第第頁廣東省江門市2025屆高三下學期高考模擬考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=2?1+i，則A．1+i B．1?i C．?1?i D．?1+i2．已知一組數(shù)據(jù)12,17,15,x,20的平均數(shù)為16，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A．17 B．16.5 C．16 D．15.53．現(xiàn)有編號為1,2,3,4的4個小球和4個盒子，把4個小球隨機放進4個盒子里，每個盒子裝1個小球，則恰好有2個小球與盒子的編號相同的概率為（）A．14 B．12 C．31284．記Sn為等比數(shù)列an的前n項和．若a1=1A．403 B．913 C．12135．已知sin(α?π6)+cosα=A．?79 B．79 C．?6．在矩形ABCD中，AB,BC,AC成等差數(shù)列，A．10 B．12 C．14 D．167．已知邊長為1的正方形ABCD繞邊CD所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個圓柱，點M和N分別是圓柱上底面和下底面的動點，點P是線段MN的中點，則三棱錐A?PBC體積的最大值為（）A．18 B．16 C．148．在△ABC中，已知∠BAC=2π3，D是BC上的點，AD平分∠BAC，S△ABDA．35 B．315 C．215二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知mx2+A．n=10 B．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為256C．展開式中x15的系數(shù)為45m8 10．已知曲線Γ:xA．曲線Γ關(guān)于y軸對稱B．曲線Γ圍成圖形的面積為11πC．曲線Γ上的點到點3,0的距離最大值為2+D．若點x0,y0是曲線11．已知函數(shù)f(x)=sinx+sin2x,g(x)=cosx+cos2x,?(x)=λf(x)+μg(x)，其中λ2A．函數(shù)?(x)是周期函數(shù)B．當λ=0,μ=1時，函數(shù)?(x)的值域為[?C．當λ=1,μ=0時，x=kπ(k∈Z)是函數(shù)?(x)圖象的對稱軸D．當λμ>0時，函數(shù)?'(x)在三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．曲線C：y=xex在點M（1，e）處的切線方程為13．已知θ是第三象限角，則曲線C:4x2+14．在某平臺開展闖關(guān)贏獎品活動中，用戶每次進入新的一關(guān)都有一次抽獎機會．已知用戶在第一關(guān)抽到獎品的概率為25．從第二關(guān)開始，若前一關(guān)沒抽到獎品，則這一關(guān)抽到獎品的概率為23；若前一關(guān)抽到獎品，則這一關(guān)抽到獎品的概率為13．記用戶第n關(guān)抽到獎品的概率為pn，則四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．東湖公園統(tǒng)計連續(xù)5天入園參觀的人數(shù)（單位：千人）如下：日期1月13日1月14日1月15日1月16日1月17日第x天12345參觀人數(shù)y2.42.74.16.47.9（1）建立y關(guān)于x的回歸直線方程，預(yù)測第13天入園參觀人數(shù)；（2）東湖公園只開放南門、北門供游客出入，游客從南門、北門入園的概率相同，且從同一個門出園的概率為13，從不同一個門出園的概率為2附：參考數(shù)據(jù)：i=15xiyi=85.2，參考公式：回歸直線方程y=a+bx16．如圖，在斜棱柱ABCD?A1B1C1D（1）證明：BD⊥A（2）若A1A=A17．已知函數(shù)fx（1）當a=0時，討論函數(shù)fx（2）當a=?1時，求函數(shù)fx18．已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為22，以橢圓E短軸一個端點和兩個焦點為頂點的三角形是直角三角形，過點P0,2的直線AB,CD分別交橢圓E于點A,B,C,D，點（1）求橢圓E的方程；（2）求點G的坐標；（3）證明：AB=219．意大利畫家達·芬奇提出：固定項鏈的兩端，在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是懸鏈線．在17世紀，惠更斯、萊布尼茨、約翰·伯努利等得到懸鏈線方程是y=cexc+e?xc2，其中c為參數(shù)．當c=1時，該方程就是雙曲余弦函數(shù)c?x=ex（1）類比關(guān)系式①②③，寫出c?x和s?（2）當x>0時，不等式s?x≥kx恒成立，求（3）設(shè)無窮數(shù)列an滿足a1=a,an+1=2a

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由z=2?1+i=故答案為：D.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與除法運算法則化簡復(fù)數(shù)z為代數(shù)形式，再利用共軛復(fù)數(shù)定義得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：由數(shù)據(jù)12,17,15,x,20的平均數(shù)為16，

