第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

1.1集合

1.1.1集合及其表示方法

第1課時(shí)集合

課后篇鞏固提升

A級(jí)

多選題）下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.班上愛(ài)好足球的同學(xué)網(wǎng)以組成集合

B.方程X（X-2）2=0的解集是｛2,0,2｝

C.集合｛1,2,3,4｝是有限集

D.集合｛x*+5x+6=0｝與集合｛f+5x+6=O｝是含有相同元素的集合

答案|ABD

2.12020上海奉賢奉城高級(jí)中學(xué)高一月考）如果集合中的元素是三角形的邊長(zhǎng)，那么這個(gè)三角形一定不

可能是（）

A,直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

3.以方程f-5/6=0和方程f*2=0的解為元素構(gòu)成集合M,則M中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

^]c

幽由集合元素的互異性可知兩個(gè)相同的對(duì)象算作集合中的一個(gè)元素.方程F5x+6=0的解為尸2

或工=3;方程/-.2=0的解為x=-\或1=2.所以M中有3個(gè)元素，分別是/,2,3.故選C.

4.已知集合4是由0川盟2_3切+2三個(gè)元素構(gòu)成的集合，且2￡A,則實(shí)數(shù)m為（）

A.2B.3

C.0或3D.0或2或3

起B(yǎng)

解析|由題意，知ni=2或解得m=2或m=0或小=3.經(jīng)檢臉，當(dāng)w=0或m=2時(shí)，不滿足集合

A中元素的互異性;當(dāng)機(jī)=3時(shí)，滿足題意.綜上可知盟=3.

5.一個(gè)書(shū)架上有九個(gè)不同種類的書(shū)各5本,那么由這個(gè)書(shū)架上的書(shū)組成的集合中含有個(gè)元

素.

^9

6.設(shè)。力是非零實(shí)數(shù)，則?+半可能取的值構(gòu)成的集合中的元素有，所有元素的和為.

曙-2,0,20

麗按4與。的正負(fù)分類討論求解，有四種情況：

當(dāng)4＞0,*0時(shí)，原式=0;

當(dāng)〃＞0力＞0時(shí)，原式=2;

當(dāng)a＜0力＞0時(shí)，原式=0;

當(dāng)。＜0力＜0時(shí)，原式=-2.

7.判斷下列語(yǔ)句是否正確,并說(shuō)明理由.

（1）某學(xué)校高一（8）班比較漂亮的女生能構(gòu)成一個(gè)集合；

⑵由1就，目。6構(gòu)成的集合有5個(gè)元素;

⑶將小于100的自然數(shù),按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到兩個(gè)不同的集合.

假⑴錯(cuò)誤.因?yàn)椤捌痢笔莻€(gè)模拗的概念,因此不滿足集合中元素的確定性.

（2）錯(cuò)誤.因?yàn)?=%鳥(niǎo)卜0.5,根據(jù)集合中元素的互異性知，由埒，%|臼,0.5構(gòu)成的集合只有3個(gè)

元素

（3）錯(cuò)誤.根據(jù)集合中元素的無(wú)序性可知，小于100的自然數(shù)無(wú)論按什么順序排列，構(gòu)成的集合都是

同一個(gè)集合.

B級(jí)等級(jí)考提升練

8.12020上海高一月考）己知x￡R,由乂4|臥后,?2所組成的集合最多含有元素的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

|^]A

畫(huà)因?yàn)槌涠*,-/二-4中,至多有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)，所以組成的集合最多含有元素的個(gè)數(shù)

是2.

%多選題）已知集合A中有3個(gè)元素24,6,且當(dāng)a￡A時(shí),6-aWA,則?可能為（）

A.2B.4

C.6D.2或4或6

ggAB

阿麗集合4中含有3個(gè)元素2,4,6,且當(dāng)時(shí),6?〃￡A,當(dāng)〃=2《A時(shí),6y=4￡4，則4=2;當(dāng)a=4^A

時(shí),6-a=2￡A,則〃=4;當(dāng)a=6^A時(shí),6-a=O0A.綜上所述，故a=2或4.

10.（多選題）設(shè)ahc為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式由+得+1+器j的值所組成的集合是M,則下列判斷正確的

是（）

A,-4WMB.0WM

C.4EMD.以上都不正確

答案|ABC

噩因?yàn)?。?c為非零實(shí)數(shù)，

所以心0,入0Q0時(shí)瑞+/尹磊=1+1+1+1=4;

當(dāng)a,b,c中有一個(gè)小于0時(shí),不妨設(shè)。＜0力＞0?＞0,

此時(shí)胃+條+*+陪=-1+1+1-1=°；

\a\\b\\c\\abc\

當(dāng)a,b,c中有一個(gè)大于0時(shí),不妨設(shè)。＜0力＜0?＞0,

此時(shí)3+陪=」/+1+1=°；

\a\\b\\c\\abc\

當(dāng)〃＜。力＜0?＜。時(shí)，此端+//黯"皿-1=4

11.已知集合A是由止2,2/+5〃,12三個(gè)元素組成的，且-3W4,則a=.

SH-|

|解析|由-3￡A,可得-3=。-2,或-3+5。,由-3=a-2,解得。=-1,經(jīng)臉證,〃=-1不滿足條件，舍去.由-

3=2/+5。,解得a=-\或微,經(jīng)臉證,。二?1不滿足條件，舍去.故。二4.

