河北省博野中學(xué)2019-2020學(xué)年高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知函數(shù)〃x）=2sin（0x+w）,>O,|d<|）的圖象過(guò)點(diǎn)3（0,6），且在臉，當(dāng)上單調(diào)，把“力的

圖象向右平移萬(wàn)個(gè)單位之后與原來(lái)的圖象重合，當(dāng)%,當(dāng)€（3-，三-）且與。工2時(shí)，/（xj=/（w），則

/（玉+X2）=（）

A.7B.Gc.-1D.>

2.如圖是為了求出滿足3"-2">1000的最小偶數(shù)〃，那么在<>和匚二I兩個(gè)空白框中，可以分別填

B.4>1()0()和〃=〃+2

cA<10()0和〃="+1D.AV1000和〃=〃+2

3.已知等差數(shù)列｛風(fēng)｝中，5.為其前〃項(xiàng)和，（其中乃為圓周率），4=2%,現(xiàn)從此數(shù)列的前30

項(xiàng)中隨機(jī)選取一個(gè)元素，則該元素的余弦值為負(fù)數(shù)的概率為（）

_141Z

A.30B.30c.30D.30

4.已知函數(shù)〃x）=21nxC4x?e2｝g（x）=mr+2,若/（x）與g（x）的圖像上存在關(guān)于直線y=1對(duì)

稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

5.在長(zhǎng)方體ABC?！?4GR中,AB=AD=啦,胡=2,則異面直線AB,與BJ所成角的余弦值

為()

256娓

A.3B.6c.3D.6

6.已知等差數(shù)列｛qJ的首項(xiàng)為《，公差d*0,貝!|“4,4，名成等比數(shù)列”是“4=1”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知/（x）是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)xe［0,l］時(shí)，/（%）=%,那么在區(qū)間［-1,3］內(nèi)，關(guān)于x的方程

/（6=依+&+1且左力一1）有4個(gè)不同的根，則人的取值范圍是（）

（十）

B.（'?0）

A.c.小D.（T0）

8.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其

三視圖如圖所示（單位：寸），若兀取3,27立方寸=1升，則商鞅銅方升的容積約為

B.（）.467升

C.0486升口.（）487升

9.設(shè)a=0.5%0=0.3%c=logo,30.2,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.c<a<bB.<a<cC.c<b<apa<b<c

10.如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有

（）

A.2對(duì)B.3對(duì)

C.4對(duì)D.5對(duì)

Y

11.函數(shù)y=］—2sinx的圖象大致是

兀

12.已知函數(shù)/（x）=Asin（5+。）（A>0,。>0,|<?|<-）的部分圖像如圖所示，若將圖像

7T

上的所有點(diǎn)向左平移了個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖像，則函數(shù)g（?的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

4

.7t.57t..”、

k7i,k7i--(keZ)K7V-------,K7TH-----(K€Z)

12121212

757r777r,11〃,萬(wàn)八~、

K7V----，攵〃d-----(KGZ)k兀----------,k,7TH(kGZ)

24242424

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如下分組的正整數(shù)對(duì)：第1組為。2）,（2』）｝,第2組為｛"3）,（"）｝,第3組為｛（1'4）,（2,3）,

（3,2）,（4,1）｝,第4組為｛0，5）,（2,4）,（4,2）,（5,1）｝,…,則第皿組第21個(gè)數(shù)對(duì)為.

14.現(xiàn)有編號(hào)為①、②、③的三個(gè)三棱錐（底面水平放置），俯視圖分別為圖1、圖2、圖3,則至少存在一

個(gè)側(cè)面與此底面互相垂直的三棱錐的所有編號(hào)是一

x+y-l>0

<x+3y-4<0

15.設(shè)x、y滿足條件〔>一尤+32°則z=4x.2v最小值是

16.已知復(fù)數(shù)馬=1T,z/Z2=l+i,則復(fù)數(shù)z?=,區(qū)|=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖在A4BC中，tanA=7,/ABC的平分線8。交AC于點(diǎn)。，設(shè)NCBO=。，其中。

是直線2x-4y+5=0的傾斜角.

