21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1課時直接開平方法

【知識與技能】

1.會利用開平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；

2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.

3.能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性.

【過程與方法】

通過對實例的探究過程，體會類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學思想方法.

【情感態(tài)度】

在成功解決實際問題過程中，體驗成功的快樂，增強數(shù)學學習的信心和樂趣.

【教學重點】

解形如x2=p(p≥0)的方程.

【教學難點】

把一個方程化成x2=p(p≥0)的形式.

一、情境導入，初步認識

問題我們知道，42=16,(-4)2=16，如果有x2=16，你知道x的值是多少嗎？說

說你的想法.如果3x2=18呢？

【教學說明】讓學生通過回顧平方根的意義初步感受利用開平方法求簡單一

元二次方程的思路，引入新課.教學時，教師提出問題后，讓學生相互交流，在

類比的基礎上感受新知.

解：如果x2=16，則x=±4;若3x2=18,則x=±6.

二、思考探究，獲取新知

探究一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣

的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？

思考1設一個盒子的棱長為xdm，則它的外表面面積為，10個這種盒子的

外表面面積的和為，由此你可得到方程為，你能求出它的解嗎？

解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根據(jù)平方根的意義，得x=±5,

可以驗證，5和-5是原方程的兩個根，因為棱長不能為負值，所以盒子的棱長為

5dm,故x=5dm.

【教學說明】學生通過自主探究，嘗試用開平方法解決一元二次方程，體驗

成功的快樂.教師應關注學生的思考是否正確，是否注意到實際問題的解與對應

的一元二次方程的解之間的關系，幫助學生獲取新知.

【歸納結(jié)論】一般地，對于方程

x2=p,（Ⅰ）

（1）當p>0時，根據(jù)平方根的意義，方程（Ⅰ）有兩個不等的實數(shù)根

x1=-p,x2=p;

(2)當p=0時，方程（Ⅰ）有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=0;

(3)當p<0時，因為對任意實數(shù)x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）無實數(shù)根.

思考2對上面題解方程（Ⅰ）的過程，你認為應該怎樣解方程（x+3）2=5?

學生通過比較它們與方程x2=25異同，從而獲得解一元二次方程的思路.

在解方程（Ⅰ）時，由方程x2=25得x=±5.由此想到：

由方程

（x+3）2=5,②

得x+3=±5,

即x+3=5或x+3=-5.③

2

于是，方程（x+3）=5的兩個根為x1=-3+5,x2=-3-5.

【教學說明】教學時，就讓學生獨立嘗試給出解答過程，最后教師再給出規(guī)

范解答，既幫助學生形成用直接開平方法解一元二次方程的方法，同時為以后學

配方法作好鋪墊，讓學生體會到類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學思想方法.

【歸納結(jié)論】

上面的解法中，由方程②得到③，實質(zhì)上是把一個一元二次方程“降次”，

轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這樣就把方程②轉(zhuǎn)化為我們會解的方程了.

【教學說明】上述歸納結(jié)論應由師生共同探討獲得，教師要讓學生知道解一

元二次方程的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化.

三、典例精析，掌握新知

例解下列方程：（教材第6頁練習）

(1)2x2-8=0;(2)9x2-5=3;

(3)(x+6)2-9=0;(4)3(x-1)2-6=0;

(5)x2-4x+4=5;(6)9x2+5=1.

解：(1)原方程整理，得2x2=8,即x2=4,根據(jù)平方根的意義，得x=±2,即

x1=2,x2=-2.

22

（2）原方程可化為9x2=8,即x2=8/9.兩邊開平方，得x=±,

3

2222

即x1=,x2=-.

33

2

(3)原方程整理，得（x+6）=9，根據(jù)平方根的意義,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.

（4）原方程可化為（x-1）2=2,

兩邊開平方，得x-1=±2，

∴x1=1+2,x2=1-2;

（5）原方程可化為（x-2）2=5,

兩邊開平方，得x-2=±5,

∴x1=2+5,x2=2-5.

（6）原方程可化為9x2=-4,x2=-4/9.由前面結(jié)論知，當p<0時，對任意實數(shù)x,

都有x2≥0，所以這個方程無實根.

【教學說明】本例可選派六位同學上黑板演算，其余同學自主探究，獨立完

成.教師巡視全場，發(fā)現(xiàn)問題及時予以糾正，幫助學生深化理解，最后師生共同

給出評析，完善認知.特別要強調(diào)用直接開平方法開方時什么情況下是無實根的.

四、運用新知，深化理解

1.若8x2-16=0，則x的值是.

2.若方程2(x-3)2=72，那么這個一元二次方程的兩根是.

3.如果實數(shù)a、b滿足3a+4+b2-12b+36=0,則ab的值為.

4.解關于x的方程：

(1)(x+m)2=n(n≥0);

(2)2x2+4x+2=5.

5.已知方程（x-2）2=m2-1的一個根是x=4,求m的值和另一個根.

【教學說明】讓學生獨立完成，加深對本節(jié)知識的理解和掌握.

五、師生互動，課堂小結(jié)

教師可以向?qū)W生這樣提問：

(1)你學會怎樣解一元二次方程了嗎？有哪些步驟？

(2)通過今天的學習你了解了哪些數(shù)學思想方法？與同伴交流.

【教學說明】教師可引導學生提煉本節(jié)知識及方法，感受解一元二次方程的

降次思想方法.