12.已知集合A中含有3個(gè)元素a,0,-1,集合B中含有3個(gè)元素0+6,一工」,且4二仇則

a+b

a-,b=,c=.

-22

|解析［A=B，又,/^^0,；?〃=1,c+0=0,磊=-1,AZ?=-2,c=2.

13.設(shè)P,Q為兩個(gè)數(shù)集,P中含有025三個(gè)元素,。中含有1,2,6三個(gè)元素，定義集合尸+Q中的元素是

。功,其中〃￡尸力￡。,求P+Q中元素的個(gè)數(shù).

網(wǎng)當(dāng)a二0時(shí)，由。CQ可得a十〃的值為1,2,6;

當(dāng)a=2時(shí)，由bEQ可得a+b的值為3,4,8;

當(dāng)a=5時(shí)，由b￡Q可得a+b的值為6,7,11.

由集合元素的互異性可知,P+Q中的元素為1,2,346,7,8,11,共8個(gè).

C級(jí)新情境創(chuàng)新練

14.已知集合S滿足:若〃ES,則;WS.請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

1-a

⑴若2￡S,則S中必有另外兩個(gè)元素，求出這兩個(gè)元素;

(2)證明:若則13wS;

⑶在集合S中,元素能否只有一個(gè)?若能,把它求出來(lái);若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1懈因?yàn)?W5,所以白=-l￡S,

所以擊=3&所以也;2".

所以集合S中另外的兩個(gè)元素為-1和右

(2)|證明|由題意，可知分1且帕),

由￡S,得」j-￡5,

i-Qi-1A-a

即日=熱也￡￡

1-a

所以若a￡S,則12￡S.

a

(3例集合S中的元素不可能只有一個(gè).

理由如下:令好左和2"i=o.

因?yàn)锳=(-l)2-4v0,所以此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，

所以的￡?

因此集合S中不可能只有一個(gè)元素.

第2課時(shí)集合的表示方法

課后篇鞏固提升

A級(jí)合格考達(dá)標(biāo)練

1.由大于-3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是()

A.{x|-3<x<ll,xeQ)

B.(A|-3<X<11}

C.(X|-3<X<1l^r=2^^N+}

D.{x|-3<x<lU=2U^Z}

答案|D

2.下列語(yǔ)句正確的是()

①0與{0}表示同一集合；

②方程(上1)2。?2)=0的所有解構(gòu)成的集合可表示為{1,1,2};

③集合34<xv5}可以用列舉法表示.

A.①③B.②③

C.②D.都不對(duì)

HJD

曲①中。不是集合，②中方程(上l)2(*2)=0的所有解構(gòu)成的集合可表示為{1,2},③中集合的元素不

能一一列舉出來(lái),不能用列舉法表示.

3.Q020山東高一月考)集合{x￡N|43<2}用列舉法表示是()

A,{1,2,3,4}B.{1,2,3,4,5}

C.{0,1,2,3,4,5}D.{0,1,23,4}

庭畫(huà)由題意x<5,又x￡N,所以集合為{0,1,234}.

4.⑵)20江西高一月考淀義集合運(yùn)算/☆B={z[z=f-y2K￡A,yW8}.設(shè)集合4={1,或}石={-1,0},則集合

4☆8中的所有元素之和為()

A.2B.lC.3D.4

奉C

庭前由題得二{0,1,2},所以A+B中所有元素之和為0+1+2=3.

5.設(shè)集合A={x|f_3x+a=0},若4七A,則a-，集合A用列舉法表示為.

遜|-4{-1,4}

阿胡?"GA,，16-12+〃=0,???。=-4,

/.^={^-3^-4=0(={-1,4}.

6.規(guī)定口與□是兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)，其運(yùn)算法則如下:對(duì)任意實(shí)數(shù)。力有?？?。二。瓦疝力=雙片+加+i)若一

力￡Z,貝lj集合A=^x|x=2(a0b)+券斗用列舉法可表示為.

甥{1,2}

解由-2<aZ,得ci--1,/?—0或a=00二1或ci--1，。二1?

x=2(anb)+^^=2ab+a2+b2+1=(a+b)2+1,(*)

將〃=-1乃=0代入(*)式，得戶2;

將a=0,b=\代入(*)式，得x=2;

將a=-\,b=\代入(*)式，得x=l,故A={1,2}.

7.用適當(dāng)方法表示下列集合：

⑴從1,2,3這三個(gè)數(shù)字中抽出一部分或全部數(shù)字(沒(méi)有重復(fù))所組成的自然數(shù)的集合；

(2)方程V57不I+|y-2|=0的解集；

⑶由二次函數(shù))，=3f+l圖像上所有點(diǎn)組成的集合.

園⑴當(dāng)從1,2,3這三個(gè)數(shù)字中抽出1個(gè)數(shù)字時(shí)，自然數(shù)為1,2,3;

當(dāng)抽出2個(gè)數(shù)字時(shí),可組成自然數(shù)12,21,13,31,23,32;

當(dāng)抽出3個(gè)數(shù)字時(shí),可組成自然數(shù)123,132,213,231,321,312.

由于元素個(gè)數(shù)有限，故用列舉法表示為{123,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,321,312}.

(2)由算術(shù)平方根及絕對(duì)值的意義,可知后、：、=0,

解得卜=當(dāng)

卜=2,

因此該方程的解集為{(1,2)).