得12+17+15+x+20=5×16，解得x=16，由5×60%=3，得數(shù)據(jù)12,15,16,17,20的第60百分位數(shù)為故答案為：B.【分析】由已知的平均數(shù)求出x的值，再由第60百分位數(shù)的定義得出答案.3．【答案】A【解析】【解答】解：把4個小球隨機放進4個盒子里，每個盒子裝1個小球的試驗的基本事件總數(shù)為A4恰好有2個小球與盒子的編號相同的事件含有的基本事件數(shù)為C4所以恰好有2個小球與盒子的編號相同的概率為p=C故答案為：A.【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合排列數(shù)公式、組合數(shù)公式求出試驗和所求概率的事件含有的基本事件數(shù)，再利用古典概率公式得出恰好有2個小球與盒子的編號相同的概率.4．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為qq≠0，

由a42=所以，q=1所以，S5故答案為：C.【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為qq≠0，根據(jù)已知條件求出q的值，再利用等比數(shù)列的求和公式求出5．【答案】B【解析】【解答】解：由sin(α?π6)+cosα=13，

因此sin(α+π6)=故答案為：B.【分析】利用兩角和與差的正弦公式以及二倍角的余弦公式，從而得出cos(2α+π6．【答案】C【解析】【解答】解：因為AB+BC+AC=2AC，

所以AB+BC+AC則AB=2BC?5①，

在矩形中，由將①式代入②式解得：BC=4或BC把結(jié)果代入①式得AB=3，故矩形ABCD的周長為2故答案為：C.【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則，從而得到AC?的值，再由等差數(shù)列的性質(zhì)和勾股定理，從而得出AB?,7．【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示：由題意知，AB=CD=BC=1，三角形ABC的面積為S=1設(shè)點P到平面ABC的高為h，又因為VA?PBC要使三棱錐A?PBC體積的最大，則需h最大，根據(jù)圖形可得，當MN//CD，且CM⊥CB時，h最大，最大為1，則VA?PBC故答案為：B.

【分析】根據(jù)圖形得到當MN//CD且CM⊥CB時，點P到平面ABC的高最大，再利用三棱錐的體積公式和等體積轉(zhuǎn)化法，從而得出三棱錐A?PBC體積的最大值.8．【答案】A【解析】【解答】解：如下圖所示：因為AD平分∠BAC，由角平分線的性質(zhì)可知點D到邊AB、AC的距離相等，又因為S△ABDS△ACD=AB由S△ABC=S△ABD+S△ACD在△ABD中，由余弦定理可得：

B=4t2+4t由正弦定理可得BDsinπ3=ADsinB，

所以，sin所以，tanB=故答案為：A.

【分析】由角平分線的性質(zhì)可得S△ABDS△ACD=ABAC=BDCD=2，設(shè)AB=2tt>0，則AC=t，由S9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：mx2+對于A，根據(jù)題意，可得Cn4=對于B，由mx2+對于C，由4×10?5r2=15解得r=2，則展開式中x15對于D，令x=1，則展開式中各項系數(shù)之和m+110=1024=2可得展開式的通項為Tr+1=C10rx40?5r2，故答案為：ACD.【分析】利用二項式定理得出展開式的通項，再根據(jù)已知條件結(jié)合組合數(shù)的對稱性、二項式系數(shù)之和、賦值法以及二項式系數(shù)的單調(diào)性，從而逐項判斷找出正確的選項.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：對于A，令(x,y)是曲線Γ上的任意一點，即x2則(?x)2+y2?5=|2y?2|成立，即點(?x,y)在曲線Γ對于B，當y≥1時，x2+y2?5=2y?2，即x2+(y?1)2=4，

它是以O(shè)1(0,1)為圓心，2為半徑的圓在直線y=1及上方的半圓，

當y≤1時，所以，曲線Γ在直線y=1及上方的半圓面積為2π>11π對于C，曲線Γ在直線y=1及下方部分上的點與點A(3,0)的距離最大值為：

|AO對于D，因為y07x0?21=17?y0觀察圖形知，當過點A的直線與曲線Γ在x軸下方部分相切時，直線PA斜率最大，設(shè)此切線方程為y=k(x?3),k>0，

則|?3k+1|k2+1=22，解得k=7故答案為：AD.

【分析】利用已知條件將?x換x，則判斷出選項A；先確定曲線Γ對應(yīng)的圖形，再結(jié)合圓的相關(guān)知識求解，則判斷出選項B、選項C和選項D，從而找出正確的選項.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，依題意，?(x)=λ(sinx+sin2x)+μ(cosx+cos2x)，

由sin(x+2π)=sinx，則cos(x+2π)=cosx,sin對于B，因為?(x)=cosx+cos2x=2cos2則當cosx=?14時，?(x)min對于C，因為?(x)=sinx+sin2x，

當k∈Z時，?(2kπ?x)=sin(2kπ?x)+sin2(2kπ?x)=?sinx?sin2x=??(x)，

則函數(shù)?(x)圖象關(guān)于點對于D，因為?'(x)=λ(cosx+2cos2x)?μ(sinx+2sin2x)，?'(0)?'(π2)=?3(2λ故答案為：ABD.

