第七講：平面向量的計算一、教學目標1、理解平面向量的實際背景，掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量等核心概念2、掌握平面向量基本定理，會用基底表示向量，理解向量投影及投影向量的意義3、掌握向量的幾何表示與代數(shù)表示（坐標運算），能進行向量的線性運算（加法、減法、數(shù)乘）和數(shù)量積運算教學重難點1、平面向量基本定理的基底分解、向量共線定理的判定2、如三角形重心、垂心等四心的向量表達式，以及利用向量證明平行、垂直關(guān)系3、平面圖形數(shù)量積最值問題三、知識精講知識點01：平面向量數(shù)量積的概念已知兩個非零向量與,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積).記作：，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0知識點02：投影和投影向量設(shè)a，b是兩個非零向量，如圖(1)(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量b，過點A作eq\o(OB,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足為點A1.我們將上述由向量a得到向量eq\o(OA1,\s\up6(→))的變換稱為向量a向向量b投影，向量eq\o(OA1,\s\up6(→))稱為向量a在向量b上的投影向量.向量a在向量b上的投影向量為(|a|cosθ)eq\f(b,|b|).向量b在a方向上的投影|b|cosθ向量a在b方向上的投影|a|cosθ知識點03：平面向量的坐標表示（1）兩個向量和（差）的坐標表示兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和（差）.坐標表示：，則：；（2）任一向量的坐標一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標，，則.（3）向量數(shù)乘的坐標表示實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標.坐標表示:,則.（4）向量數(shù)量積的坐標表示坐標表示：，則：知識點04兩個向量平行、垂直的坐標表示已知非零向量，（1）．（2）.知識點05：平面向量求模長1.求解平面向量模的方法：|a|＝eq\r(a2).2、已知，則|a|＝四、例題精析【題型1平面向量的線性運算】例1．（2024秋?成都期末）在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)AB→=a→，AD→=b→，AA1→（1）用向量a→，b→，c→表示D（2）若D1F→=xa→+yb→+z變式1．（2024春?成華區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AN→=13AC→（1）若點P是線段BN的中點，試用AB→和AC→表示向量（2）若AP→=1變式2．（2024春?保定期中）如圖，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA＝2BC＝2OC＝2，M為AB上靠近點B的一個三等分點，P為線段BC上的一個動點．（1）用OA→和OC→表示（2）設(shè)OB→=λCA→+μ【題型2平面向量的數(shù)量積】例1、（2023上·山西·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知等邊三角形的邊長為1，則（

）A． B． C． D．例2．（2024春?郫都區(qū)校級月考）已知向量a→，b→滿足|aA．1 B．3 C．5 D．7例3（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習）已知向量，滿足，，與的夾角為，則．（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學?？茧A段練習）已知向量，，，則.變式1．（2022春?蒲江縣校級月考）向量a→和b→的夾角為120o，且|a→|=2A．12 B．8+13 C．4 變式2．（2024春?武侯區(qū)校級月考）已知|a→|=1，|（1）求(a（2）求|2a變式3．（2024春?武侯區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，D，E分別在邊AB，AC上，且滿足|AD||DB|=2，|CE||EA|=3，F(xiàn)（1）若DE→=λAB→+μ（2）若AF→?DE變式4．（2022春?青羊區(qū)校級月考）已知向量a→，b（1）求a→與b→的夾角（2）求|a【題型3投影向量】例1（2025?成都模擬）已知兩個非零向量a→，b→滿足|a→+b→|＝|b→ B．?b→ C．2例2（．（2024春?武侯區(qū)校級期中）已知|b→|=2|a→|，若a→?b→ B．b→ C．?【題型4向量的坐標運算】例1．（2024秋?成都月考）已知平面向量a→=(?1，3)，b→A．（﹣3，0） B．(?32，32)例2．（2024秋?簡陽市校級月考）已知a→=（1，0），b→=（1，1），若（λa→A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1例3．（2024春?青羊區(qū)校級月考）已知向量a→=(1，3)，b→=(λ，?1)，若A．﹣6 B．0 C．?103 例4．（2024春?金牛區(qū)校級期中）已知向量a→（1）若f（θ）＝0，求2cos（2）當x∈（0，π）時，求函數(shù)f(x+π變式1．（2024春?金牛區(qū)校級期中）已知向量a→=（2，0），（1）若向量ka→+b→與a→（2）若向量ka→+b→與a→變式2．（2024春?雙流區(qū)校級月考）已知向量a→=(2，1)，b→（1）若c→∥a（2）若(ka→+變式3．（2024春?郫都區(qū)校級期中）已知平面向量a→=(?1，2)，b→=(3，4)，則A．(?35，?45) B．