù)函數(shù)注意到它們的圖像，就很容易知道它們的性質(zhì)，特別注意掌握以下四條性質(zhì)有利于解答某些題目:

x>0,則a*>1.

(1)當a>l時,

x<0jij0<av<1.

x>0,貝1」0<優(yōu)<1

當OVaVl時，\

x<0,則a">1.

(2)當a>l時，a越大，圖像越靠近y軸，當0<aVl時，a越小，圖像越靠近y軸.

(3)底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)圖像關于y軸對稱.

1t

(4)給出兩個指數(shù)函數(shù)y尸*y2=a2，①若a2>a>l,當x>0時,y2>yi>L當x<0時，y2<yi<l.

②若OVazVaiVl,當xVO時，y2<yi<l,當x>0時、y2>y)>l.

3.函數(shù)圖像的變換

(1)平移變換：函數(shù)尸f(x+a)的圖像是由產(chǎn)f(x)的圖像向左、向右平移得到，當a>0時，是由函數(shù)y=f(x)圖像向左平移a個單位得到；

當a<0時，是由y=f(x)的圖像向右平移a個單位得到.

函數(shù)y=f(x)+b的圖像是由尸f(x)的圖像向上、向下平移得到的.當b>0時，是由尸f(x)圖像向上平移b個單位得到；當bVO時，是由

y=f(x)的圖像向下平移b個單位得到的.

(2)對稱變換

函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)的圖像關于x軸對稱；

函數(shù)y二f(x)與尸f(-X)的圖像關于y軸對稱；

函數(shù)y二f(x)與y=-f(-x)的圖像關于原點對稱；

函數(shù)y=f(x)與y=『(x)的圖像關于直線y=x對稱；

函數(shù)y=|f(x)|的圖像，由函數(shù)y=f(x)在x軸及其上方的圖像與在x軸卜.方部分沿x軸“翻折”到上方合并而成；

函數(shù)y=f(lx)的圖像由函數(shù)y=f(x)(x^O)的圖像及其關于y軸對稱的圖像合并而成.

3.函數(shù)y=a'與y=a"(a>0且aw1)的圖像關于x軸對稱;函數(shù)y=a:與尸Ra>0且aw3的圖像關于y軸對稱.

隨筆：

4.形如y=afW(a>0且aW1)的函數(shù)為指數(shù)型復合函數(shù)，其性質(zhì)有：

(1)函數(shù)y=a?的定義域與u=f(x)的定義域相同：

(2)當a>l時，函數(shù)y=a""與函數(shù)u=f(x)的單調(diào)性相同；當OVaVl時,函數(shù)y=a""與函數(shù)u=f(x)的單調(diào)性相反,若在某區(qū)間上,y=a"與

u=f(x)的單調(diào)性相同，則丫=2“3為增函數(shù)，當丫=1與u=f(x)的單調(diào)性相反時，y=a"*>是減函數(shù).

(3)要確定y=a""的值域，要先確定u=f(x)的值域，再結合y=a"的單調(diào)性及值域，可得到y(tǒng)=a“"的值域.

基礎例題點撥

【例題1】比較下列各題中兩個值的大?。?/p>

(1)1.72S,1.73;(2)0.8"',0.8"；

(3)1.7叱0.931

【解析】⑴???丫=1.7*在口上是增函數(shù)，又2.5<3,.dyi

(2)Vy=O.8"在R上是減函數(shù)又-0.l>-0.2,

A0.80|<0,8"

(3)VI.703>1.7°=1,而0.93yo.9=1,

A1.703>0,931

【思路點撥】形如a"與a"(a>0且aWl)的兩個數(shù)叫做底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個數(shù).比較它們的大小的方法是：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

若底數(shù)不同，指數(shù)也不同的兩個數(shù)比較大小，可借助中間數(shù).

工例題2］設—2=a叱其中a>0且arl,確定x為何值時，有

(l)yi=yz：(2)yi>y2.

隨筆：

一拖二

拖1已知下列不等式，比較mn的大?。?/p>

(1)2m<2n;

(2)0.2m>0.2n;

(3)am<an(0<a<1);

(4)am>a"(a>1).