4

D

2

___________\r/（x）=sinCsinx-2cosCsin—,xG[0,—]

求C的大??；若22,求/（x）的最小值

及取得最小值時(shí)的x的值.

18.（12分）已知函數(shù)/。）=（"-2）6"-6（4-2）.討論了（勸的單調(diào)性；當(dāng)x＞l時(shí)，/（x）＞°,求。的

取值范圍.

19.（12分）選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/（*）=卜一斗—〃?討.若機(jī)=2,解不等式/3＜5的解集；若關(guān)于%的不等式/3'1在R上

恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

f（x）=Inxd--1—/、ii,/、

20.（12分）已知函數(shù)'x2.求函數(shù)/⑺的單調(diào)區(qū)間；設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx+l-"X）,若

XG—,+00

12時(shí)，g（x）＞°恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21.（12分）已知函數(shù)“口=|%-2|+|21-1|.求不等式/。）＜3的解集；若不等式的解集為

空集，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22.（10分）在三棱柱ABC-AiBR]中，側(cè)面ACgA]為菱形，且側(cè)面ACQA?1?底面.c,AC，A]B,

ABJ-BC,AB=BC,E,F分別為AC,的中點(diǎn).

求證：直線EF//平面ABBIA”若AC=也,求三棱錐F-ABA]的體積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共6（）分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1、B

2、D

3、A

4、B

5、A

6、C

7、B

8、B

9、B

10、C

11、B

12、A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

⑶(22,20)

14、①②

15、-5

16、i1

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)C--；(2)當(dāng)x=0或x=一時(shí)，f(x)取得最小值=0.

42

【解析】

【分析】

(1)由題可知柩〃得到,又因?yàn)閠anA=7,可得fa〃C=-/a〃(A+B)=l,

即可求解

(2)由⑴可以化簡(jiǎn)〃x)=s力-等，進(jìn)而得到“X)在?，'上單調(diào)遞增，在上單

調(diào)遞減，即可求出結(jié)果

【詳解】

(1)由題可知tanO=L,所以tanNA3C=tan26=「1③叫=±,又tanA=7

2l-tan-6?3

7+4

所以tanC=tan[*(A+B)]m(4+8)=-罌簫

l-7x2

3

式冗

兀

⑵由(1)可知/(x)=sinisinx-cos—(1-cosx)=sinXH--

4

e、，八萬(wàn)?，兀7137cTTTT37r

因?yàn)閤e0,—，所以x+7e——,因?yàn)閥=sinr在—-上單調(diào)遞增，在q,-丁上單調(diào)遞減，

244442J[24」

且〃。)=/0

所以當(dāng)x=0或x=|^時(shí)，/(x)取得最小值為0.

【點(diǎn)睛】

本題是三角函數(shù)問(wèn)題中的典型題目，解答本題的關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，進(jìn)一步討論函

數(shù)的性質(zhì)，本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于忽視設(shè)定角的范圍，難度不大，考查了學(xué)生的基本運(yùn)算求解能力以及復(fù)雜式

子的變形能力。

18、(1)見解析；(2)[1>+8).

【解析】

試題分析：(1)先求導(dǎo)數(shù)，再討論辦-2+。符號(hào)，根據(jù)符號(hào)確定對(duì)應(yīng)單調(diào)性，(2)由于/(1)=0,所以

2—a

1得右側(cè)附近函數(shù)單調(diào)遞增，再結(jié)合(1)可得。〉0且——<1,即得a的取值范圍.

a

試題解析：解：(1)f'[x)=(ax-2+a)ex,

當(dāng)a=0時(shí)，/'(力=-2/<0,.?./(X)在R上單調(diào)遞減.

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(x)<0,得x<?；令/'(x)>0,得

(2—a,單調(diào)遞增區(qū)間為(丁,+8).

.?./(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為|—O0,------

當(dāng)a<0時(shí)，令/'(x)<0,得x>平；令/'(x)>0,得工<平.

/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為12士,+00),單調(diào)遞增區(qū)間為1-0。,七

(2)當(dāng)4=0時(shí)，/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減，??./(力</(1)=0,不合題意.

