鳳岡縣第二中學(xué)2024至2025學(xué)年度第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)學(xué)科第一次月考試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知命題，則命題的否定是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題直接可得其否定.【詳解】由命題，則，故選：D.2.已知扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出扇形半徑，再根據(jù)扇形面積公式即可代入求值.【詳解】扇形的半徑，所以扇形的面積為，故選：D.3.已知平面向量，且，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，，且，所以，，故選B.考點(diǎn)：1、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算；2、平行向量性質(zhì).4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理直接判斷.【詳解】由已知可知在R上單調(diào)遞增，，，，，，所以，所以的零點(diǎn)所在區(qū)間為，故選：C.5.集合，則間的關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求解兩個(gè)集合，再判斷集合關(guān)系.詳解】，得，則，，得，則，所以.故選：B6.新高考選科要求，語(yǔ)數(shù)外+（物理、歷史）二選一+（政治、地理、化學(xué)、生物）四選二．針對(duì)高一某同學(xué)的選科組合有如下事件，事件A“選物理”，事件B“選歷史”，事件C“選化學(xué)”，事件D“選政治”，則下列正確的是（）A.事件C與事件D互斥 B. C.事件A與事件B對(duì)立 D.【答案】C【解析】【分析】寫出試驗(yàn)的樣本空間，判斷是古典概型，利用古典概型的概率公式計(jì)算概率可判斷B、D，根據(jù)互斥和對(duì)立的定義可判斷A、C.【詳解】由題意，用表示選擇物理，用表示選擇歷史，用數(shù)字分別表示選擇政治，地理，化學(xué)，生物，則樣本空間，共有個(gè)樣本點(diǎn)，即，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型對(duì)于A，事件，所以事件C與事件D不互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋裕瑒t，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，則，且，所以事件A與事件B對(duì)立，故C正確；對(duì)于D，，則，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C.7.已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，由，得，即，因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，所以，即?由，得，即，所以的取值范圍為.故選：A.8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，令則A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：注意到，，，從而有；因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，所以有，而，，所以有，故選Ａ．考點(diǎn)：１．函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性；２．三角函數(shù)的大小．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列命題正確的有（）A.函數(shù)且過定點(diǎn)B.函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)镃.不等式的解集為或D.函數(shù)的最小值為2【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷，對(duì)于B，由抽象函數(shù)的定義域求解方法可判斷，對(duì)于C，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，求解即可；對(duì)于D，由基本不等式等號(hào)成立的條件即可判斷.【詳解】對(duì)于A，由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，時(shí)，，則圖象過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，所以，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得或，解得或，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以由基本不等式可得：，由，解得無解，則等號(hào)不成立，即函數(shù)的最小值不是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.某校舉行籃球比賽，兩隊(duì)長(zhǎng)小明和小張?jiān)诳偣?場(chǎng)比賽中得分情況如下表：場(chǎng)次123456小明得分30152333178小張得分22203110349則下列說法正確的是A.小明得分的極差小于小張得分的極差B.小明得分的中位數(shù)小于小張得分的中位數(shù)C.小明得分的平均數(shù)大于小張得分的平均數(shù)D.小明的成績(jī)比小張的穩(wěn)定【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)極差,中位數(shù)與平均數(shù)的方法求解即可.【詳解】對(duì)A,小明得分的極差為,小張得分的極差為.故A錯(cuò)誤.對(duì)B,小明得分的中位數(shù)為.小張得分的中位數(shù)為.故B正確.對(duì)C,小明得分的平均數(shù)為.小張得分的平均數(shù)為.故C錯(cuò)誤.對(duì)D,計(jì)算可得小明和小張平均分相等,但小明分?jǐn)?shù)相對(duì)集中,更穩(wěn)定,故D正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)據(jù)中的極差,平均值與中位數(shù)的算法等.屬于基礎(chǔ)題型.11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，則由求得的值，進(jìn)而根據(jù)各選項(xiàng)的要求逐項(xiàng)判斷.【詳解】由題意，代入，即，整理得，即，解得或，因?yàn)?，所以，于是，故B正確.因?yàn)?，所以，故A正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，是兩個(gè)不共線的向量，，，若與共線，則______．【答案】【解析】【分析】利用共線向量定理，結(jié)合平面向量基本定理列式計(jì)算得解.【詳解】向量，不共線，則不零向量，由與共線，得，即因此，解得，所以.故答案為：13.已知，求與向量方向相同的單位向量為__________.【答案】【解析】【分析】依題意求得，進(jìn)而可得與向量方向相同的單位向量.【詳解】由，得，所以，與向量方向相同的單位向量是.故答案為：14.設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則的最大值為_____.