答案：指數(shù)函數(shù)丫=2”,當a>1時在R上為增函數(shù)，當0<aV1時在R上為減函數(shù)，⑴用2”<2"，.'mCn;(2)2<1且0.2”

>0.2",；.m<n;(3)且a"<a",.".m>n；(4),；a>1且a*>a",x

隨筆：

拖2解下列方程或不等式：

(1)*=(0.5產(chǎn)；

(2武<(0.5心

答案：(1)由2-=(0.5)33得2"2'=2'叱.?.3-2X=4-3X\B|J3X2-2X-1=0,解得X=--或X=1.

3

⑵由(0.5產(chǎn)一■'得23-2<<(；)但，...ZEyzi又2>1,故上不等式等價于3-2x<4-3x2,即3x2-2x-1<0,解得-g<x<1.

【解析】(l)y,=y2/'=尸3x+l=-2x,解得x=-‘，故當x=-』il寸，有y尸”；

⑵當a>l時,yi>y23x+l>-2x,解得x>----;

3xH2x

當OVaVl時，yi>y2a>a'3x+lO2x,解得xV—;

【思路點撥】對于(1)山可2肅Ja)這是最簡單的指數(shù)方程，則有小也小"f(x)=g(x);對于(2)山>山轉化為/它不能等同于

3x+l>-2x,因為a不一定大于1,故應根據(jù)a>l或OVaVl兩種情形討論，也即由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性來解簡單的指數(shù)不等式.

【例題3】設f(x)=31求證：

(l)f(x)?f(y)=f(x+y)：

(2)f(x)-rf(y)=f(x-y)

【解析】(l)f(x)?f(y)=3x-3y=3x+y=f(x+y);

(2)f(x)-rf(y)=3x4-3y=3x-y=f(x-y).

【思路點撥】利用“同底數(shù)第相乘(除)，底數(shù)不變，指數(shù)相加(減)”進行證明.

e-x-e-~xex+e*

【例題4】設f(x)二,g(x)=

22

求證：(1)[g(x)]■-[f(x)]2=1;(2)f(2x)=2f(x)?g(x);

(3)g(2x)=[f(x)]2+[g(x)]2.

,ex+e-xex-e-x(eA+e-x)2-(ex-e-x)24e'e'x

【解析】(DLg(x)]2-[f(x)]J(-------------)2-(------------)2=-------------------------------------=-----------=ee=1；

2244

e+eex+e-x

(2)右邊=2(------------

)(—~T~)

隨筆：

X+XX+X

拖3證明：(1)若f(x)=ax+b,則f(-!——)=f('——J;

22

2

,X.+XX,+X

(2)若f(x"+ax+b,貝Uf(———7-)4f(———9—).

22

/、/M+M、犬1+%為+%2gb1,、1,、1r“、“、r

答案：⑴f(------=-)=8.?-------------+/f?=--+~~(z^1+人)=5(z依2+匕)=5"(再)+

乙乙乙乙乙乙乙乙

2

⑵盧；J)J+q.?+〃=*；+依2+份-；(玉_々)2=g[/(再)+/(》2月一-X2^■

一；3-尤2)，-。，二/(?22)-][/(尤)1+/(九2)]-

(ee-x)(ex+e-x)e2x-e-2''

-----------------------=-----------------=f⑵)=左邊;

22

e、+e-x,ex+e-x(ex-e-x)2~(ex+e-K)22e2x2e-2x

(3)右邊=(——---)-2+--(------------y=--------------------------------------=----------------

2244

e2x+-e-2x

----------------=g(2x)=左邊.

W

【思路點撥】要理解f(2x)及g(2x)的含義，并從復雜證到簡單.

重難點突破

重點?難點?易混點?易錯點?方法技巧

重難點

1.重點指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).