(3)由題知，此集合是點(diǎn)集，是二次函數(shù)y=3f+l圖像上的所有點(diǎn)，

故用描述法可表示為{(xj)僅=3?T1JWR}.

B級(jí)等級(jí)考提升練

8.(多選題)已知和為非零實(shí)數(shù),則集合1ml+/制中的元素可以為()

A.OB.-lC.lD.3

g^]BD

解析|當(dāng)x>0,j>0時(shí)附=3;當(dāng)x<0,y<0時(shí)盟=-1;當(dāng)x>0,y<0時(shí)M=-1;當(dāng)x<0,y>0時(shí),機(jī)=-1.故M中元素可

以為?1,3.

9.[多選題)方程組3,的解集可表示為()

小砒HB.卜砒力

C.(2,l)D,{(2,1)}

|答案|ABD

國(guó)畫(huà)方程組解=；3,只有一個(gè)解，解為

所以方程組產(chǎn)+二：'的解集中只有一個(gè)元素且此元素是有序數(shù)對(duì)所以A,B.D都符合題意.

vx-y=1

10.(2020天津南開(kāi)翔宇學(xué)校高一月考)定義集合運(yùn)算二{2|2=/6，?1)/￡4,)，￡團(tuán).設(shè)4={?

1,1},8={0,2},則集合AB中的所有元素之和為()

A.OB.lC.2D.3

^]A

解析當(dāng)x=-l,y=0時(shí),z=(-l)2x(0-])=-]；當(dāng)x=-l,y=2時(shí),z=(-l)2x(2-l)=l;當(dāng)x=l,y=0時(shí),z=12x(()_])=-i；當(dāng)

x=l,y=2時(shí),Z=12XQ?D=1.所以A所以中所有元素之和為0.故選A.

11.(2020江西臨川第二中學(xué)高一月考)集合A={%*?7x<03￡N*},則8=(v4《NjWA)中元素的個(gè)

數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

|解析|由已知得A={x|f-7x〈0jEN*}二{1,2,3,4,5,6},又笈={J3N*,yEA}=[1,2,4),所以8={)，gw

N；y￡A/中元素的個(gè)數(shù)為3.故選C.

12.集合A={(xj)|2x?y+祖>0},8={(孫)僮+)，力忘0},如果點(diǎn)P(2,3)￡A,且P(2,3界5,則機(jī)，〃滿足的條件應(yīng)

為.

答案且n<5

麗:點(diǎn)P(2,3)￡A，且P(2,3)鉆,A={Qj)|2x?y+m>0},B={aj)|x+y?〃W0},

:,有2x2-3+m>0成立，且2+3-〃W0不成立，即m>-\成立，且〃25不成立,???〃?>〕且n<5.

13.設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于若hlM,且4+1例則稱k是A的一個(gè)“孤立元”.給定集

合S二{1,2,3,4,567,8},在由S的三個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合個(gè)數(shù)

為.

^<]6

噩題目中的“孤立元”的含義是任意兩個(gè)元素不相鄰,所以由三個(gè)元索構(gòu)成的不含“孤立元”的集合

中的元素必是連續(xù)的三個(gè)數(shù)，有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},[5,6,7},{6,7,8}這6個(gè)集合.

14.集合4={x*+at-220,a￡Z},若~(yú)4￡A,2￡A,求滿足條件的。組成的集合.

酮題意知信寰之之解得

??Z￡Z,

，滿足條件的a組成的集合為{-10,1,2,3}.

C級(jí)新情境創(chuàng)新練

15.對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)嘰〃，定義某種運(yùn)算"※”如下:當(dāng)見(jiàn)〃都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)期※〃初+〃;當(dāng)

tn.n中一個(gè)為正偶數(shù),另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí),〃冰〃=〃則在此定義下，集合"={3,〃)|?！?)=164力￡N+}中

的元素個(gè)數(shù)是()

A.18B.17C.16D.15

量B

麗(1加力都是正偶數(shù)時(shí):〃從2,4,6,8,10,12,14任取一個(gè)有7種取法，而對(duì)應(yīng)的人有一種取法,二(a力)有

7種取法，即這種情況下集合M有7個(gè)元素；

(2)。力都為正奇數(shù)時(shí)：。從1,3,579,11,13,15任取一個(gè)有8種取法，而對(duì)應(yīng)的b有一種取法,二3小)

有8種取法，即這種情況下集合M有8個(gè)元素；

(3)當(dāng)m=\6,n=\和m=\,n=\6時(shí)，這種情況下集合M有兩個(gè)元素.，集合M的元素個(gè)數(shù)是

7-8+2=17.

16.(2020上海高一月考)用C(A)表示非空集合A中元素的個(gè)數(shù)，定義A%={溫累;*濫'若

A={1,2},8={疝?+詞(爐+0￥+2)=0},且A*8=l,設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成集合S,則

C(S)=.

gg3

|解桐(F+紈)(/+〃x+2)=0等價(jià)于12+辦=0①或/+0￥+2=0②.

由4={1,2},且A*B=1,得集合8可以是單元素集合，也可以是三元素集合.