【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，由一次函數(shù)單調(diào)性可知無最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知，滿足題意；當(dāng)和時(shí)，根據(jù)函數(shù)存在最小值可確定分段處的函數(shù)值的大小關(guān)系，由此解得的范圍；綜合所有情況即可得到的最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)無最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，存在最小值，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若存在最小值，則，解得：，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若存在最小值，則，不等式無解；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為，則的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)的存在最值求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠通過對(duì)參數(shù)的范圍的討論，確定分段函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)分段處函數(shù)值的大小關(guān)系確定不等式組求得結(jié)果.四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)是.（1）求及的值；（2）求的值.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的定義求解即可；（2）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)并結(jié)合（1）即可求解；【小問1詳解】因?yàn)榻堑慕K邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)是，由三角函數(shù)的定義可得，，.【小問2詳解】原式.16.已知非空集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分而不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入集合求解，利用集合的運(yùn)算可求解；（2）利用充分不必要條件的定義，轉(zhuǎn)化為P是Q的真子集，分類討論集合可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】已知集合，.當(dāng)時(shí)，，或，又，.【小問2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊背浞植槐匾獥l件，所以P是Q的真子集，又，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，是Q的真子集；當(dāng)時(shí)，也滿足是Q的真子集，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.某地文化和旅游局統(tǒng)計(jì)了春節(jié)期間100個(gè)家庭的旅游支出情況，統(tǒng)計(jì)得到這100個(gè)家庭的旅游支出（單位：千元）數(shù)據(jù)，按分成5組，并繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．（1）估計(jì)這100個(gè)家庭的旅游支出的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；（2）估計(jì)這100個(gè)家庭的旅游支出的第70百分位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（3）在這100個(gè)家庭中，旅游支出在（千元）的家庭中，按分層抽樣的方法抽取5個(gè)家庭，再?gòu)倪@5個(gè)家庭中抽取2個(gè)家庭，求至少有1個(gè)家庭的旅游支出在千元內(nèi)的概率.【答案】（1）8.3千元（2）9.7（3）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù).（2）利用頻率分布直方圖求出第70百分位數(shù).（3）首先要明確分層抽樣確定各區(qū)間抽取家庭數(shù)，然后根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算概率.【小問1詳解】估計(jì)這100個(gè)家庭的旅游支出的平均值為：（千元）.【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，旅游支出在千元的頻率為，在千元的頻率為，則這100個(gè)家庭的旅游支出的第70百分位數(shù)，則，解得，所以估計(jì)這100個(gè)家庭的旅游支出的第70百分位數(shù)為9.7.【小問3詳解】以頻率估計(jì)概率，得每個(gè)家庭的旅游支出在千元內(nèi)的概率為，千元內(nèi)的概率為，則按分層抽樣的方法抽取5個(gè)家庭，千元內(nèi)抽取家庭數(shù)之比為,所以千元內(nèi)抽取2個(gè)家庭,千元內(nèi)抽取3個(gè)家庭,設(shè)旅游支出在千元的2個(gè)家庭記為，在千元的3個(gè)家庭記為從這5個(gè)家庭中抽取2個(gè)家庭的所有可能情況有：，共10種.至少有1個(gè)家庭旅游支出在千元內(nèi)的情況有：共7種.所以至少有1個(gè)家庭的旅游支出在千元內(nèi)的概率.18.如圖，在直角梯形中，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（1）用和表示；（2）設(shè)，求的值；（3）設(shè)，證明：.【答案】（1），（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用平面向量的加法運(yùn)算并根據(jù)線段的比例關(guān)系可得結(jié)論；（2）由共線定理根據(jù)三點(diǎn)共線可得結(jié)果；（3）根據(jù)向量等式得出的表達(dá)式，再由二次函數(shù)性質(zhì)可證明結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)?，?【小問2詳解】由（1）得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.【小問3詳解】由（1）得，設(shè)，則又不共線，所以，即.由，得.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故.19.歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)，概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì).例如，歐拉引入了“倒函數(shù)”的定義：對(duì)于函數(shù)，如果對(duì)于其定義域中任意給定的實(shí)數(shù)，都有，并且，就稱函數(shù)為“倒函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是不是倒函數(shù)，并說明理由；（2）若函數(shù)是定義在上的倒函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，判斷方程是否有正整數(shù)解？如果有，請(qǐng)求出所有的正整數(shù)解，如果沒有，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）函數(shù)是倒函數(shù)，理由見解析（2）（3）有，【解析】【分析】（1）根據(jù)倒函數(shù)的定義