2.難點性質(zhì)的運用，考點是掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，能利用性質(zhì)比較熟練進行大小比較，會利用基本指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究簡函

數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì).掌握“數(shù)形結合”方法的使用.另外需掌握一般的函數(shù)圖像的變換，即：

(1)平移交換：函數(shù)y=f(x+a)的圖像是由y=f(x)的圖像向左、向右平移得到，當a>0時，是由y=f(x)圖像向左平移a個單位得到：當a

<0時，是由y=f(x)的圖像向右平移|a|個單位得到.函數(shù)y=f(x)+b的圖像是由y=f(x)的圖像向上、向下平移得到的.當b>0時，是由y=f(x)

圖像向上平移b個單位得到；當b<0時，是由y=f(x)的圖像向下平移⑹個單位得到的.

(2)對稱變換：函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)的圖像關于x軸對稱.

函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖像關于y軸對稱.

函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)的圖像關于原點對稱.

函數(shù)丫=￡6)與y=fT(x)的圖像關于直線y=x對稱.

函數(shù)y=|f(x)|的圖像，由函數(shù)y=f(x)在x軸及其上方的圖像與在x軸下方部分沿x軸“翻折”到上方合并而成.

函數(shù)y=f(卜1)的圖像由函數(shù)y=f(x)(xZO)的圖像及其關于y軸對稱的圖像合并而成.

易混易錯點

1.易混點

(1)為何指數(shù)函數(shù)y=a*中要規(guī)定底數(shù)a>0且aW1?

如果a=0,當x>0時，a'恒等于0；當xWO時，a”無意義.

如果aVO,比如y=(-4)”，這時對于x=L,x=',…等等，在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在.

42

如果a=l,y=l"=l,是一個常量，對它沒有研究的必要.

為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a>0且a#l.

(2)什么樣的函數(shù)才算指數(shù)函數(shù)？

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義知，形如y=a(a>0且aWl)的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù).如y=41y="y=(2aT)'(a>'且aWl)等都是指數(shù)函數(shù)；但象

2

y=-41y=3"'等只能算復合函數(shù)的指數(shù)函數(shù)，而像y=x",y=(-4);y=x'等根本不是指數(shù)函數(shù)，更般地函數(shù)y=m?af”>為指數(shù)函數(shù)的充要條件

是m=l,f(x)=l,且a>0；aWl.

(3)函數(shù)圖像的平移變換時所應平移的單位與方向易混淆

由y=f(x)得到y(tǒng)=f(x+小)：當0>0時，應向左平移e個單位；當巾<0時，應向右平移I小個單位.

(D(0

而由y=f(wx)(w關1)得到y(tǒng)+f(wx+<t>)的圖像時：若小>0,則向左平移----個單位；若巾<0,則向右平移-----個單位.

屈I㈤

【例題5］經(jīng)過怎樣的變換，由函數(shù)y=2|x|的圖象得到函數(shù)y=l2x+l|的圖像.

【解析】V2x+l=2(x+-),所以x變成了x+L,故應向左平移，個單位.

222

【思路點撥】平移變換的實質(zhì)是：左右移要看自變量X發(fā)生了怎樣的變化，上下移要看函數(shù)y發(fā)生了怎樣的變化，本題中，由y=2|x1變成

了y=|2x+l|,這里加1,是2x的變化，而X+，才是x的變化，故左移工個單位而不是左移1個單位.

22

2.易錯點

(1)忽視指數(shù)函數(shù)y=a"在0<aV1與a>1時的單調(diào)性不同導致解題出錯

【例題6】如果a'2>a""(a>0且arD,求x的取值范圍.

拖4為得到y(tǒng)=3的的圖像，只需將y=3”的圖像經(jīng)過怎樣的平移變換而得到.

~33

答案：,.?y=3%*=3-2x2,即由y=3%變至ljy=3"”:實質(zhì)上是x變至ijx--，故應向右平移一個單位.

22

a

拖5函數(shù)f(x)=a*(a>0且a,1)在［1,2］上的最大值比最小值大一，求a的值.

2

答案：當a>l時，f(x)=a'在［1,2］上為增函數(shù)則f(x)皿=f(x)mi產(chǎn)a,依題意有好一二日〃■，解得a二3一或a=0,乂a>l,1.a二一3.

