PAGEPAGE1第一節(jié)隨意角、弧度制及隨意角的三角函數(shù)2024考綱考題考情1．角的有關(guān)概念(1)從運(yùn)動的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角。(2)從終邊位置來看，角可分為象限角與軸線角。(3)若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β＝2kπ＋α，k∈Z。2．弧度與角度的互化(1)1弧度的角長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。(2)角α的弧度數(shù)假如半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數(shù)的肯定值是|α|＝eq\f(l,r)。(3)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°。(4)弧長、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為α(rad)，半徑為r，則l＝|α|r，扇形的面積為S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2。3．隨意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個隨意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)。(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示。正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是點(diǎn)(1,0)。如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線。1．區(qū)分兩個概念(1)第一象限角未必是銳角，但銳角肯定是第一象限角。(2)不相等的角未必終邊不相同，終邊相同的角也未必相等。2．一個口訣三角函數(shù)值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦。3．三角函數(shù)定義的推廣設(shè)點(diǎn)P(x，y)是角α終邊上隨意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合，r＝|OP|，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)。一、走進(jìn)教材1．(必修4P10A組T7改編)角－225°＝________弧度，這個角在第________象限。答案－eq\f(5π,4)二2．(必修4P15練習(xí)T2改編)設(shè)角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________。解析由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義，得sinθ＝－eq\f(3,5)，cosθ＝eq\f(4,5)，所以2cosθ－sinθ＝2×eq\f(4,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝eq\f(11,5)。答案eq\f(11,5)3．(必修4P10A組T6改編)一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為________弧度。答案eq\f(π,3)二、走近高考4．(2024·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中，eq\o\ac(AB,\s\up17(︵))，eq\o\ac(CD,\s\up17(︵))，eq\o\ac(EF,\s\up17(︵))，eq\o\ac(GH,\s\up17(︵))是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊。若tanα<cosα<sinα，則P所在的圓弧是()A．eq\o\ac(AB,\s\up17(︵)) B．eq\o\ac(CD,\s\up17(︵))C．eq\o\ac(EF,\s\up17(︵)) D．eq\o\ac(GH,\s\up17(︵))解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，利用三角函數(shù)的定義可得eq\f(y,x)<x<y，所以x<0，y>0，所以P所在的圓弧是eq\o\ac(EF,\s\up17(︵))。故選C。答案C三、走出誤區(qū)微提示：①終邊相同的角理解出錯；②三角函數(shù)符號記憶不準(zhǔn)；③求三角函數(shù)值不考慮終邊所在象限。5．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)解析與eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確。故選C。答案C6．若sinα<0，且tanα>0，則α是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析由sinα<0知α的終邊在第三、第四象限或y軸的非正半軸上；由tanα>0知α的終邊在第一或第三象限，故α是第三象限角。故選C。答案C7．已知角α的終邊在直線y＝－x上，且cosα<0，則tanα＝________。解析如圖，由題意知，角α的終邊在其次象限，在其上任取一點(diǎn)P(x，y)，則y＝－x，由三角函數(shù)的定義得tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－x,x)＝－1。答案－1考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角的表示【例1】(1)設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)(2024·福州模擬)與－2010°終邊相同的最小正角是________。解析(1)因?yàn)棣仁堑谌笙藿牵驭校?kπ<θ<eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，故eq\f(π,2)＋kπ<eq\f(θ,2)<eq\f(3π,4)＋kπ(k∈Z)，當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，eq\f(π,2)＋2nπ<eq\f(θ,2)<eq\f(3π,4)＋2nπ(n∈Z)，eq\f(θ,2)是其次象限角；當(dāng)k＝2n＋1時，eq\f(3π,2)＋2nπ<eq\f(θ,2)<eq\f(7π,4)＋2nπ(n∈Z)，eq\f(θ,2)是第四象限角，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，即coseq\f(θ,2)<0，因此eq\f(θ,2)是其次象限角。(2)因?yàn)椋?010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°與－2010°終邊相同，又終邊相同的兩個角相差360°的整數(shù)倍，所以在0°～360°中只有150°與－2010°終邊相同，故與－2010°終邊相同的最小正角是150°。答案(1)B(2)150°1．利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個角的終邊相同的全部角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角。2．確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法：先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后依據(jù)k的可能取值探討確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置。【變式訓(xùn)練】(1)設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么()A．M＝N B．M?NC．N?M D．M∩N＝?(2)已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為________。解析(1)由于M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，明顯有M?N。故選B。解析：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N。故選B。(2)在[0,2π)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5,6)π))，所以，所求角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ<α<\f(5,6)π＋2kπ，k∈Z))))。答案(1)B(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ<α<\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用【例2】已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l。若α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的面積。解由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10，所以S扇形＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,3)·102＝eq\f(50π,3)(cm2)?！净犹骄俊?1)若例題條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積。