若集合B是單元素集合，則方程①有兩相等實(shí)根，②無(wú)實(shí)數(shù)根，可得。=0;

若集合3是三元素集合，則方程①有兩不相等實(shí)根，②有兩個(gè)相等且異于①的實(shí)數(shù)根，

即憶3=。解得所±2匹

綜上所述,a=0或°=土2魚(yú),所以C(S)=3.

1.1.2集合的基本關(guān)系

課后篇鞏固提升

A級(jí)合格考達(dá)標(biāo)練

1.集合{工￡岡工=5-2〃,〃￡用的子集的個(gè)數(shù)是()

A.16B.8C.7D.6

強(qiáng)B

麗??"￡N,〃￡N,???集合{x￡N|x=5-2〃,〃￡N}={1,3,5).，其子集的個(gè)數(shù)是23=8.

2.12020山東濟(jì)南高一檢測(cè))已知集合力={區(qū)刈,，=燈,"={(x,)J則下列結(jié)論中正確的是

()

\,M=AB.MGA

C.(1J)CAD.M^A

^]B

麗因?yàn)镸={(x,y)\隹工上卜{(1.1)},

所以MQA.

3.1多選題)設(shè)集合A={x￡Z|x</},則下列說(shuō)法正確的是()

A.0CAB.V2GA

C.0W4D.{-2}￡A

答案|AD

解析|B中近e4,C中OCA.

4.已知集合“，集合4-{加2,〃?+〃,0},若4-8,則()

A./n=l,n=0B./n=-l,n=l

C.〃?=-l,〃=0D./W=1,/7=-1

解析|由A=B,得2=],且藍(lán)=0,〃?=〃?+〃,解得〃『土],〃=().又/?#!,.*./?z=-l,/?=0.

5.已知集合A={x*=4},①2日;②{-2}三A;③。日;④{-2,2}=A;⑤-2￡A.則上列式子表示正確的有

()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

ggc

麗?7={加2=4|={22},故④正確,故①錯(cuò)誤;-2七A,故⑤正確;{0口，故②錯(cuò)誤；0￡A,故③正

確.所以正確的有3個(gè).故選C.

6.⑵)20寧夏平羅中學(xué)高一月考)設(shè)集合A=3-3WxW2},B={x|2hl},月.A3B,則實(shí)數(shù)k的取

值范圍是.

噩[-4]

庭責(zé)因?yàn)榧螦={H-3WxW2},B={x|2KW24+1},且A38房。，所以朦解得-1W左號(hào),所

以實(shí)數(shù)2的取值范圍是

7.已知4={)，|)，=/辦-6/￡用刀={川447>5},那么集合A與B的關(guān)系為.

客荽*

|解析|對(duì)于二次函數(shù),，=新-2￥-6-￡Rjmin=4x(，'=-7,所以4={y|y2-7}.

又8={x|x>3},由圖知8呈A.

-703x

8.已知集合4=3%=1+42,。￡口},8={力=〃2.44+5,4￡1<},試判斷這兩個(gè)集合之間的關(guān)系

網(wǎng)因?yàn)閄=1+〃2,a￡R,所以X21.

因?yàn)閥uoMa+SNa-Zy+LaER,所以yNl,

故A={小21},8={>?]},所以A=B.

9.設(shè)集合A={-1,1}，集合8={x|f-2m+H0),若由0,BGA,求a,b的值.

網(wǎng)由8G4,知8中的所有元素都屬于集合A.

又展Q故集合B有三種情形:8={-1}或8={1}或}.

當(dāng)丑呻瑟七。懈喉t

l-2a+b=0,解得{；：；；

當(dāng)B={1}時(shí),

(-2a)2-4b=0.

當(dāng)『//}時(shí)魯雪"解得{『0;

綜上所述，她的值為或'或{;:[

B級(jí)等級(jí)考提升練

10.（2020江西高一檢測(cè)）已知集合4=匕仁1^12￡!>1）1={3,4},集合。滿足BGCGA,則所有滿足條件

u-Z

的集合。的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.16C.15D.32

麗,?Z￡N,*N,

,a-2=l或a-2=2或a-2=3或a-2=4或a-2=6或a-2=12,

即a=3或?=4或a=5或a=6或〃=8或。=14,

，人:{3,4,5,6,8,14},

又因?yàn)?二{3,4}且集合。滿足87。74

所以集合C中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14,因此所有滿足條件的集合。的個(gè)數(shù)為

24=16.

11.集合A={x\x=2k-\,k^Z},8={x\x=4k±1,&￡Z},貝ij（）

A.A=BB.心8

C.B&AD.不能確定

^W]A

朝?.?A={.r|x=2kl次￡Z},

:.當(dāng)k=2〃,〃￡Z時(shí)/=4〃-l,〃WZ;

當(dāng)k=2n+\,n^Z時(shí)K=2（2〃+1）?1=4〃+1,〃￡Z.

:.A={x\x^2k-1,jteZ）={A|x=4w_L1,〃cZ}.

???8={小=女士1,k￡Z},J4=B.

12.（多選題）若集合4=3加么?1=0}恰有兩個(gè)子集,則〃的值可能是（）

A.OB.-lC.lD.0或1

ggAB

|解析|集合A恰有兩個(gè)子集，則A中只有一個(gè)元素,〃=0時(shí)/={-撲滿足題意;存0時(shí),△=4+4。=0,即?=-1

時(shí),A={-1},滿足題意.