222

a11

當OVaVl時，f(x)=at;ft［b2］上為減函數(shù),.,.f(x)皿:a,f(x)min=￡,??.a-a=一，解得a=一或a=O,又OVaVl,??.a=一.

222

31

綜合可知a二一或a=—

22

【錯解】Vax2-5x>ax'TX2-5X>X+7,BPx2-6x-7>0,解得xVT或x>7.

【易錯分析】指數(shù)型不等式的解法不同于指數(shù)型方程的解法.af(x>>aKW(a>0且aWl)應分a>l和OVaVl兩種情形討論：當a>l時，af(x)

>aB(x)f(x)>g(x);當OVaVl時，af(x)<aB(x)f(x)<g(x).

【」E解】當a>l時，，X2-5X>X+7,即X"6X-7>0,，xVT或x>7.當0VaVl時，Vax2Sx>ax<,.*.x2-5x<x+7,即x"6x-7

VO,???-1VXV7.綜上所述，當a>l時，x的取值范圍為xV-l或x>7；當OVaVl時，x的取值范圍為-1VXV7.

【思路點撥】在處理底數(shù)含有字母a的相關問題時，一定要有分類討論的意識，特別是利用單調(diào)性解決問題時更應分情況區(qū)別對待.

(2)忽視函數(shù)的定義域的制約作用

研究函數(shù)的所有問題，都離不開函數(shù)的定義域，因而解題時?定要樹立“定義域優(yōu)先”的原則.

【例題7］求函數(shù)y=g)々-2*-3的單調(diào)區(qū)間

【錯解】??,xJ2x-3=(xT)2-4在(-8,1］上遞減，在［1,+8)上遞增，從而丫=(，)-2-2*-3在(-8,1］上遞減，在［1,+8)上遞增.

【易錯分析】本題是指數(shù)型的復合函數(shù)y=a“*>,其單調(diào)性應與a有關，當a>l時，它的單調(diào)性與f(x)的單調(diào)性相同；當0<a<l時，它

的單調(diào)性與f(x)的單調(diào)性相反，并且還應考慮f(x)是否有意義.

【正解】依題意xJ2x-3》0,即函數(shù)的定義域為x》3或xWT,又對稱軸x=l(-?,T］U［3,+8),故所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為(-8,

-1］和［3,+8).

易知x?-2x-3在(-8,-1］上遞減，在［3,+8)上遞增，而Jx'-2x-3與x2-2x-3的單調(diào)性相同,且

隨筆：

拖6求函數(shù)

y=(g)Jr+2的單調(diào)區(qū)間.

答案：由-X2+X+2》0XKWOTWxW2,又-X2+X+2=-(X-L)?+2,...，ve［T,2］,故所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為［T,

24222

其中在［T,-］上-x*+x+2遞增，

2

...y=3'xF+2遞減,從而y=J)Ji+x+2在［L2］上遞增.

222

ocgci,...y=c|)'jJ-2A3在(_8,-1］上遞增，在［3,+8)上遞減.

(3)求指數(shù)型復合函數(shù)的值域時容易出錯

對于形如y=a"”的函數(shù)的值域的求法，應先確定u=f(x)的值域，再由y=a"的單調(diào)性結合u=f(x)的值域求得，以上這兩方面只要有一方面

出了問題，則所求結果不正確.

【例題8】求下列函數(shù)的值域：

(l)y=O.47T；(2)y=0.3Jx-l；

【錯解】?."=］的值域為(0,+8)

.1y=0.4=及尸0.3，￡斤的值域也為(0,+8).

【易錯分析】本題中的兩小題與y=a'并不等價，因為它們是復合函數(shù)因而求值域時要結合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

【正解】(D因為」一片0,所以y=0.4小的值域為{y|y>0且yKl};

X-1

(2)Vx-l>0,即人二1>0,又0<0.3<1,.10.3，工斤WO.31=1,且0.31>0,故所求函數(shù)的值域為{y|O<yWl}.

