2024-2025學年第二學期高一模塊測試一數(shù)學試卷考試用時120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用三角函數(shù)的定義求得，再由求解.【詳解】因為角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，所以，所以，故選：C2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以，，所以，故選：B.3.已知，，則的值為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】所以，選D.4.（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用同角的商數(shù)關系、輔助角公式、兩角和的余弦公式及二倍角公式化簡即可得答案.【詳解】.故選：A.5.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】證明，求出，根據(jù)即可求解.【詳解】，，，，故選：6.已知函數(shù)，“存在，函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件：【答案】B【解析】【分析】以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)對稱性解得，進而根據(jù)包含關系分析充分、必要條件.【詳解】若存在，函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱，因為，且，則，則，解得，又因為是的真子集，所以“存在，函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱”是“”的必要不充分條件.故選：B.7.已知函數(shù)，將其圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．的頂點都是與圖象的公共點，則面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)得到的解析式，從而作出的部分圖像，聯(lián)立的方程求得的坐標，再結(jié)合圖像即可得到的高為，其底邊最短時為，從而得解.【詳解】因為將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)，所以，故的部分圖像如下，，不妨記的圖像在軸正半軸的交點依次為，在軸負半軸的第一個交點為，由三角函數(shù)的性質(zhì)易得，即的高是一個定值，其值為到的距離，聯(lián)立，得，即，則，即，故，所以，當時，，即，當時，，即，當時，，即，所以，因此要使得面積最小，只需使得的底邊最短即可，顯然是與圖象的公共點中，作為的底邊時，長度最小的邊長之一，此時，所以.故選：B.8.已知，函數(shù)滿足，且在區(qū)間上恰好存在兩條對稱軸，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知條件得出周期的范圍，即得的范圍，由得函數(shù)圖象的一個對稱中心是，則，結(jié)合的范圍可得答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，則，在區(qū)間上恰好存在兩條對稱軸，，所以，即，解得，因為，所以，所以點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，則，得，即，因，則，且隨的增大而增大，當時，，當時，，則的最大值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列式子化簡正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用誘導公式及兩角和的余弦公式的逆用可判斷選項A；利用輔助角公式可判斷選項B；利用誘導公式及二倍角正弦公式可判斷選項C；利用及兩角差的正切公式可判斷選項D.【詳解】對于選項A：因為，故選項A錯誤；對于選項B：，故選項B正確；對于選項C：因，故選項C正確；對于選項D：因為，故選項D錯誤.故選：BC.10.已知實數(shù)滿足，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由條件變形即可得；對于B，由條件得x的范圍，進而構(gòu)造三角函數(shù)求值域即可得；對于C，分析與大小，作差即可得；對于D，通過余弦函數(shù)單調(diào)性質(zhì)比較大小即可得.【詳解】對于A，因為，得，即，A正確；對于B，，因為，得，，，，B正確；對于C，由B分析可知：，，，即大小不定，C錯誤；對于D，由B，，，，從而得，在遞減，，D正確.故選：ABD.11.已知為上的奇函數(shù)，且當時，，記，下列結(jié)論正確的是（）A.為奇函數(shù)B.若的一個零點為，且，則C.在區(qū)間的零點個數(shù)為個D.若大于的零點從小到大依次為，則【答案】ABD【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義可判斷A，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，數(shù)形結(jié)合作出函數(shù)的圖象，通過交點個數(shù)可判斷C，根據(jù)的圖象確定大于的零點的取值范圍即可判斷D.【詳解】因為，所以為奇函數(shù)，A正確；假設，則，此時，所以當時，，當時，，當時，，則，由于的零點為，所以，所以，B正確；當時，令，大于零的零點為的交點，由圖可知，函數(shù)在有2個零點，由于為奇函數(shù)，所以在有1個零點，且，所以在區(qū)間的零點個數(shù)為個，C錯誤；由圖可知，大于1的零點，，所以，而，所以，D正確.故選:ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示．已知點是圖象上的最低點，是圖象上的最高點．記（均為銳角），______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖象計算周期即可得出點坐標，然后計算，利用二倍角公式計算，最后利用兩角和差的正切公式計算.