13.（2020浙江高一檢測(cè)）已知集合P={小2=9},集合。={訃a=3},若Q￡P(guān),那么?3P（用適當(dāng)

的符號(hào)填空）.的值組成的集合為.

疆W{L-1,0）

解析|0=**=9}={x|x=3或x=-3）,

所以-3WP.

Q={M"=3},若QGP,則a=0時(shí),Q=0,滿足題意；

當(dāng)〃/)時(shí),。=但初二？)』［*'則:？或：=-3,解得a=\或a=-\.

14.設(shè)S為實(shí)數(shù)集R的非空子集，若對(duì)任意x,y￡S,都有x+)*y司eS,則稱S為封閉集.下列結(jié)論：

①集合S=(〃+仄倍|a,b為整數(shù)}為封閉集;②若S為封閉集，則一定有OWS;③封閉集一定是無(wú)限集;④

若S為封閉集，則滿足SCTCR的任意集合T也是封閉集.其中正確的是(寫(xiě)出所有正確結(jié)

論的序號(hào))

■①②

解析對(duì)于整數(shù)。1力1,。2力2,有a\+/?iV3+ai+Z?2V3={a\+。2)+(81+5)75￡S,a\+/?iV3-(a：+/>2V3)=(671-

a2)+(bi?2)V5￡S,(ai+/?iV5)(a2+力2\③=31。2+36也)+(4也+。2匕1)6￡S,所以①正確.易知②正確.當(dāng)

S二{0}時(shí),S為封閉集，所以③錯(cuò)誤.取5={0},7={0,1,2,3}時(shí),顯然2、3=6￡7,所以①錯(cuò)誤.

15.已知A={1,1+a,l+%}石={1,6,護(hù)}，若A=B,求a,b.

網(wǎng)因?yàn)锳=B,則b=l+a,02二］+2〃,或b=\+2a,b2=1+a.

①若6=1+。,/=1+2。,則(1+。)2=1+2。,解得a=0.

則A中三個(gè)元素都是1,不符合集合元素的互異性,舍去.

②若b=1+2a,b2=1+a,S')(1+2a)2=I+a,

即4。2+3。=0解得(?=0,a=--.

4

由①知67=0不成立，

01

故〃=二4,則b=l2+2a=-z.

16.已知集合A={a,a-\},B={2,y),C={x|l<x-l<4).

(1)若A=8,求y的值;

⑵若AGC,求。的取值范圍.

闞⑴若a=2,則4={1,2},所以y=l.若。1=2,則。=3/={2,3},所以y=3.綜上/的值為1或3.

(2)由條件/為井空集合.

因?yàn)镃=32<x<5},所以《:

解得3<a<5.

所以。的取值范圍是(3,5).

17.已知集合P={XGR|^2+Z?=O},0={XGR|(X+1)(X2+3X-4)=O).

(1)若方=4,存在集合M使得求這樣的集合M;

⑵若集合P是集合Q的一個(gè)子集，求b的取值范圍.

闞⑴當(dāng)b=4時(shí)，方程x2+4=0無(wú)實(shí)根，

所以尸=Q又。={］￡閔。+1)，+3片4)=0}={4-1/},所以Pi

由已知，得M應(yīng)是一個(gè)非空集合，且是Q的一個(gè)真子集，用列舉法可得這樣的集合M共有6個(gè)，分

別為{-4},{?1},{1},{-4,?1},{41},{-11}.

(2)當(dāng)尸=。時(shí),P是Q的一個(gè)子集，此時(shí)b>0.

當(dāng)母。時(shí)，因?yàn)閑={-4,-i,i),

若pcgji]h=-1.

綜上，滿足條件的b的取值范圍是(O,+8)U{-1}.

C級(jí)新情境創(chuàng)新練

18.已知集合4=同仇-3=4},集合8={1,2力}.

⑴是否存在實(shí)數(shù)使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)b都有AG8?若存在，求出相應(yīng)的。值;若不存在,試說(shuō)明理由;

⑵若成立，求出相應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)34).

國(guó)(I)不存在.理由如下：

若對(duì)任意的實(shí)數(shù)力都有AGa則當(dāng)且僅當(dāng)集合8中元素1和2也是A中的元素時(shí)才有可能.

因?yàn)锳二{n?4,a+4},

所以或{：：：：產(chǎn)都不可能,所以這樣的實(shí)數(shù)。不存在.

Q)由(D易知，當(dāng)且僅當(dāng){:::或或或{笨或時(shí)羔B

解得尹{；￡：

所以所求的實(shí)數(shù)對(duì)為(5,9),(6,10)(3,-7),(-2,-6).

19.我們把以集合A的全體子集為元素的集合稱為集合A的舞集，記作P(A),即P(A)={X\XQA}9

(1)試寫(xiě)出集合A尸{〃},42={},4={&hc}4={a,b,c,d}的集集;

⑵猜想若集合4有〃個(gè)元素，那么尸(4)的元素的個(gè)數(shù)是多少？

部)P(4)={0,{a}};

尸(4)={。,{〃},仍},{。力}}；

P(4)={。,{〃},{〃},?,伍力},{a,c}g,c},{〃力,c}};

P(AO={0,{a},,{c},xvzvflz,{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{4,b,d},{a,c,d},{b,Gd},{a,b,G

d}}.

⑵猜想:若A〃有n個(gè)元素，則P(4i有2〃個(gè)元素.