方法技巧

1.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小

【例題9】比較下列各函數(shù)值的大小

(1)0.4-2-02,2'%

⑵16”與18",

(3)a2""”,a"2%T(a>o且aWl)；

【解析】(1)T2“<2?=1,0.4""=(9產(chǎn)，且函數(shù)f(x)=(*),在(0,+8)上是增函數(shù)，.?.(3通過指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于],且

2222

指數(shù)相同時，底數(shù)越大，函數(shù)值越大，可知從而得0.

2

拖7求函數(shù)f(x)=(一)x、”值域.

3

答案：???u=x2-2x=(x-1)2-1有最小值一1,又0V，V1???f(x)二(-)x2-如應有最大值(,)7=3,即f(x)W3,考慮到指數(shù)函數(shù)的值域為R+,

333

AO<f(x)W3即為所求函數(shù)的值域.

隨筆：

2]3?22132,g)O,(—2)3,(〉；

拖8將下列各數(shù)從小到大排列起來：(.4，(1)2,35,(1-)2,(1)?

答案：；(2)0=1,因此，先將其余的數(shù)分成三類：(1)負數(shù)：(-2)3=--8；(2)大于0小于1的數(shù):(|)1,(|)2,(1)5=(|)'5;⑶大

6

2_i3-1222

于1的數(shù)：(*尸=(士尸,33,(士戶，然后將各類中的數(shù)比較大小

在⑵中，(3|)-2>(12)-2,(13)-2<(13)3'-

在⑶中，(.7-13=(鏟0-<(守3,-弓1)-3<33-

217-S-15：(]<(|/<3；

由此可得：(-2尸<(_)2<(-)2<(-)3<(-)°<

(2)指數(shù)與底數(shù)都不相同，可借助“中間數(shù)”比較大小,對于兩個同號的數(shù)，可采用作商比較.

叵工女16

216216168|6816

v=16.(—)=16-(-)=(72)-(-)6=(-------)16,而----->1,.-.——>1,BPle'^is18.

18161899991816

(3)V(2X2-3X+1)-(X2+2X-5)=X-5X+6=(X-2)(X-3)當0VaVl時，若x>3或xV2,貝ij2x?-3x+l>X2+2X~5,從而a""""Va"~'*；若2VXV3,

則2X2-3X+KX2+2X_5>從而

2x23x4,2x5

a->a^-,若x=2或x=3,貝1」a.a+JaX2g;

當a>l時，

若x>3或xV2,貝iJa2x26T>aX2--5

若2VxV3,貝lJa2U5"va”⑵$

若x=2或x=3,則&2".”=?、?5

【思路點撥】比較幾個數(shù)的大小，一般的步聚是：

①首先與零比較，分出正數(shù)與負數(shù)；②正數(shù)與1比較，分出大了1,小于1;③在以上兩類中再進行比較，若指數(shù)相同，底數(shù)不同，可根

據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象比較；若底數(shù)相同，指數(shù)不同，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分出大小；若指數(shù)、底數(shù)都不相同，則尋求“中間數(shù)”比較大小,

若指數(shù)的底數(shù)中含有字母，要進行分類討論；若指數(shù)、底數(shù)都不相同，“中間數(shù)”也不易找出，則可采用作商法與數(shù)值1比較，同時要充

分應用分數(shù)指數(shù)窄的運算性質(zhì)，并運用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等綜合知識比較出兩數(shù)的大小.

2.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求定義域與值域和單調(diào)性

【例題10］求下列函數(shù)的定義域值域、單調(diào)性：

⑴y=4”“+l;(2)y=jY嚴；即聯(lián)準

隨筆：

拖9試確定函數(shù)（o<a<b<1）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間.

答案：由-xJx+2>0xz+x-2^0,解得-2SxWl.?.函數(shù)的定義域為｛x|-2SxWl｝

又-XJX+2=-（X+，）2+2,對稱軸x=-^e［-2,1］故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為［-2,-L］和1］,其中在［-2,上，-x?-x+2遞

242222

增，二J-x?-x+2也遞增,X0<b<l,

.?.b'xJx+2遞減,進而_b'xJx+2遞增,故丫=2力后/在［-2,上遞增，同理可知在1］上遞減.