【詳解】和在圖象上，則，則，則點的橫坐標為，因是圖象上的最低點，則，則則，則.故答案為：.13.已知，則______．【答案】##【解析】【分析】利用兩角和差的正弦公式將條件展開化簡即得，再將化為，利用兩角和差的余弦公式展開即可.【詳解】由得故答案為：14.若存在實數(shù)m，使得對于任意的，不等式恒成立，則取得最大值時，__________．【答案】【解析】【分析】以為變量，結(jié)合一元二次不等式的存在性問題可得，解不等式結(jié)合題意得，由此可得答案.【詳解】因為恒成立，即恒成立，若存在實數(shù)，使得上式成立，則，則，可得，可得，解得，由，則取得最大值時，此時故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：雙變量問題的解題關鍵是一次只研究其中一個變量，本題先以為變量，轉(zhuǎn)化為存在性問題分析求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知．（1）若，均為銳角，滿足，求．（2）若，求；【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)誘導公式和倍角公式可得，結(jié)合題干分析求解；（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合兩角和差公式運算求解.【小問1詳解】因為，即，則，且，，均為銳角，則，可得，解得，所以.【小問2詳解】因為，即，可得，又因為，則，可得，則，所以.16.已知函數(shù).（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值；（3）請在同一平面直角坐標系上畫出函數(shù)和在上的圖象（不要求寫作法）；并根據(jù)圖象求曲線和的交點個數(shù).【答案】（1），（2）（3）作圖見解析，交點個數(shù)為【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，由求出的取值范圍，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由已知條件求出的值，由同角三角函數(shù)的基本關系求出的值，再利用兩角和的正弦公式可求得的值；（3）作出兩個函數(shù)在區(qū)間上的圖象，可得出兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).【小問1詳解】因為，當時，，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問2詳解】因為，可得，因為，則，所以，，因此，.【小問3詳解】當時，，在同一平面直角坐標系上畫出函數(shù)和在上的圖象如下圖所示：由圖可知，曲線和在上交點個數(shù)為.17.如圖，有一條寬為的筆直的河道（假設河道足夠長），規(guī)劃在河道內(nèi)圍出一塊直角三角形區(qū)域（圖中）養(yǎng)殖觀賞魚，，頂點A到河兩岸的距離兩點分別在兩岸上，設.（1）若，求養(yǎng)殖區(qū)域面積的最大值；（2）現(xiàn)擬沿著養(yǎng)殖區(qū)域三邊搭建觀賞長廊（寬度忽略不計），若，求觀賞長廊總長的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得，再利用基本不等式即得；（2）由題可知，利用同角關系式可轉(zhuǎn)化為，然后利用函數(shù)的單調(diào)性即求.【小問1詳解】當時，，所以，又因為（當且僅當時等號成立），所以，于是，因此，養(yǎng)殖區(qū)域面積的最大值為.【小問2詳解】由題意，，所以，所以的周長，其中.設，則，所以.所以，于是當時，，即，因此，觀賞長廊總長的最小值為.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度得到的圖象，求函數(shù)的對稱軸方程；（3）在第（2）問的前提下，對于任意，是否總存在實數(shù)，使得成立？若存在，求出實數(shù)的值或取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2），（3）存在，【解析】【分析】（1）由題知，，求出從而得的值，將特殊點代入函數(shù)中求出，即可解決問題；（2）根據(jù)函數(shù)伸縮變換與平移變換后的到新函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)解析式求對稱軸即可；（3）假設存在實數(shù)的值或取值范圍滿足題意，根據(jù)所給條件先由，得，再根據(jù)所給的角把范圍求出來，根據(jù)范圍的包含關系列出不等式解出即可.【小問1詳解】由圖可知，，則，，所以，.所以，即又，所以當時，，所以.【小問2詳解】將的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得：，再向右平移個單位長度得到：，令，，解得，，所以函數(shù)的對稱軸為，.【小問3詳解】由，得，由，得，所以，所以.又，得，所以.由題可知，得，解得，所以存在，使得成立.19.定義有序?qū)崝?shù)對(a,b)的“跟隨函數(shù)”為．（1）記有序數(shù)對(1,－1)“跟隨函數(shù)”為f(x)，若，求滿足要求的所有x的集合；（2）記有序數(shù)對(0,1)的“跟隨函數(shù)”為f(x)，若函數(shù)與直線有且僅有四個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍；（3）已知，若有序數(shù)對(a,b)的“跟隨函數(shù)”在處取得最大值，當b在區(qū)間(0,]變化時，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）寫出解析式，解方程即可；（2）由題意求得，可分類討論去掉絕對值符號，并化簡函數(shù)式，然后作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象可得結(jié)論；（3）寫出，利用輔助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商數(shù)關系化簡函數(shù)式，利用函數(shù)單調(diào)性和不等式的性質(zhì)得出其取值范圍．【