第8講軌跡與方程1/33考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.掌握橢圓定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.了解雙曲線、拋物線定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程新課標(biāo)Ⅰ第21題(1)考查橢圓方程求法(定義法)；新課標(biāo)Ⅰ第20題(1)考查求橢圓軌跡方程；新課標(biāo)Ⅲ第20題考查拋物線軌跡方程求曲線(或軌跡)方程，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，高考經(jīng)常不給出圖形或不給出坐標(biāo)系，以考查了解解析幾何問(wèn)題基本思想方法和能力.備考時(shí)要關(guān)注以下幾點(diǎn)：(1)能夠利用定義或待定系數(shù)法求橢圓、雙曲線及拋物線方程.(2)能夠利用相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程2/33求軌跡方程慣用方法直接法待定系數(shù)法定義法相關(guān)點(diǎn)法參數(shù)法將動(dòng)點(diǎn)滿足幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程已知所求曲線類(lèi)型，求曲線方程.先依據(jù)條件設(shè)出所求曲線方程，再由條件確定其待定系數(shù)若動(dòng)點(diǎn)軌跡條件符合某一基本軌跡定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，則用定義直接探求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴(lài)于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)改變而改變，而且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得到要求軌跡方程當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得到普通方程3/331.(年廣東珠海模擬)已知

B(－2,0)，C(2,0)，A為動(dòng)點(diǎn)，△ABC周長(zhǎng)為10，則動(dòng)點(diǎn)A滿足方程為()4/33解析：∵|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，B(－2,0)，C(2，0)，∴|AB|＋|AC|＝6>|BC|.∴點(diǎn)A軌跡是以B，C為焦點(diǎn)橢圓(除去與B，C共線二頂點(diǎn))，且2a＝6，c＝2.∴b2＝a2－c2＝5.答案：B5/33示曲線是()ACBD6/33

答案：D7/333.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)距離與它到直線x＋2＝0距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P軌跡方程為_(kāi)________.y2＝8x

一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，且雙曲線漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線方程為_(kāi)__________.

8/339/33考點(diǎn)1利用直接法求軌跡方程

例1：如圖

7-8-1，已知點(diǎn)C坐標(biāo)是(2,2)，過(guò)點(diǎn)C直線CA與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)C且與直線CA垂直直線CB與y軸交于點(diǎn)B.設(shè)點(diǎn)M是線段AB中點(diǎn)，求點(diǎn)M軌跡方程.

圖7-8-110/33×

解：方法一(直接法)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x0，y0)，則點(diǎn)A坐標(biāo)為(2x0,0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2y0)，kCA＝

22－2x0，kCB＝2－2y0

. 2因?yàn)橹本€CA垂直于直線CB，所以kCA·kCB＝

22－2x02－2y0

2＝－1.化簡(jiǎn)，得x0＋y0－2＝0.所以點(diǎn)M軌跡方程為x＋y－2＝0.11/33

方法二(參數(shù)法)，若CA⊥x軸，則CB⊥y軸，故點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2)，所以點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,1).

若CA不垂直于x軸， 則設(shè)直線CA方程為y－2＝k(x－2)，12/33兩式相加，得x0＋y0＝2，即x0＋y0－2＝0(x0≠1).又點(diǎn)(1,1)在直線x0＋y0－2＝0上，所以點(diǎn)M軌跡方程為x＋y－2＝0.方法三(定義法)，觀察圖象，顯然|OM|＝|AB| 2＝|CM|，即點(diǎn)M到點(diǎn)C，O距離相等，故點(diǎn)M在線段OC垂直平分線上.13/33又線段OC垂直平分線過(guò)OC中點(diǎn)(1,1)，斜率k＝－1，即y－1＝－(x－1)，化簡(jiǎn)，得x＋y－2＝0.所以點(diǎn)M軌跡方程為x＋y－2＝0.

【規(guī)律方法】求軌跡步驟是“建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)”，建系標(biāo)準(zhǔn)是特殊化(把圖形放在最特殊位置上)，這類(lèi)問(wèn)題普通需要經(jīng)過(guò)對(duì)圖形觀察、分析、轉(zhuǎn)化，找出一個(gè)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)等量關(guān)系.14/33

【互動(dòng)探究】

一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線離心率為2，則該雙曲線方程為_(kāi)______________.15/33考點(diǎn)2利用定義法求軌跡方程

例2：(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9， ①動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M軌跡方程為_(kāi)_______________； ②若動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2

相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M軌跡方程為_(kāi)_______________； ③若動(dòng)圓M與圓C1

外切及圓C2

相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M軌跡方程為_(kāi)_______________； ④若動(dòng)圓M與圓C1

內(nèi)切及圓C2

相外切，則動(dòng)圓圓心M軌跡方程為_(kāi)_________________.16/33解析：如圖D48，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1

及圓C2

分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，依據(jù)兩圓外切充要條件，得圖D48|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.17/33

這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1距離之差是常數(shù)2.

