教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ10SXRA051學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期

課題正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

教科書

出版社：人民教育出版社A版出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師趙麗艷北京市廣渠門中學(xué)教育集團(tuán)

指導(dǎo)教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1.利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決相關(guān)的問題；

2.在利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決相關(guān)問題的過程中體會(huì)換元的方法;

3.通過解決相關(guān)應(yīng)用問題，提升代數(shù)推理的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：理解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì).

教學(xué)過程

時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)

5前面我們學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，具體研究了

分引入函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值，本節(jié)課我們將利用正余弦函數(shù)的圖象

鐘及性質(zhì)解決相關(guān)的應(yīng)用問題.

例1求下列函數(shù)的周期：

(1)y3sinx,xR；（2）ycos2x,xR；

1

（3）y2sin（x）,xR.

26

15（一）

解：（1）xR，有

分例題

鐘

3sinx+2=3sinx.

由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為2.

（2）令z=2x，由xR得zR，且ycosz的周期為2，

即

cos(z+2)=cosz，

于是cos(2x+2)=cos2x，

所以cos2(x+)=cos2x，xR.

由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.

1

（3）令z=x，由xR得zR，且y2sinz的周期為

26

2，即

2sin(z+2)=2sinz，

11

于是2sin(x+2)=2sin(x)，

2626

11

所以2sin[(x+4)]=2sin(x).

2626

由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為4.

追問：解答完成之后思考，求解的依據(jù)是什么？據(jù)此求解的步驟

是什么？這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)？

師生活動(dòng)：對(duì)于這些問題，學(xué)生能夠求出周期，但是不清楚如何

規(guī)范地表達(dá)，這是本例的難點(diǎn)所在，教師要基于學(xué)生課堂上的生成，

給出分析求解的思路和程序，并加以示范，幫助學(xué)生理解.對(duì)于周期

問題,求解的步驟如下：

第一步，先用換元法轉(zhuǎn)換.比如對(duì)于“（2）ycos2x,xR”，

令2x=t，所以yf(x)cos2xcost；

第二步，利用已知三角函數(shù)的周期找關(guān)系.有co（s2+t）cost，

代入可得co（s2+2x）cos2x；

第三步，根據(jù)定義變形.變形可得cos（2+x）cos2x，于是就

有f(x+)f(x)；

第四步，確定結(jié)論.根據(jù)定義可知其周期為π.

周期與自變量的系數(shù)有關(guān).仿照上述分析過程可得函數(shù)

2

yAsin(x)的周期為T.

一般地，如果函數(shù)yf(x)的周期是T，那么函數(shù)yf(x)的

T

周期是.

設(shè)計(jì)意圖：通過例題深化對(duì)周期和最小正周期概念的理解，形成

求解的具體步驟，進(jìn)而幫助學(xué)生理解函數(shù)yAsin(x)的周期，

為后續(xù)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.

例2下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫出取最大值、

最小值時(shí)自變量x的集合，并求出最大值、最小值.

（1）ycosx1,xR;（2）y3sin2x,xR.

解：容易知道，這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值.

（1）使函數(shù)ycosx1,xR取得最大值的x的集合，就是

使函數(shù)ycosx取得最大值的x的集合

{x|x2k,kZ}；

使函數(shù)ycosx1,xR取得最小值的x的集合，就是使函數(shù)

ycosx,xR取得最小值的x的集合

{x|x(2k+1),kZ}.

函數(shù)ycosx1,xR的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.

（2）令z2x，使函數(shù)y3sinz,zR取得最大值的z的集

合，就是使ysinz,zR取得最小值的z的集合

{z|z2k,kZ}.

2

由2xz2k,得xk.所以，使函數(shù)

24

y3sin2x,xR，取得最大值的x的集合是

{x|xk,kZ}.

4

同理，使函數(shù)y3sin2x,xR取得最小值的x的集合是

{x|xk,kZ}.

4

函數(shù)y3sin2x,xR的最大值是3，最小值是-3.

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立完成，然后展示交流解題思路和結(jié)果，

學(xué)生點(diǎn)明換元法及其重要作用.本例中，對(duì)于（1），因?yàn)?是確定值，

因此問題轉(zhuǎn)化為求ycosx的最值；對(duì)于（2）令2x=t，轉(zhuǎn)化為求

y3sint的最值.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固對(duì)最值概念的理解，初步感受換元法在求解三角

函數(shù)問題中的作用.

例3不通過求值，比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

17

（1）sin（-）與sin（-）；（2）co（s-）與co（s-）.

181054

解：（1）因?yàn)?<--0,

21018

正弦函數(shù)ysinx在區(qū)間[-,0]上單調(diào)遞增，所以

2

sin(-)sin(-).

1810

（2）cos(-)=cos=cos(4+)=cos，

5555

1717

cos(-)=cos=cos(4+)=cos.

4444

3

因?yàn)?<,且函數(shù)ycosx在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞

45

3

減，所以coscos,

45

即

17

cos(-)cos(-).

45

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，教師進(jìn)行指導(dǎo).本例中，對(duì)于（1），

可直接應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解；對(duì)于（2），首先要將所給的角化簡，

使之位于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，即轉(zhuǎn)化為第（1）題之后求解.

設(shè)計(jì)意圖：初步應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解決比較大小的問題

1

例4求函數(shù)ysin(x+)，x[2，2的單調(diào)遞增區(qū)間.

23

1

分析：令zx+，x[2，2，當(dāng)自變量x的值增大時(shí)，

23

z的值也隨之增大，因此若函數(shù)ysinz在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則

1

函數(shù)ysin(x+)在相應(yīng)的區(qū)間上也一定單調(diào)遞增.

23

124

解：令zx+，x[2，2，則z[，.

2333

24

因?yàn)閥sinz，z[，的單調(diào)遞增區(qū)間是[，，

3322

1

且由x+，

2232

5

得x.

33

15

所以，函數(shù)ysin(x+)的單調(diào)增區(qū)間為[，.

2333