22

92

又當X=-C時，-x2-x+2有最大值一，當X=-2或x=1時，-X?x+2有最小值為0,由函數(shù)的單調(diào)性知二a-b3,外訪二aT,故值域為y|aTWy

4

2

Wa-b3.

【解析】（Dy=4'+2”|+1=（2*）2+2?2X+1=（2X+1）2

，定義域x￡R,又???2x>0

.??y=4*+2*'+l的值域為｛y|y>l）

又t=2'在R上始終遞增，且y=（t+l）z在tG（0,+8）上遞增，而t=2*>0,可見y=4*+2*"+l在（-8,+8）上遞增.

（2）定義域滿足1-（‘嚴）0,即（!）2ZW1,

33

.,.（-）2，1?（-）<，,從而2x-leo,.3》一，即所求函數(shù)的定義域為｛XIXRL｝.

3322

又,.,2xT在］—，+8）上遞增，.，.（一廠''在［—,+°°）上遞減，從而1-（一）「‘在［—,+8）上遞增，故y=J1—（一?在［—，+

23232V32

8）上為增函數(shù).

由于函數(shù)丫=Jl—d）"T在［,，+8）上為增函數(shù)，故當x='時，y有最小值為0,從而值域為（yly^O）.

V322

10x+10x_102x+1

10'-10x-102x-1

102x+ly+1

由10"TW0,...xWO,即定義域為｛x|x#O｝；又由y=--------得yT0-*-y=10"+l,二10"=----->0,...yCT或y>l,故所求函數(shù)的值

102x-1y-1

域為(-8,-1)U(1,+8).

102x+1102t-l+2,2

又y=—i—=-------------=1H—-------

102x-1102v-l102'-1

易知10"在(-8,0)和(0,+8)上遞增，

210x+10x

J.—：-------在(-8,0)和(0,+8)上均遞減，從而丫=-----------在(-8,0)和(0,+8)上為減函數(shù).

102t-l10x-10x

【思路點撥】求函數(shù)的值域和單調(diào)性都離不開定義域，故先正確求出函數(shù)的定義域是關鍵，函數(shù)值域的求法有時需借助單調(diào)性(尤其是指

數(shù)型復合函數(shù))；而函數(shù)的單調(diào)性除用定義判斷外，還有一些基本結論需要熟練掌握.

3.利用指數(shù)函數(shù)的圖象解題

【例題11］已知c<0,下列不等式中成立的一個是()

A.c>2CB.0(-),

2

11

C.2c<(-),D.2c>(-)c

22

【解析】在同一直角坐標系中分別作出>，=*,丫=(』］,丫=2乂的圖像，顯然，xVO時，C<2'<(L),,

22

即cVO時，eV2c<(')’，故選C.

圖2-6-2

【思路點撥】對于(A)、(B)直接求解較困難，利用圖像形象直觀易理解.

名題活題創(chuàng)新探究

例題分析解答

4X1232004

【例題12]設f(x)=---------,求￡(------)+/(-----)+/(-----)+???+/(-----)的值.

4x+22005200520052005

4

4°41-04am4"2.40+4-4°

【解析】Yf(a)+f(l-a)=H--:----------1-------------1---------4------------------------------=1

4"+24~+24"+2±+24"+24+244+2.40

拖10函數(shù)y=ax,y=bx,y=c",y=d的圖像如圖2-6-1所示，比較a,b,c,d的大小.

圖2-6-1

答案：由圖像的上升與下降知c>1,d>1,0<a<1,0<b<1,又?.?￥=/?'圖像在x>0的范圍內(nèi)位于函數(shù)y=d'圖像的上方，則0d>1,同

樣，y=b"的圖像在x<0的范圍內(nèi)位于函數(shù)y=a”的圖像上方，則b<a<1,綜合知c>d>1>a>b.(特別地，還可令x=1,作直線x=1分別與

四個函數(shù)圖像相交，由交點位置知c>d>1>a>b).