11.3集合的基本運(yùn)算

第1課時(shí)交集與并集

課后篇鞏固提升

A級(jí)合格考達(dá)標(biāo)練

1」多選題）若集合4=3-2<內(nèi)1}出=30<]<2},則集合4「8等于（）

A.(O,1)B.{x|-2<x<l}

C.(-2J)D.{x|O<x<l)

|gm]AD

函在數(shù)軸上分別表示出集合A,史如田所示,

-2012x

由數(shù)4由可知/ClB={x[O<x<1}=(0,1).

2.(2021重慶高一期末)已知集合人二口/幺門(mén)力超=”小},若4n4={3},則AU8=()

A.{1,3}B.{-I,3}

D.{-3,-l,3)

縣畫(huà)由題可知/={x*2>3=0}={小=3或產(chǎn)/}.因?yàn)?18={3},所以B={1,3},所以AUB={-1,1,3}.

故選C.

3.設(shè)集合4={0},B={2,〃z},且4U8={-1。2},則實(shí)數(shù)m等于()

A.-lB.lC.OD.2

|^]A

園畫(huà)由于AUB={-l,0,2},則-1￡A或-1EB.

因?yàn)锳={0},所以所以必有JWR

又B={2,〃?},則/?=-1.

4J2020全國(guó)1,文I)已知集合4={訃？-344<0},8={-4,1,3,5},則4口8=()

A.{-4,1}B.{1,5)

C.{3,5}D.{1,3}

|^|p

庭麗由不等式f?3x?4<0,解得?1<x<4,改AnB二{1,3}.

5.M,尸是兩個(gè)加空集合，規(guī)定尸二{小CM,且人至尸),根據(jù)這?規(guī)定M-(M-P)等于()

AMB.P

CMUPDJWAP

用D

麗]當(dāng)時(shí)，由圖可知M-P為圖中陰影部分，則M-(M-尸)顯然為MCIP;

當(dāng)MnP=0時(shí),M-P=M，此時(shí)M-(M-P)=M-M=0=A/DP.

6.已知集合A={25},集合B={小&〃},且A八8={x|5WxW6},則實(shí)數(shù)m等于.

^]6

在數(shù)軸上分別表示出集合4及如圖所示,

5mx

由于AnB={x|5WxW6},則*6.

7.已知集合A={x|x<l,或%>5},B={xm《xWb},且AU8=R,AnB={x|5vxW6},則2a-b=.

H-4

8.設(shè)S={(xj)|x<0,且y<0},7={(xM|x>0,且)>0},則SCT=,SUT=.

噩。{(x,y)|xy>0)

畫(huà)集合S是平面直角坐標(biāo)系中第三象限內(nèi)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，集合7是平面直角坐標(biāo)系中第一

象限內(nèi)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，則SCT=0,SUT={(xj)[.r>0,且y>0或x<0,且><0)={(X,)*孫>0}.

9.已知集合A=[x(J未合8=同3>2〃?-1},求AflB工UB.

國(guó)解不等式組EM2。,得.2a<3,

則A={x|-2<x<3},

解不等式3>2/n-l,得〃?<2,則B={in\m<2],

在數(shù)軸上分別表示出集合4,B,如圖所示，

也一

“-1223X

則ACIB={x卜2Vx<2}/U8={x|xv3}.

10.(2021安徽合肥高一期末)已知集合4={x[l<x<3},集合B=\x\m<x<\-m].

(1)當(dāng)m=-\時(shí)，求AU8;

⑵若An8=A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

網(wǎng)⑴當(dāng)m=-l時(shí),6=3-1令<2},

???AU8=3-1<x<3}.

(2Y：A0B=A,：.AQB,

.(1-m>3,n.

解得mW?2,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-8,-2].

B級(jí)等級(jí)考提升練

11.(2020山東,1)設(shè)集合A={x\\WxW3、8={川2<r<4},則AUB=()

A,{x|2<xW3}B.{x|2?}

C.{x|Kx<4}D.{x|l<x<4}

函(數(shù)形結(jié)合)由數(shù)軸可知

012a4

所以AU8={x|1Wx<4}，故選C

12.(2020全國(guó)1,理2)設(shè)集合A二{x|『>4W0},8=32x+aW0},且AQB=3-2WxWl},則a=()

A.-4B.-2C.2D.4

到B

麗由已知得4=3-2WxW2},8={x|r<-胃.

因?yàn)?}，所以有手1,解得4=2

13.(多選題)已知集合尸={小=陽(yáng)2+3〃汁1}]=3尸廬3〃+]},下列判斷正確的是()

A.PC]T={y\y>用

B.PtJT={y\y>-^

C.PC\T=0

D.P=T

答案|ABD

廨祈|????=[氏>-1),r={x|x>

：.PC\T=[y\y>-號(hào)正確,PUT={y|y>-胃正確,Pn7=0錯(cuò)誤,P=T正確.

14.已知集合A={M-2WXW4},8={X[X>〃}.

(1)若AD5彳。，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

⑵若ACBRA,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

(3)若4UB=8,實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

疆(1)(3,4)(2)[-2,+8)(3)(-嗎-2)

麗卜={n-2^^<4}刀={小>的￡1t},將48集合表示在數(shù)軸上(注:8表示的范圍,隨著。值的變化

而在移動(dòng)).

觀察可知

⑴。<4；

⑵a2-2;

(3)?<-2.