(2)若例題條件改為：“若扇形周長為20cm”，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？解(1)l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(1,2)·l·R－eq\f(1,2)·R2·sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)·eq\f(10π,3)·10－eq\f(1,2)·102·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)(2)由已知得，l＋2R＝20。所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以當(dāng)R＝5cm時，S取得最大值25cm2，此時l＝10cm，α＝2rad。應(yīng)用弧度制解決問題的方法1．利用扇形的弧長和面積公式解題時，要留意角的單位必需是弧度。2．求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決。3．在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形?！咀兪接?xùn)練】若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是________。解析設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對角線長為2r，所以正方形邊長為eq\r(2)r，所以其圓心角的弧度數(shù)是eq\f(\r(2)r,r)＝eq\r(2)。答案eq\r(2)考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用微點(diǎn)小專題方向1：三角函數(shù)的定義【例3】(1)函數(shù)y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)P，且角α的終邊過點(diǎn)P，則sinα＋cosα的值為()A．eq\f(7,5) B．eq\f(6,5)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(3,5)eq\r(5)(2)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝________。解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝loga(x－3)＋2的圖象過定點(diǎn)P(4,2)，且角α的終邊過點(diǎn)P，所以x＝4，y＝2，r＝2eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)＋eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(3,5)eq\r(5)。故選D。(2)因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，所以cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，即x＝eq\f(5,2)。所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－6))。γ＝eq\f(13,2)，所以sinα＝－eq\f(12,13)。所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(13,12)＋eq\f(5,12)＝－eq\f(2,3)。答案(1)D(2)－eq\f(2,3)三角函數(shù)定義主要應(yīng)用于兩方面1．已知角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)定義求解三角函數(shù)值。特殊地，若角α的終邊落在某條直線上，一般要分類探討。2．已知角α的某個三角函數(shù)值，可依據(jù)三角函數(shù)值設(shè)出角α終邊上某一符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)來解決相關(guān)問題。方向2：三角函數(shù)值的符號【例4】(1)使lg(sinθ·cosθ)＋eq\r(－cosθ)有意義的θ為()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)若角α的終邊落在直線y＝－x上，則eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝________。解析(1)由題意知sinθ·cosθ>0且－cosθ≥0，由sinθ·cosθ>0，知θ為第一、三象限角，又由－cosθ≥0，即cosθ≤0知θ為其次、三象限角或θ在x軸的非正半軸上，所以可知θ為第三象限角。故選C。(2)因?yàn)榻铅恋慕K邊落在直線y＝－x上，所以角α的終邊位于其次或第四象限。當(dāng)角α的終邊位于其次象限時，eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝eq\f(sinα,－cosα)＋eq\f(sinα,cosα)＝0；當(dāng)角α的終邊位于第四象限時，eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(－sinα,cosα)＝0。所以eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝0。答案(1)C(2)0要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再依據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號。假如角不能確定所在象限，那就要進(jìn)行分類探討求解。方向3：三角函數(shù)線的應(yīng)用【例5】函數(shù)y＝lg(2sinx－1)＋eq\r(1－2cosx)的定義域?yàn)開_______________。解析要使原函數(shù)有意義，必需有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx－1>0，,1－2cosx≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx>\f(1,2)，,cosx≤\f(1,2)，))如圖，在單位圓中作出相應(yīng)三角函數(shù)線，由圖可知，原函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤x<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))。答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤x<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))三角函數(shù)線的應(yīng)用問題的求解思路確定單位圓與角的終邊的交點(diǎn)，作出所須要的三角函數(shù)線，然后求解?！绢}點(diǎn)對應(yīng)練】1．(方向1)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，P(m，－2m)(m≠0)是角α終邊上的一點(diǎn)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值為()A．3 B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－3解析因?yàn)镻(m，－2m)(m≠0)是角α終邊上的一點(diǎn)，所以tanα＝－2。所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(－2＋1,1－－2×1)＝－eq\f(1,3)。故選C。答案C2．(方向2)已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析由題意知tanα<0，cosα<0，依據(jù)三角函數(shù)值的符號規(guī)律可知，角α的終邊在其次象限。故選B。答案B3．(方向3)若－eq\f(3π,4)<α<－eq\f(π,2)，從單位圓中的三角函數(shù)線視察sinα，cosα，tanα的大小是()A．sinα<tanα<cosα B．cosα<sinα<tanαC．sinα<cosα<tanα D．tanα<sinα<cosα解析如圖所示，作出角α的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，視察可得，AT>OM>MP，故有sinα<cosα<tanα。故選C。答案Ceq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協(xié)作例1運(yùn)用)如圖所示，寫出終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合(用弧度制表示)。解在0～2π范圍內(nèi)，終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角有兩個，分別是eq\f(π,3)和eq\f(4,3)π，即在[0,2π)內(nèi)終邊落在該直線上的角是eq\f(π,3)，eq\f(4,3)π。因此，全部與eq\f(π,3)終邊相同的角的集合是S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))，全部與eq\f(4,3)π終邊相同的角的集合是T＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z))。所以，終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為S∪T＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2k