拖11已知函數(shù)

2

x]]]

f(x)=---------,求f(1)+f(2)+f(-)+f(3)+f(-)+f(4)+f(一)的值.

1+x2234

2

1x27

答案：v/U)+/(-)=-~~r+2+2=1

2\+xX+1

%1+ri+(l)

X

Af(1)+f(2)+f(—)+f(3)+f(-)+f(4)+f(—)=f(1)+[f(2)+f(—)]+[f(3)+f(-)]+[f(4)+f(—)]=----+1+1+1=—.

2342341+12

.?^(—51—)+2+/(——3)+-??+2004/(表”黑)十人^2—)+/(2^00^3)

200520052005200520052005

1002、//003、

----)+/(----)=1002.

20052005

【思路點撥】直接求出每個函數(shù)值再求和顯然很不現(xiàn)實，要分析待求值的規(guī)律，分母恒為2005,分子分別為1,2,3,…，2004,由于

1+2004=2+2003=3+2002=-=1002+1003=2005,故只須探究f(a)+f(1-a)即可.

【例題13］已知x,yCR,且2*+3'>2'+3、求證：x+y>0.

證明:設函數(shù)f(x)=2*-3"由于在R上，y=2,為增函數(shù)，y=3'為減函數(shù)，二-3"為增函數(shù)，從而f(x)=2YT在R上單調(diào)遞增,又?.?2'3>2'+31

即2T—2F+"可知f(x)>f(-y),又f(x)為增函數(shù)，；.x>-y,從而x+y>0.

【思路點撥】本題要將已知條件2*+3>>2,+3”等價變形為2*-3?>2->-3',然后利用構造一個增函數(shù)的方法證明結論成立，方法獨特新穎，

值得回味.

1.若函數(shù)y=(a?-3a+3)是指數(shù)函數(shù)，貝lj()

A.a=l或a=2B.a=l

C.a=2D.a>0且aWl

。~—3ci+3=1

答案：c提示：由指數(shù)函數(shù)定義知〈L解得a=2.

a>0且a豐1

2.函數(shù)f(x)=(￡-l>是R上的減函數(shù),則a的取值范圍是()

A.|a|>lB.l<|a|<V2

C.|a|<V2D.a>V2

答案：B提示：依題意OVa'TCll<a2<2l<|al<2.

3.下列函數(shù)值域為R.的是()

答案：B提示：y=5^:7的值域為{y|y>0且yKl};y=J(')”—1的定義域為{x|xWO},故值域為{ylyZO};而丫=定義域為

V22V-1

{x|x#O}.且2*=1+工>0,即{y|y>0且y<T}.

y

隨筆：

拖12設n為正整數(shù)，討論函數(shù)f(n)=(n+1)-(0.9)”的增減性，并求當f(n)最大時的nil.H能力達標檢測

答案：依函數(shù)單調(diào)性定義，只要考查f(n+l)-f(n)的符號變化即可.

1

f(n+l)-f(n)=O.9"(-0.ln+0.8)=——XO.9"(n-8)

10

當“<8時,/(〃+1)>f(n)

當n=8時,/(〃+l)=/(?)>f⑴Vf⑵<?“<1?(8)=￡(9)>￡(10)>『(11)>?“，；.當『8或"9時，f(n)最大.

當”>8時,/(〃+1)<f(n)

4.函數(shù)y=a"2+l(a>0且aWl)的反函數(shù)圖象必經(jīng)過點()

A.(0,1)B.(1,1)C.(2,0)D.(2,2)

答案：D提示：當x=2時，y=a°+l=2,即原函數(shù)過點(2,2),從而反函數(shù)圖像也過點(2,2).

5.若OVaVl,則下列不等式中正確的是()

1111

A.(l~a)3>(l-a)2B.(1+a)2<(1-a)2

11

C.(l-a)3>(1+a)3D.(l-a)H*>l

答案：A提示：取特殊值3=，，再結合指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).