15.若集合P=33<rW22},非空集合。=3%+14〈3。-5}則能使QG(Pn。)成立的所有實(shí)數(shù)a的取

值集合為.

礁|{〃|6<aW9}

麗依題意得PnQ=Q,QGP,

2a+1<3a-5,

于是2Q+1>3,解得6<aW9,即實(shí)數(shù)a的取值集合為{a[6<aW9}.

3a-5<22,

16.設(shè)集合A={x|-1<x<4},8=卜|-5<x<|j,C={jv|l-2?<^<2rt}.

(1)求ACIB;

⑵若C*,且CG(4八B),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

g(l)VA={A|-l<A<4},B={x|-5V%〈養(yǎng)

={%|-1<x<|j.

(2)VC^0,:.1-2a<2a,

由⑴知"13={41<x<I],

l-2a>-1,

3

VCC(AAB),.,.解得*aW.

a

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|i<a<

17.設(shè)關(guān)于x的方程3-加+濟(jì)-19=0的解集為AX?5x+6=0的解集為B^c2+2x-8=0的解集為C,且

AnB,3C=0,試求m的值.

闞由已知可得,8二{2,3},C={2,?4},再由ACI母。及ACO?？芍?3WA,

所以3是關(guān)于x的方程F/nx+m?/9=0的根，

即9-3m+〃-19=0,解得ni=5或m=-2.

但當(dāng)機(jī)=5時(shí)/={2,3}與已知矛盾；

所以〃尸-2,此時(shí)A={-5,3}.

故rn=-2.

18.已知集合A={x|-2<x<8),B={x\2m-l<x<m+3}.

⑴若AU8-A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

⑵若AC\B={x\a<x<b}h.b-a=3,求實(shí)數(shù)m的值.

闞(1)因?yàn)锳UB=A，則BQA,

集合B有兩種情況：

當(dāng)8=。時(shí)，則m滿足26-1期曾+3,解得加24;

2m-l<m4-3,

當(dāng)8#0時(shí)，則m滿足m4-3<8,

2m-l>-2,

解得qWm<4.

綜上m的取值范圍是W+co).

⑵因?yàn)锳=3-2<x<8},8?(-2)=10,所以若An3={x|a<x。}且兒?=3,應(yīng)有以下三種情況:

①當(dāng)AnB=8時(shí)，

m+3-(2m-l)=3,

則，〃滿足m+3<8,解得m-\.

2m-l>-2,

②當(dāng)AAB=(x|2w-l<A<8}Ht,

8-(2m-l)=3,

則m滿足m4-3>8,

-2<2m-l<8,

此時(shí)滿足條件的m不存在.

③當(dāng)4nB={川-2<1<巾+3}8寸，

m+3-(-2)=3,

則m滿足-2Vm+3<8,解得m=-2,

.2771-1<-2,

綜上M的值為-2或1.

C級(jí)新情境創(chuàng)新練

19.對(duì)任意兩個(gè)集合x(chóng)和y,x-y是指所有屬于x,但不屬于丫的元素的集合x(chóng)和丫對(duì)稱差表示為以匕

規(guī)定乂4丫=（乂?/）口（匕；0.設(shè)集合人={川］，=爐/￡11}4={），卜3在》在3},則A^B=.

疆3-3WyvO或y>3）

麗^:3y2O},B=3-3WyW3}A8={yb>3}.B-A={y|-3W.yvO},

所以AA8={y|-3Wy<0,或y>3}.

2

20.已知集合A={（x,y）|x=〃+b,n￡Z}yB={（x,j）|x=m,y=3m+15,in￡Z},C={（x,y）*+）2W144）是坐

標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)集，則是否存在實(shí)數(shù)。力,使得ACB#。和（a,b）￡C同時(shí)成立喏存在,請(qǐng)求出白力;若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

網(wǎng)不存在.理由如下：

假設(shè)存在。力，使得405r。和（4力）￡C同時(shí)成立，

則集合4={（x,y）|產(chǎn)ar+g￡Z}與集合8二{。，刈產(chǎn)?小f15/￡Z}有公共元素，即對(duì)應(yīng)的方程

y=ax+b與y=3f+15有公共解，

即方程叱二黑黑有解,

所以方程3/+15=ax+b必有解，

所以A=/42（15功）20,

即-/W12力-180.①

又因?yàn)椋āＡΓ闏,所以a2+b2^144,②

由①+②得-W12636,即（加6）2W0,

所以6=6,將b=6代入①得/2108.

再將b=6代入②得108,

因此^=108,所以<?=±6V3.

再將。二士6百8二6代入原方程，得3/±6丁5^+9=0,解得x=±V5任Z.

所以不存在實(shí)數(shù)a力，使ACIB*和（。力）￡。同時(shí)成立.

第2課時(shí)補(bǔ)集與集合的綜合運(yùn)算

課后篇鞏固提升

A級(jí)合格考達(dá)標(biāo)練

1.(2021全國(guó)乙，文1)已知全集8{1,2,3,4,5},集合"二{1,2},2{3,4},則(：刈川/7)=()

A.{5}B.{1,2)

C.{3,4}D.{1,2,3,4}

量A

函(方法一)???MUN二{1,2,3,4},

???CMMUN)={5}.

(方法二)???CuM={3,4,5),CuN={1,2,5},

???CuiMUN)=(CuM)D(CuM={5}.

