課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ10SXRA031學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期

課題對(duì)數(shù)運(yùn)算（1）

書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)A版

教科書(shū)

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師李紅北京市第二十二中學(xué)

指導(dǎo)教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解并掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算；

2.在運(yùn)算中進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系；

3.在運(yùn)算中培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：恰當(dāng)使用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

教學(xué)過(guò)程

時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)

一．復(fù)習(xí)對(duì)數(shù)概念及指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)

1.對(duì)數(shù)的概念

一般地，如果axNa0,且a1，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，

記作，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)

xlogaNN.

例如，如果x，那么其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)

25xlog25.25.

2.對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可以得到對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：

x

當(dāng)a0,a1時(shí)，aNxlogaN.

5分鐘復(fù)習(xí)引入

例如，x，即log32

32xlog3232.

3.指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)

對(duì)于任意實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì).

arasarsa0,r,sR,

s

ararsa0,r,sR，

r

abarbra0,b0,rR.

二．提出問(wèn)題：依據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的關(guān)系，能否利用指數(shù)冪運(yùn)算的性質(zhì)得出相應(yīng)的

對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)？

1

一．利用同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

觀察同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)：arasarsa0,r,sR.

等式左邊兩個(gè)同底數(shù)冪ar與as相乘，等式右邊指數(shù)相加.

利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，

設(shè)M=ar，Nas，

即

rlogaM,slogaN.

因?yàn)閍rasars，

所以MNars，

所以logaMNrs，

故logaMNlogaMlogaN.

進(jìn)而得到對(duì)數(shù)運(yùn)算的第一個(gè)性質(zhì).

思考：對(duì)數(shù)的這個(gè)性質(zhì)還可以怎樣證明？

設(shè)

mlogaM,nlogaN,

10分鐘探究新知

即M=am，Nan，

則

logaM+logaNmn.

因?yàn)镸Namanamn，

所以，

loga(MN)mn

所以

loga(MN)logaMlogaN.

二．利用同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

觀察同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)：arasarsa0,r,sR.

等式左邊兩個(gè)同底數(shù)冪ar除以as，等式右邊指數(shù)相減.

利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，設(shè)M=ar，Nas，

即

rlogaM,slogaN.

因?yàn)閍rasars，

M

所以ars，

N

2

M

logrs，

aN

M

所以loglogMlogN.

aNaa

進(jìn)而得到對(duì)數(shù)運(yùn)算的第二個(gè)性質(zhì).

從除法與乘法之間的關(guān)系證明：

M

因?yàn)镸N1，

N

M

所以loglog(MN1)logMlogN1,

aNaaa

M

故loglogMlogN.

aNaa

三．利用冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

n

觀察冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：amamna0,m,nR.

等式左邊冪am的n次方，等式右邊指數(shù)相乘.

利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，m即

設(shè)M=a,mlogaM.

n

因?yàn)閍mamn,所以Mnamn,

n，

logaMmn

所以n

logaMnlogaM.

進(jìn)而得到對(duì)數(shù)運(yùn)算的第三個(gè)性質(zhì).

綜上所述，對(duì)數(shù)運(yùn)算具有如下性質(zhì).

如果a0,且a1,M0,N0,那么

（）；

1loga(MN)logaMlogaN

M

（2）loglogMlogN；

aNaa

（）n

3logaMnlogaM.

在上述推理過(guò)程中應(yīng)關(guān)注以下幾個(gè)問(wèn)題：

（1）進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系

正像加法與減法、乘法與除法關(guān)系一樣，我們通過(guò)加法運(yùn)算學(xué)習(xí)了減法運(yùn)算，

通過(guò)乘法運(yùn)算學(xué)習(xí)了除法運(yùn)算.對(duì)于對(duì)數(shù)運(yùn)算，也是通過(guò)指數(shù)冪運(yùn)算推導(dǎo)對(duì)數(shù)運(yùn)

算的性質(zhì)。

在三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程中，都利用了對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系，即

x，將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，利用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)得到對(duì)數(shù)

aNxlogaN

運(yùn)算性質(zhì).

