方向?qū)?shù)與梯度

上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、方向?qū)?shù)下頁

設(shè)函數(shù)z

f(x,

y)在點P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點的一條射線

與l同方向的單位向量為el

(cos

cos

)

提示

即極限

取P(x0

tcos

y0

tcos

)

U(P0)

如果極限方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)下頁

設(shè)函數(shù)z

f(x,

y)在點P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點的一條射線

與l同方向的單位向量為el

(cos

cos

)

存在,

則稱此極限為函數(shù)f(x,

y)在點P0沿方向l的方向?qū)?shù),記為

取P(x0

tcos

y0

tcos

)

U(P0)

如果極限方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)下頁

設(shè)函數(shù)z

f(x,

y)在點P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點的一條射線

與l同方向的單位向量為el

(cos

cos

)

方向?qū)?shù)

方向?qū)?shù)就是函數(shù)f(x

y)在點P0(x0

y0)處沿方向l的變化率

一、方向?qū)?shù)

設(shè)函數(shù)z

f(x,

y)在點P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點的一條射線

與l同方向的單位向量為el

(cos

cos

)

方向?qū)?shù)

如果函數(shù)z

f(x,

y)在點P0(x0

y0)可微分,

那么函數(shù)在該點沿任一方向l(el

(cos

cos

))的方向?qū)?shù)都存在,

且有定理(方向?qū)?shù)的計算)下頁>>>

討論

函數(shù)f(x,y)在點P沿x軸正向和負向,沿y軸正向和負向的方向?qū)?shù)如何?提示

下頁

函數(shù)f(x,

y)在點P0沿方向l(el

(cos

cos

))的方向?qū)?shù)

例1

求函數(shù)z

xe2y在點P(1,0)處沿從點P到點Q(2,

1)的方向的方向?qū)?shù).

解

所以所求方向?qū)?shù)為下頁

函數(shù)f(x,

y)在點P0沿方向l(el

(cos

cos

))的方向?qū)?shù)

因為函數(shù)可微分

且下頁

對于三元函數(shù)f(x

y

z)來說

它在空間一點P0(x0

y0

z0)沿el

(cos

cos

cos

)的方向?qū)?shù)為

如果函數(shù)f(x

y

z)在點(x0

y0

z0)可微分,

則函數(shù)在該點沿著方向el

(cos

cos

cos

)的方向?qū)?shù)為

例2

求f(x

y

z)

xy

yz

zx在點(1

1

2)沿方向l的方向?qū)?shù)

其中l(wèi)的方向角分別為60

45

60

解

與l同向的單位向量為

因為函數(shù)可微分

且

所以fx(1

1

2)

(y

z)|(1

1

2)

3

fy(1

1

2)

(x

z)|(1

1

2)

3

fz(1

1

2)

(y

x)|(1

1

2)

2

首頁二、梯度梯度的定義下頁

設(shè)函數(shù)z

f(x,

y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),

則對于每一點P0(x0

y0)

D,

都可確定一個向量fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

這向量稱為函數(shù)f(x,

y)在點P0(x0

y0)的梯度,

記作gradf(x0

y0),即gradf(x0

y0)

fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

二、梯度梯度的定義下頁

函數(shù)z

f(x,

y)在點P0(x0

y0)的梯度:

gradf(x0

y0)

fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

梯度與方向?qū)?shù)

如果函數(shù)f(x

y)在點P0(x0

y0)可微分

el

(cos

cos

)是與方向l同方向的單位向量,

則

gradf(x0

y0)

el

|gradf(x0

y0)|

cos(gradf(x0

y0),^el)

二、梯度梯度的定義下頁

函數(shù)z

f(x,

y)在點P0(x0

y0)的梯度:

gradf(x0

y0)

fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

梯度與方向?qū)?shù)

|gradf(x0

y0)|

cos(gradf(x0

y0),^el)

可以看出方向?qū)?shù)就是梯度在射線l上的投影,當方向l與梯度的方向一致時,方向?qū)?shù)取得最大值.所以沿梯度方向是函數(shù)f(x,

y)在這點增長最快的方向.

如果函數(shù)f(x

y)在點P0(x0

y0)可微分

el

(cos

cos

)是與方向l同方向的單位向量,

則

函數(shù)在一點的梯度是這樣一個向量,它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.下頁二、梯度梯度的定義

函數(shù)z

f(x,

y)在點P0(x0

y0)的梯度:

gradf(x0

y0)

fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

梯度與方向?qū)?shù)

|gradf(x0

y0)|

cos(gradf(x0

y0),^el)

如果函數(shù)f(x

y)在點P0(x0

y0)可微分

el

(cos

cos

)是與方向l同方向的單位向量,

則提示

下頁梯度與等值線的關(guān)系

對于二元函數(shù)z

f(x

y)

xOy面上的曲線f(x,

y)

c稱為函數(shù)z

f(x,

y)的等值線

等值線f(x

y)

c是曲面z

f(x

y)被平面z

c所截得的曲線在xOy面上的投影

若fx

fy不同時為零

則等值線f(x

y)

c上任一點P0(x0

y0)處的一個單位法向量為下頁這表明梯度grad

f(x0

y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同,

對于二元函數(shù)z

f(x

y)

xOy面上的曲線f(x,

y)

c稱為函數(shù)z

f(x,

y)的等值線

若fx

fy不同時為零

則等值線f(x

y)

c上任一點P0(x0

y0)處的一個單位法向量為梯度與等值線的關(guān)系而沿這個方向的方向?qū)?shù)等于|grad

f(x0

y0)|

于是下頁梯度與等值線的關(guān)系

函數(shù)在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同

它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線

梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)

三元函數(shù)的梯度下頁

設(shè)函數(shù)f(x,

y,

z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),

函數(shù)f(x,

y,

z)在點P(x

y

z)的梯度gradf(x

y

z)定義為gradf(x

y

z)

fx(x

y

z)i

fy(x

y

z)j

fz(x

y

z)k

三元函數(shù)的梯度是這樣一個向量,它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.

函數(shù)f(x,y,z)在點P的梯度的方向與過點P的等量面f(x,y,z)

c在這點的法線的一個方向相同,且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面,梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù).提示

曲面f(x,y,z)

c稱為函數(shù)u

f(x,y,z)的等量面.下頁于是gradf(1,

1,2)

例4

設(shè)f(x,

y,

z)

x2

y2

z2,

求gradf(1,

1,2)

解

gradf

(fx,

fy,

fz)

(2x,2y,2z),

(2,

2,4)

數(shù)量場與向量場如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M,都有一個確定的數(shù)量f(M),則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場.

如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M,都有一個確定的向量F(M),則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個向量場.下頁

一個數(shù)量場可用一個數(shù)量函數(shù)f(M)來確定.

一個向量場可用一個向量函數(shù)F(M)來確定,而F(M)

P(M)i

Q(M)j

R(M)k,其中P(M),Q(M),R(M)是點M的數(shù)量函數(shù).勢與勢場向量函數(shù)gradf(M)確定了一個向量場(梯度場),它是由數(shù)量場f(M)產(chǎn)