2

6.若函數(shù)f(x)=(g)-'+m的圖象與x軸有公共點，則m的范圍是()

A.mWTB.TWm<OC.m》lD.OVmWl

答案：B提示：圖像與x軸有交點，等價于存在x,使0=(工)'、+m成立，即m=-(L)'"，而11-xI>0,...()<(1W(')"=1,故T

2222

Wm<0.

7.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂?次(?個分裂為兩個)，經(jīng)過3小時后，這種細菌可由1個分裂成()

A.511個B.512個C.1023個D.1024個

xX

答案：B提示：設經(jīng)過一小時，1個細菌可由1個分裂成y個，則y=2”(xCN*),當一=3,即x=9時，y=512.

33

8.已知鐳經(jīng)過100年剩留原來質(zhì)量的95.76%,設質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年剩留量為y,則x,y的函數(shù)關系是()

A.y=(0.9576)"""B.y=(0.9576)儂

0.9576上

C.y=(-----------)'D.y=l-0.424loo

100

答案：A提示：由原來為a,經(jīng)過100年剩0.9576a,得平均每年剩余率為0.9576而，1質(zhì)量的鐳經(jīng)過x年后剩余y=(0.9576ioo)"=(0.9576)

Too.

9.設f(x)=axM)x+c(a：>0)滿足f(bx)=f(l+x),則f(2*)與f⑶)的大小關系為()

A.f(3")(2*)B.f(3")Wf(2*)C.f(3,)<f⑵)D.不確定

答案：A提示：由f(l-x)=f(l+x)知f(x)的對稱軸為x=l,又a>0,；.f(x)=ax?+bx+c在(-8,1］上遞減在(i,+8)上遞增.當x>0時,

32

(―),>1,.?.3,>2X>1,；.f(3')>f⑵)；當x=0時，3*=牙,.?.f(3")=f⑵)；當x<0時，(一)*>1,.,.1>2,>3,>0,但f(x)在(-8,

23

1)上遞減，所以f(2")<f(3"),綜合知f(3")》f(2x).

10.函數(shù)y=a*+k-l(a>0且aKl)的圖像不過且只不經(jīng)過第四像限的充要條件是()

A.a>l或0Wk<lB.a>l且0<k<l

C.a>l且0Wk<lD.a>l且OVkWl

答案：C提示：不且只不經(jīng)過第四象限，說明不經(jīng)過第四像限但定要經(jīng)過?、二、三象限利用圖像判斷.

11.將y=f(x)的圖像向左平移a(a>0)個單位，得到圖像c”又5與c?的圖像關于原點對稱，則口的解析式為()

A.y=-f(a+x)B.y=f(a-x)

C.y=-f(-a-x)D.y=-f(a-x)

答案：D提示：Ci：y=f(x+a),C2與Ci關于原點對稱，說明將5中的x改成-x,y改成-y,即C2：-y=f(r+a),y=-(a-x).

12.已知函數(shù)f(x)=2'-l時,g(x)=l-x2,構造函數(shù)F(x),定義如下：當|f(x)|2g(x)時,F(x)=|f(x)|,當|f(x)|Vg(x)時，F(xiàn)(x)=-g(x),

則F(x)()

A.有最小值0,無最大值B.有最小值-1,無最大值

C.有最大值1,無最小值D.無最大值，也無最小值

答案:

12題圖

12.B提示：作出尸|f(x)|及y=-g(x)的圖像(如右圖所示)，由圖像可知應選(B).

22_1_

13.將下列各數(shù)從小到大排列：2.43,(-1.4)3,(-3)3.

2

-2

12211221.43,73,.22,,

答案：(-3)3V(-1.4)3<2.43.提示：(-3)3<0,而(-1.4)3>0,且(-1.4)3=1.43,又——-=(一)3<1,/.(-1.4)3<2.43故

212

2.43

122

(-3)3<(-1.4)3<2.43.

14.已知尸a'+b的圖像過點(1,3),又其反函數(shù)圖像過點(2,0),則f(x)=.

a+b=3fa=2

答案：2*+1提示:依題意點(1,3)和