當(dāng)a<0時(shí)，/(2)=(2a—2)———2)=a(2e--e)—2e1+2e<0,不合題意.

當(dāng)a21時(shí)，f\x)^(ax-2+a)ex>0,/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

???〃x)>〃l)=0,故a21滿足題意.

當(dāng)0<。<1時(shí)，/(x)在(1,與上單調(diào)遞減，在(丁,+8)單調(diào)遞增，

.,-/(x)min=/——</(1)=0,故0<。<1不滿足題意?

綜上，a的取值范圍為[1,+8).

點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法，使不等式一端是含有參

數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論

分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確

定條件.

21

19、(1)(——,2)(2)(-co,——]

33

【解析】

【分析】

(1)分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，分別求解取并集即可.

(2)分別作出^=僅一3|,丁=〃以|+1的圖象，觀察可求解m的范圍.

【詳解】

(D依題意,lx-3|+2W<5.

22

當(dāng)光<0時(shí)，3—x—2x<5,即—故—<x<0；

393

當(dāng)0Wx?3時(shí)，即3-x+2x<5,即x<2,故0Wx<2；

8

當(dāng)x>3時(shí)，x-3+2x<5,即x<一,故無(wú)解.

3

綜上所述，不等式〃x)<5的解集為(-

(2)依題意，|x-3|-/n|x|>l,故|x-3|N詞M+I(*),

顯然〃2?0時(shí)，(*)式不恒成立，

當(dāng)加<0時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系中分別作出了=以一3|,丁=加區(qū)+1的圖象如下圖所示,

觀察可知，加4-；，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為1-8,.

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對(duì)值不等式的解法，含絕對(duì)值的函數(shù)圖像的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題.

20、(1)當(dāng)時(shí)，/(x)的增區(qū)間為(0,+8)；當(dāng)。>0時(shí)，/0)的減區(qū)間為(0,—1+J西)，增區(qū)

間為(-1+，1+2小+8)；(2)卜8,g).

【解析】

【分析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)/(x)=L-g+；=『+2『。,討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)

2

g(x)>0恒成立，即Hnx-lnx-色一;+1>0,變量分離得到QC-inx-jdnx-土+x,令

x22

/z(x)=x2lnx-xliu-y+x對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性得到最值即可.

【詳解】

(l)/(X)的定義域?yàn)?0,母)，

q(\1a1x~+2x—2。

f(x)=----丁+一=-------；----,

Vxx22x

令/'(x)=0,則工2+2元-2〃=0,△=4+8。>0時(shí)，即〃>-g,方程兩根為

X=-----------=_1_J1+2〃，%=-1+J1+2〃,%+/=-2,%入2=-2a,

①當(dāng)?！兑唬粫r(shí)，A<0,/'(X)20恒成立，“X)的增區(qū)間為(0,+8)；

②當(dāng)-g<a40時(shí)，=-2a>0,x,<0,x2<0,XG(0,+X>)時(shí)/'(x)20,/'(x)的增區(qū)間為

(O,-K?)；

③當(dāng)a〉0時(shí)，%1<0,毛>0,當(dāng)xe(0,馬)時(shí),/,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)為?孫+00)時(shí),

r(x)>o,單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)4W0時(shí)，“X)的增區(qū)間為(O,y)；當(dāng)4>0時(shí)，〃力的減區(qū)間為(0,-1+J百)，增區(qū)間

為(-l+Jl+2a,+8).

(2)xG(—,+°°］時(shí)，g(x)>0恒成立，即xlnx—Inx------F1>0,

12Jx2

2

1廣

:.a<x21Inx-xlnx----Fx,

2

令1r—xlnx一,+x”(x)=2xlnx+x-lnx-1-x+l,

/zr(x)=(2x-l)lnx,

當(dāng)時(shí)，/?'(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xw(l,+8)時(shí)，”(x)>0,〃(x)單調(diào)遞減；

則實(shí)數(shù)a的取值范圍時(shí)

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問(wèn)題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題.處理

導(dǎo)數(shù)大題時(shí)，注意分層得分的原則，力爭(zhēng)第一二問(wèn)答對(duì)，第三問(wèn)爭(zhēng)取能寫點(diǎn)，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極

值時(shí)，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論，對(duì)于恒成立問(wèn)題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)

的最大值或最小值，對(duì)于含有不等式的函數(shù)問(wèn)題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決，但涉及技

巧比較多，需要多加體會(huì).

