課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ10SXRA029學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期

課題指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)A版

教科書(shū)

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師喬梁北京市第一六六中學(xué)

指導(dǎo)教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1.能利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較兩個(gè)同底的冪的大小，進(jìn)一步體會(huì)單調(diào)性的作用；

2.在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中體會(huì)指數(shù)函數(shù)的廣泛作用，感受指數(shù)增長(zhǎng)，提升數(shù)學(xué)建模的

素養(yǎng)；

3.結(jié)合指數(shù)函數(shù)的研究過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)研究具體函數(shù)的一般思路和方法，提升數(shù)學(xué)抽

象、直觀想象素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)冪的大小.

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用指數(shù)函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程

教

時(shí)學(xué)

主要師生活動(dòng)

間環(huán)

節(jié)

引導(dǎo)語(yǔ)：前面的兩節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，現(xiàn)在

一.進(jìn)行一下回顧.

復(fù)一、指數(shù)函數(shù)的定義

3

習(xí)一般地，函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義

分

域是

鐘回R.

顧對(duì)于指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的復(fù)習(xí)回顧，可以定位在腦中有圖，利用記住的

圖象，整體把握指數(shù)函數(shù)的所有性質(zhì).

二、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：

補(bǔ)充說(shuō)明：當(dāng)0<a<1時(shí)，若x>0,0<y<1；若x<0,y>1.

當(dāng)a>1時(shí)，若x>0,y>1；若x<0,0<y<1.

對(duì)于上面這個(gè)結(jié)論，我們要深究引入y與1比的緣由，一方面是所有指數(shù)函

數(shù)的圖象均過(guò)（0,1）點(diǎn)且具有單調(diào)性，另一方面所有的ax(a>0，且a≠1)均為正

數(shù)，所以1是一個(gè)重要的分界點(diǎn).

這節(jié)課我們主要通過(guò)具體的例子來(lái)熟悉指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)，為后面應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象

及單調(diào)性解決實(shí)際問(wèn)題做鋪墊.以舊引新，讓學(xué)生有熟悉感并能提高學(xué)習(xí)的興趣.

例1：比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/p>

（1）1.72.5,1.73；

（2）0.8-2，0.8-3；

（3）1.70.3,0.93.1.

二．

解：(1)1.72.5和1.73可以看作函數(shù)y=1.7x當(dāng)x分別取2.5和3時(shí)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)

例

函數(shù)值.因?yàn)榈讛?shù)1.7>1，所以指數(shù)函數(shù)y=1.7x是增函數(shù).因?yàn)?.5<3，所

12題

以1.72.5<1.73.

分講

（第(1)題的基本步驟起到示范作用，要說(shuō)清楚，特別是第一步：構(gòu)造函

鐘解

數(shù)，問(wèn)題的關(guān)鍵是把要比較的兩個(gè)數(shù)看成某個(gè)函數(shù)的函數(shù)值.）

（2）0.8-2和0.8-3可以看作函數(shù)y=0.8x當(dāng)x分別取-2和-3時(shí)所對(duì)

應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值.因?yàn)榈讛?shù)0<0.8<1，所以指數(shù)函數(shù)y=0.8x是減函數(shù).因?yàn)?/p>

-2>-3，所以0.8-2<0.8-3.

(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1.

(對(duì)于第（3）題還是從同樣的方法入手，但是發(fā)現(xiàn)靠一個(gè)函數(shù)解決不了

問(wèn)題，而1的出現(xiàn)，相當(dāng)于就是構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題.)

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生將每一組中的兩個(gè)值可以看作一個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)

函數(shù)值，從而利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.對(duì)于（1）、（2），可以直接利用

指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；對(duì)于（3），1.70.3和0.93.1看作某一個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函

數(shù)值.可以利用函數(shù)y=1.7x和y=0.9x的圖象特征，以及“x=0時(shí)，y=1”這條性質(zhì)把

它們聯(lián)系起來(lái).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小，根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)

構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并促使他們形成用函數(shù)

觀點(diǎn)解決問(wèn)題的意識(shí).

練習(xí)：比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/p>

-3.5-2.3220.51.21.51.2

（1）0.3,0.3；（2）6，7；（3）1.2，0.5；（4）0.25，0.5.

師生活動(dòng)：練習(xí)安排在例1的后面，由學(xué)生獨(dú)立完成，進(jìn)而教師給出評(píng)價(jià)，

重點(diǎn)點(diǎn)評(píng)練習(xí)（2）、（4），在指數(shù)相同、底數(shù)不同的情況下比較兩個(gè)冪的大小，

可以構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)y=6x和y=7x，比較圖象中這兩個(gè)函數(shù)值62，72所在的

點(diǎn)的位置的高低，也可以采用作商法，商值與1比.在指數(shù)不同、底數(shù)也不同的

情況下比較兩個(gè)冪的大小，首先要看兩個(gè)冪是否可能化為同底的情況.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)例1的變式，促進(jìn)學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的理解,逆用指

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，建立函數(shù)思想和分類(lèi)討論思想.