【分析】利用三角型函數(shù)的最小正周期公式判斷出函數(shù)?(x)是周期函數(shù)，則判斷出選項A；利用二倍角的余弦公式結(jié)合含余弦的二次型函數(shù)求值域的方法，則判斷出選項B；利用函數(shù)的圖形的對稱性判斷出選項C；利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點存在性定理判斷出選項D，從而找出正確的選項.12．【答案】y=2ex-e【解析】【解答】因為y'=ex+xex13．【答案】1,【解析】【解答】解：因為θ是第三象限角，則?1<cos曲線C的方程可化為x2cosθ+y24所以，雙曲線C的離心率為e=c故答案為：1,5【分析】利用三角函數(shù)在各象限的符號可得?1<cosθ<0，再結(jié)合雙曲線的定義判斷出曲線C為雙曲線，再利用雙曲線離心率公式可得雙曲線14．【答案】8【解析】【解答】解：依題意，p1=25，記用戶第i(i∈N?)關(guān)抽到獎品為事件AP(An|An?1則pn=1又因為p1?12=25則pn?1當n為奇數(shù)時，(?13)當n為偶數(shù)時，pn=12+所以pn的最大值為8故答案為：815【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合全概率公式列式，再利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項公式，按n的奇數(shù)、偶數(shù)分類求解得出pn15．【答案】（1）解：由最小二乘法公式可得b=則a=所以，y關(guān)于x的回歸直線方程為y=1.47x+0.29當x=13時，y=1.47×13+0.29=19.4因此，預(yù)測第13天入園參觀人數(shù)約為19.4千人.（2）解：記事件A:甲、乙兩名游客從南門出園，

事件B:甲、乙兩名游客從同一個門入園，則PAB如果甲、乙都從南門入園，且都從南門出園，其概率為12如果甲、乙都從北門入園，且都從南門出園，其概率為12如果甲從南門入園，乙從北門入園，且都從南門出園，

其概率為12如果甲從北門入園，乙從南門入園，且都從南門出園，

其概率為12又因為PA由條件概率公式可得PB因此，如果甲、乙兩名游客從南門出園，則他們從同一個門入園的概率為59【解析】【分析】（1）將相關(guān)數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，從而求出b、a的值，進而可得出回歸直線方程，將x=13代入回歸直線方程，從而預(yù)測出第13天入園參觀人數(shù).（2）記事件A:甲、乙兩名游客從南門出園，事件B:甲、乙兩名游客從同一個門入園，先計算出PAB、P（1）由最小二乘法公式可得b=則a=所以，y關(guān)于x的回歸直線方程為y=1.47x+0.29當x=13時，y=1.47×13+0.29=19.4因此，預(yù)測第13天入園參觀人數(shù)約為19.4千人.（2）記事件A:甲、乙兩名游客從南門出園，事件B:甲、乙兩名游客從同一個門入園，則PAB如果甲、乙都從南門入園，且都從南門出園，其概率為12如果甲、乙都從北門入園，且都從南門出園，其概率為12如果甲從南門入園，乙從北門入園，且都從南門出園，其概率為12如果甲從北門入園，乙從南門入園，且都從南門出園，其概率為12PA由條件概率公式可得PB因此，如果甲、乙兩名游客從南門出園，則他們從同一個門入園的概率為5916．【答案】（1）證明：過點A1作A1O⊥平面ABCD，垂足為O因為AA1=AA1，AB=AD，∠A1因為A1O⊥平面ABCD，OB,OD,BD?平面ABCD，

所以因為A1B=A1D,A1可得點O在線段BD的中垂線上，即O∈AC，

所以A1,A,O,C共面，易知AC⊥BD，

因為A1O∩AC=O，A1O,AC?平面A1因為AA1?平面A1AC（2）解：連接AC，記AC∩BD=E，連接A1在△AA1C中，由A1A=由（1）可知BD⊥平面A1因為BD?平面ABCD，所以平面A1AC⊥平面又因為平面A1AC∩平面ABCD=AC，所以A1在△A1AB中，AA1易知△A1AE?△A1BE，則由AB=2，則BD=2【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，從而證出BD⊥A（2）根據(jù)已知條件結(jié)合面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，再結(jié)合兩三角形全等的性質(zhì)和正方形的結(jié)構(gòu)特征，從而得出BD的長.（1）過點A1作A1O⊥平面ABCD，垂足為O因為AA1=AA1，AB=AD，∠因為A1O⊥平面ABCD，OB,OD,BD?平面ABCD，所以因為A1B=A1D,可得點O在線段BD的中垂線上，即O∈AC，所以A1易知AC⊥BD，因為A1O∩AC=O，A1O,AC?平面A1因為AA1?平面A（2）連接AC，記AC∩BD=E，連接A1在△AA1C中，由A1A=由（1）可知BD⊥平面A1因為BD?平面ABCD，所以平面A1AC⊥平面因為平面A1AC∩平面ABCD=AC，所以A1在△A1AB中，AA1易知△A1AE?△A1由AB=2，則BD=217．【答案】（1）解：由a=0，則函數(shù)fx=ln由f?x=ln當x>0時，fx=lnx+bx，