2.(2021江蘇蘇州高三開(kāi)學(xué)考試)如圖，陽(yáng)影部分所表示的集合為()

A.ACI(C(/B)B.BCKCuA)

CAU(CM)D.BU(CM)

量B

解畫(huà)圖中的陰影部分表示的是集合B與A的補(bǔ)集的交集，即為Bn(Q，A).故選B.

3.己知全集U={x\-20194W2019}/={M0<xv〃},若QAWU,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A,(-oo,2019)B.(-8,2019]

C.[20I9,+OO)D.(O,2OI9]

H]D

解畫(huà)由題意知且AGU,因此a>0,且aW2019.故。的取值范圍是(0,2019].

2

4.(2021江西景德鎮(zhèn)高三期末)已知集合4={力-4X+3〈0”1￡!<},8={刈川>2/￡11}5肌11(/^8)=()

A.[-2,l)B.[-2,l]

C.[-2,3]D.(l,2]

ggB

|解析|由題得4二{1*4丫+3<03￡R}={*1<x<3},8={x|園>23￡R}={x|x>2,或x<-2}..\AUB={x|x<-

2,或X>\],：,QR(AUB)=3-2WXW1}.故選B.

5.設(shè)全集U(火。)和集合M,N,P,且M=CuMN;則M與P的關(guān)系是()

A.M=CuPB.M=P

C.M式尸D.MHP

富B

：?M=QJN=CU（CUP）=P.

6.（2020河北高一月考）設(shè)全集U={-3,-2,-1,0/23）,集合4=**+X-2=0},則（：淵=.

福{3-1,023}

麗,/4={x*+x-2=0}=同。+2）（戶1）=0}={-2,1},???CM={3-1,0,2,3}.

7.12020甘甭高一月考）已知全集U二{2,4,a2-a+l}<={a+l,2},Q/A={7}〃iJa=.

麗因?yàn)?/4={7},（/={24。2-。+]},

所以《+1二"解得破3.

（az-a+1=7,

8.設(shè)全集為&4={小<0,或x21},B={4r2a},若CRAWCR氏則。的取值范圍是.

霆”,+8）

噩CRA={X[0WX<1},CRB=3X<。}.

又CRAGCRB,結(jié)合數(shù)軸（如下圖），可得心I.

1_.

01aX

9.已知全集^/=!<5=3-3忘4遼1}乃=3-1<1<5},尸=3^<1,或彳22}.

求:（DCMCuB,CuP；

（2）CuACCuB,BUCt/P/nCuA.

網(wǎng)⑴借助數(shù)軸（數(shù)軸略）可知,Q/A={x|x<-3或x>l},CH=3xW-l或x>5},Q/P={x|lvxv2}.

（2）由（1）知Q/AnCuB={x|xv-3或x>5}.

BUCuP=3"<x<5},PnQ/A={xlx<-3或x，2}.

10.已知集合A=*|4f-llar+昉=0}和8={x*_ai+b=0},滿足QMCiB={2}AQG4={4},U=R,求實(shí)數(shù)

a,b的值.

網(wǎng)由條件CM八8一{2}知,26A,旦2^A.

由4nCM={4}知,4￡A,且4CR將2,4分別代入集合中的方程，得20

<_8

即[4-2Q+b=0,能程a~7f

即tl6-lla+2b=0.解仔人_I?

經(jīng)檢臉知a,b符合題意，所以a=?,b=-學(xué).

B級(jí)等級(jí)考提升練

11.（多選題）設(shè)全集U={0』,2,3,4},集合A={0』,4},8:{0,1,3},則（）

A.AnB={0,l）

B.CLB={4}

C工U8={01,3,4}

D.集合A的真子集個(gè)數(shù)為8

^]AC

麗選項(xiàng)A:由題意4nB={0』},正確;選項(xiàng)B：C〃={2,4},不正確;選項(xiàng)C:AUB={0,l,3,4},正確;選項(xiàng)D:

集合A的真子集個(gè)數(shù)為23-1=7,不正確.

12.設(shè)集合U={I,234,5},A={125},8={235},則圖中陰影部分表示的集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為

()

答案R

麗因?yàn)閁={123,4,5},A={125},B={2,3,5},所以ACIB={2,5}.因?yàn)閳D中陰影部分表示的集合為

CMAnB)={1,3,4},所以圖中陰影部分表示的集合的非空其子集的個(gè)數(shù)為23-2=6.

13.(多選題)設(shè)全集。={1,3,5,7,9}4={1,|。-5|,9},54={5,7},則。的值可能是()

A.2B.8C.-2D.-8

|^]AB

麗???CM={5,7},???A={139},

工|a-5|=3,解得a=2或8.

14.己知全集U=Z,A={x|x=4hl,A￡Z},B=3x=4A:+l,A￡Z}MA與CM的關(guān)系為一

|答案kSCuB

|解析|對(duì)于集合A,元素x=4k?l,kGZ、

即x為被4除余3的整數(shù).

整數(shù)集Z中還有被4除余數(shù)是0(整除),1,2的三類整數(shù)，分別記為x=4?&￡ZX=4左+1/W

Z)K=4k+2gZ).

因jl匕,Cu8={X|A=4A-1或x^4k或%-4A+2^eZ}.

由子集的定義知工是Q方的真子集，即