（2）進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)的概念

3

基于對(duì)數(shù)概念的理解，對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)（1）等式的左邊是乘積的指數(shù)，等式

的右邊是指數(shù)之和，因?yàn)槭峭讛?shù)冪的乘積，所以乘積中的指數(shù)是每個(gè)冪的指數(shù)

的和，因此性質(zhì)（1）等式左右兩邊用兩種方式分別刻畫(huà)了指數(shù)之和.

同理，性質(zhì)（2）等式左右兩邊用兩種方式分別刻畫(huà)了指數(shù)之差，性質(zhì)（3）

等式左右兩邊用兩種方式分別刻畫(huà)了指數(shù)之積.

（3）進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)在數(shù)學(xué)發(fā)展史中的意義

從對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可以看出，通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算可以把乘法轉(zhuǎn)化為加法，把除法

轉(zhuǎn)化為減法，把乘方轉(zhuǎn)化為乘法.

從運(yùn)算的角度看，加、減是一級(jí)運(yùn)算，乘、除是二級(jí)運(yùn)算，乘方、開(kāi)方是三

級(jí)運(yùn)算.運(yùn)算數(shù)量級(jí)的不同決定了運(yùn)算的復(fù)雜度，一般來(lái)說(shuō)，運(yùn)算的數(shù)量級(jí)越高，

運(yùn)算的復(fù)雜度越高.對(duì)數(shù)運(yùn)算降低了運(yùn)算的級(jí)別，簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

現(xiàn)代社會(huì)由于有了計(jì)算機(jī)等工具，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的這種作用似乎顯得有些

微不足道.但在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，由于當(dāng)時(shí)沒(méi)有計(jì)算工具，對(duì)于天文學(xué)中大數(shù)的乘、

除等運(yùn)算，僅靠紙筆運(yùn)算是相當(dāng)繁瑣、復(fù)雜的，而對(duì)數(shù)的發(fā)明“延長(zhǎng)了天文學(xué)家

的壽命”.因此，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)堪稱數(shù)學(xué)發(fā)展史上的偉大成就.

例1求下列各式的值：

（）lg5（）75

1100,2log242.

222

解：（1）lg5100lg105lg10;

55

（）7575

2log242log24log22

7log245log22

7251

19

分析：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察運(yùn)算結(jié)構(gòu)，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值.

（1）求lg5100的值：這是求以10為底的對(duì)數(shù)，注意觀察真數(shù)的形式，真數(shù)是

5分鐘鞏固提升

根式的形式，根式的被開(kāi)方數(shù)是100，是10的平方，是對(duì)數(shù)的底數(shù)的平方，即找

到了真數(shù)與底數(shù)之間的關(guān)系所以選擇對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)n完成

.logaMnlogaM

求值.

（）求75的值：這是求以為底的對(duì)數(shù)，真數(shù)是的冪的乘積，所

2log24222

以先選擇對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，將乘積的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為因

logaMNlogaMlogaN

子的對(duì)數(shù)和的形式，再求每一個(gè)因子的對(duì)數(shù)，進(jìn)而完成求值.

x2y

例2用lnx,lny,lnz表示ln.

3z

4

x2y

解：lnlnx2yln3z

3z

lnx2lnyln3z

11

2lnxlnylnz.

23

x2y

分析：本體的關(guān)鍵在于建立ln與lnx,lny,lnz之間的聯(lián)系，商的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化

3z

為被除式的對(duì)數(shù)與除式的對(duì)數(shù)的差，然后在運(yùn)用性質(zhì)n，進(jìn)而

logaMnlogaM

完成化簡(jiǎn).

小結(jié)：在上述求值過(guò)程中，觀察運(yùn)算結(jié)構(gòu)，尋求真數(shù)與底數(shù)之間的聯(lián)系，正確選

擇對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)是非常重要的求值步驟.

練習(xí)：求下列各式的值：

（）2（）

1log3279;2lg5lg2;

1

（3）log3log;（4）log5log15;

33333

解：（）22

1log3279log327log39

32