顯然當b≥0時，函數(shù)當b<0時，求導(dǎo)可得f'x=1x+b=bx+1當0<x<?1b時，f'x>0所以函數(shù)fx在0,?1b綜上所述，當b≥0時，函數(shù)fx在?∞,0上單調(diào)遞減，

當b<0時，函數(shù)fx在?∞,1b與0,?1b（2）解：由a=?1時，則函數(shù)fx=lnx?1+bx，

所以函數(shù)fx的定義域為?∞,?1∪1,+當x>1時，則函數(shù)fx當b≥0時，函數(shù)fx在1,+當b<0時，求導(dǎo)可得f'x=1x?1+b=bx?b+1當0<x<b?1b時，f'x>0所以函數(shù)fx在0,b?1b故函數(shù)fx的極大值為f由函數(shù)fx為偶函數(shù)，

則函數(shù)fx的極大值為綜上所述，當b≥0時，函數(shù)fx當b<0時，函數(shù)fx的極大值為b?1?【解析】【分析】（1）由已知條件和函數(shù)解析式明確函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)化簡后的解析式和求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，從而討論出函數(shù)fx（2）由函數(shù)解析式明確函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系以及分類討論的方法，從而得出函數(shù)fx（1）由a=0，則函數(shù)fx=ln由f?x=ln當x>0時，fx=lnx+bx，顯然當b≥0時，函數(shù)當b<0時，求導(dǎo)可得f'x=1x當0<x<?1b時，f'x>0所以函數(shù)fx在0,?1b綜上，當b≥0時，函數(shù)fx在?∞,0當b<0時，函數(shù)fx在?∞,1b與0,?（2）由a=?1時，則函數(shù)fx=lnx?1+bx所以函數(shù)fx的定義域為?∞,?1當x>1時，則函數(shù)fx當b≥0時，函數(shù)fx在1,+當b<0時，求導(dǎo)可得f'x=1x?1當0<x<b?1b時，f'x>0所以函數(shù)fx在0,b?1b故函數(shù)fx的極大值為f由函數(shù)fx為偶函數(shù)，則函數(shù)fx的極大值為綜上，當b≥0時，函數(shù)fx當b<0時，函數(shù)fx的極大值為b?1?18．【答案】（1）解：由橢圓E短軸一個端點和兩個焦點為頂點的三角形是直角三角形，

得b=2，則a所以橢圓E的方程為x2（2）解：設(shè)直線AB方程為y=kx+2，A(x1,

由點A在第一象限且與點D關(guān)于y軸對稱，

得直線CD,AB關(guān)于y軸對稱，則C(?x2由y=kx+2x2+2y2則Δ=64k2直線AC方程為y?y1=y1?=所以點G(0,1).（3）證明：由（2）知，|AB|=1+k2由x1+x2所以AB=2【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和直角三角形的結(jié)構(gòu)特征，從而求出a,b的值，進而得出橢圓E的方程.（2）設(shè)出直線AB方程為y=kx+2，A(x1,y1),B(x2,y2)，x2>x1>0（3）由（2）結(jié)合弦長公式和韋達定理，從而證出AB=2（1）由橢圓E短軸一個端點和兩個焦點為頂點的三角形是直角三角形，得b=2，則a所以橢圓E的方程為x2（2）設(shè)直線AB方程為y=kx+2，A(x1,由點A在第一象限且與點D關(guān)于y軸對稱，得直線CD,AB關(guān)于y軸對稱，C(?x由y=kx+2x2+2y2則Δ=64k2直線AC方程為y?y1=y=x所以點G(0,1).（3）由（2）知，|AB|=1+k2由x1+x因此2|AP|?|MG|=21+所以AB=219．【答案】（1）解：（1）雙曲函數(shù)關(guān)系式：①平方關(guān)系：c?2②二倍角關(guān)系：s?(2x)=2s?(x)c?(x)；③導(dǎo)數(shù)關(guān)系：s?'(x)=c?(x)，證明如下（不需要寫出）：因為c?2s?2所以c?2因為sh(2x)=2sh所以sh(2x)=2s?c?'（2）解