例2：如圖1，某城市人口呈指數(shù)增長(zhǎng).

(1)根據(jù)圖象，估計(jì)該城市人口每翻一番所需的時(shí)間（倍增期）；

(2)該城市人口從80萬(wàn)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)20年，人口會(huì)增長(zhǎng)到多少？

圖1

解：（1）觀察圖1，發(fā)現(xiàn)該城市人口經(jīng)過(guò)20年約為10萬(wàn)人，經(jīng)過(guò)40年約為20

萬(wàn)人，即由10萬(wàn)人口增加到20萬(wàn)人口所用的時(shí)間約為20年，所以該城市人口每

翻一番所需的時(shí)間約為20年.

（2）因?yàn)楸对銎跒?0年，所以每經(jīng)過(guò)20年，人口將翻一番.因此，從80萬(wàn)

人開(kāi)始，經(jīng)過(guò)20年，該城市人口大約會(huì)增長(zhǎng)到160萬(wàn)人.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，根據(jù)該城市人口呈指數(shù)增長(zhǎng)，而

同一指數(shù)函數(shù)的倍增期是相同的，所以可以從圖象中選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)計(jì)算倍增期.

要計(jì)算20年后的人口數(shù)，關(guān)鍵是要找到20年與倍增期的數(shù)量關(guān)系，由于倍增期

是20年，因此容易得到“從80萬(wàn)人開(kāi)始，20年后人口大約會(huì)增長(zhǎng)到160萬(wàn)人”.

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)題目讓學(xué)生了解指數(shù)函數(shù)的廣泛應(yīng)用，通過(guò)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的

圖象分析和解決問(wèn)題，建立函數(shù)圖象與概念、性質(zhì)的聯(lián)系，進(jìn)一步促使學(xué)生形成

用函數(shù)觀點(diǎn)解決問(wèn)題的意識(shí).

1

例3:已知函數(shù)y=()|x|+b的圖象過(guò)原點(diǎn).

2

(1)求該函數(shù)的解析式，并畫(huà)出圖象；

(2)判斷該函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.

1

解：（1）∵函數(shù)y=()|x|+b的圖象過(guò)原點(diǎn)，

2

∴將解析式中代入（0,0）得1+b=0，

∴b=-1，

1

∴y=()|x|-1

52

分三.通過(guò)描點(diǎn)法：①列表；

鐘

鞏

固

提

②描點(diǎn)；

升

③連線(xiàn).

1

就能得到函數(shù)y=()x-1在y軸右側(cè)的圖象：

2

1

進(jìn)而利用函數(shù)y=()|x|-1是偶函數(shù)的性質(zhì)，就能知道它的圖象是關(guān)于y軸對(duì)

2

1

稱(chēng)的，根據(jù)函數(shù)y=()x-1在y軸右側(cè)的圖象將y軸左側(cè)補(bǔ)充完整，就得到了函

2

1

數(shù)y=()|x|-1的圖象：

2

1

（2）函數(shù)y=()|x|-1是偶函數(shù)，

2

且在（-，0]上單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)某一點(diǎn)，

將這一點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別代入函數(shù)的解析式，求得未知數(shù)的值，從而獲得函數(shù)的

解析式，有了解析式，才能順利地解決函數(shù)的圖象及其性質(zhì)等其他問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)借助指數(shù)函數(shù)知識(shí)拓展了研究函數(shù)的類(lèi)型，有了更多的工具

能幫助我們解決更多的函數(shù)問(wèn)題，從這個(gè)角度體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用.

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并引導(dǎo)學(xué)生回答下列問(wèn)題：

師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題后，先由學(xué)生思考后再進(jìn)行全班交流，最后老師再

進(jìn)行總結(jié).要強(qiáng)調(diào)如下幾點(diǎn)：

1.比較兩個(gè)冪的大小的方法：

四．對(duì)于底數(shù)相同，但指數(shù)不同的冪的大小比較，可以構(gòu)造適當(dāng)?shù)闹笖?shù)函數(shù)，用

課指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷，如果底數(shù)不確定，需分兩類(lèi)討論，根據(jù)底數(shù)>1或者

堂0<底數(shù)<1這兩種情況來(lái)確定函數(shù)單調(diào)性（對(duì)于底數(shù)不同的冪，首先考慮是否能化

小為同底，如果可以則也屬于此類(lèi)）；

結(jié)、對(duì)于底數(shù)不同，但指數(shù)相同的