依據(jù)雙曲線定義，動(dòng)點(diǎn)M軌跡為雙曲線左支(點(diǎn)M到C2距離大，到C1

距離小)，這里a＝1，c＝3，則b2＝8.

理可得后面三個(gè)小題.18/33

(2)①(由人教版選修1-1P42-7改編)已知圓(x＋2)2＋y2＝36圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N(2,0)，線段AN垂直平分線交線段MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P軌跡是()A.圓C.雙曲線B.橢圓D.拋物線

解析：點(diǎn)P在線段AN垂直平分線上，故|PA|＝|PN|.又AM是圓半徑，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由橢圓定義知，點(diǎn)P軌跡是橢圓.

答案：B19/33

②(由人教版選修1-1P54-5改編)已知圓(x＋2)2＋y2＝1

圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N(2,0)，線段AN垂直平分線交直線MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P軌跡是()A.圓C.雙曲線B.橢圓D.拋物線

解析：點(diǎn)P在線段AN垂直平分線上，故|PA|＝|PN|.又AM是圓半徑，∴||PM|－|PN||＝||PM|－|PA||＝|AM|＝1<|MN|.由雙曲線定義知，點(diǎn)P軌跡是雙曲線.

答案：C20/33

【互動(dòng)探究】

21/33解析：設(shè)圓M半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16.∴M軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)橢圓.則2a＝16，2c＝8.∴a＝8，c＝4.∴b2＝a2－c2＝48.故所求軌跡方程為

x264＋

y248＝1.故選D.答案：D22/33＋＝1.3.已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)A(－3,0)，而且內(nèi)切于定圓B：(x－3)2＋y2＝64，則動(dòng)圓圓心M軌跡方程為_(kāi)____________.

解析：設(shè)動(dòng)圓M半徑為r，依據(jù)兩圓相切充要條件，得|MB|＝8－r，|MA|＝r，所以|MA|＋|MB|＝8.這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A，B距離之和是常數(shù)8，依據(jù)橢圓定義，動(dòng)點(diǎn)M軌跡為橢圓，這里a＝4，c＝3，則b2＝7.設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x，y)，則其軌跡方程為

x216y2

7＋＝1.

x216y2

723/33

4.已知?jiǎng)訄AM與圓

C1：(x－3)2＋y2＝64內(nèi)切，與圓

C2：(x＋3)2＋y2＝4外切，求動(dòng)圓圓心M軌跡方程.

解：設(shè)動(dòng)圓M半徑為r，依據(jù)兩圓相切充要條件， 得|MC1|＝8－r，|MC2|＝2＋r.

所以|MC2|＋|MC1|＝10.

這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1

距離之和是常數(shù)10.

依據(jù)橢圓定義，動(dòng)點(diǎn)M軌跡為橢圓， 即2a＝10，a＝5.

又|C1C2|＝6＝2c，則c＝3，b2＝a2－c2＝16.

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x，y)，則其軌跡方程為

x225＋

y216＝1(x≠－5).24/33考點(diǎn)3利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程

點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上兩個(gè)不一樣動(dòng)點(diǎn).求直線A1P與A2Q交點(diǎn)軌跡E方程.25/3326/33【互動(dòng)探究】

27/33答案：A28/33

思想與方法 ⊙軌跡方程中分類(lèi)討論 例題：(由人教版選修1-1P35-例3改編)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)與兩個(gè)定點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)連線斜率之積等于常數(shù)λ(λ≠0). (1)求動(dòng)點(diǎn)P軌跡C方程；

(2)試依據(jù)λ取值情況討論軌跡C形狀.

解：(1)由題設(shè)知，PM，PN斜率存在且不為0，29/33(2)討論以下：①當(dāng)λ>0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上雙曲線(除去頂點(diǎn))；②當(dāng)－1<λ<0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上橢圓(除去長(zhǎng)軸上兩個(gè)端點(diǎn))；③當(dāng)λ＝－1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑圓[除去點(diǎn)(－1,0)，(1,0)]；④當(dāng)λ<－1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上橢圓(除去短軸上兩個(gè)端點(diǎn)).30/33

【互動(dòng)探究】

6.(人教版