3

21、(1)[0,2].(2)-3<a<-

2

【解析】

【分析】

⑴解法一：零點(diǎn)分區(qū)間，分類討論，解絕對(duì)值不等式；解法二：畫出/(X)圖像，數(shù)形結(jié)合找到/(x)?3

的解集.

(2)解法一：數(shù)形結(jié)合，/(力圖像恒在)'=數(shù)圖像上方；解法二：不等式/(x)War的解集為空集可

轉(zhuǎn)化為/(%)>辦對(duì)任意xeR恒成立，分類討論，去掉絕對(duì)值，利用一次函數(shù)保號(hào)性解決恒成立問(wèn)題.

【詳解】

(1)【解法一】

，。1

—3x+3,x,,—

由題意/(x)=?x+l,1<x<2,

3x-3,x.2

當(dāng)時(shí)，/(%)=-3X+3W3,解得xNO,即04x4；,

當(dāng)g<x<2時(shí)，/(x)=x+l<3,解得x?2,即;<x<2,

當(dāng)xN2時(shí)，/(x)=3x-3W3,解得x<2,即x=2.

綜上所述，原不等式的解集為[0,2].

【解法二】

~3x+3,x4/

,1c

由題意/(尤)=,%+1,一<x<2

2

3x-3,x>2

作出/(x)的圖象

注意到當(dāng)x=0或x=2時(shí)，/(x)=3,

結(jié)合圖象，不等式的解集為［0,2］；

(2)【解法1】

由(1)可知，/(x)的圖象為

不等式〈依的解集為空集可轉(zhuǎn)化為/(x)>依對(duì)任意xeR恒成立，即函數(shù)>=以的圖象始終在函

數(shù)曠=/(%)的圖象的下方，如圖

3

當(dāng)直線y=辦過(guò)點(diǎn)A(2,3)以及與直線y=—3x+3平行時(shí)為臨界點(diǎn)，所以-3Wa<

【解法2】

不等式/(x)<"的解集為空集可轉(zhuǎn)化為/(x)>公對(duì)任意尤6R恒成立，

⑴當(dāng)時(shí)，f^x)--3x+3>ax,即(a+3)x-3<0恒成立，

若。+3<0,顯然不合題意，

若a+3=0,即a=—3,則—3<0恒成立，符合題意，

若a+3>0,即a>—3,只需(a+3)xg—3<()即可，解得a<3,故一3<a<3,

所以一3,,a<3；

(ii)當(dāng)g<x<2時(shí)，/(x)=x+l>izx,即(a—恒成立，

若a—1<0,即a<l,(a—l)x—l<()恒成立，符合題意，

若a-1=0,即a=l,則一1<0恒成立，符合題意，

33

若。一1〉0,即。〉1,只需(a-l)x2-lwo即可，解得故

_3

所以a<—；

2

(iii)當(dāng)xN2時(shí)，f(x)-3x-3>ax,即(a-3)x+3<0恒成立，

33

若"3<0,即a<3,只需(a-3)x2+3<0即可，解得"子故a</,

若。-3=0,即。=3,則3<0,不合題意，

若a—3>0,即a>3,貝!!(a-3)x+3>0恒成立，不合題意，所以a〈一；

3

綜上所述，

2

【點(diǎn)睛】

利用分類討論，數(shù)形結(jié)合都可以解決含絕對(duì)值的不等式，本題還涉及到劃歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，利用保號(hào)

性解決恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.

22、（1）證明見解析；（2）言.

【解析】

【分析】

（1）取AR1中點(diǎn)為P,連結(jié)FP,AP,證明四邊形FPAE為平行四邊形，得EF//AP即可證明；（2）連A1E,

V

BE,證明A】EJ■底面ABC,轉(zhuǎn)化VF-ABA]=VE-ABA]=ArABE求解即可

【詳解】

（1）取AF1中點(diǎn)為p,連結(jié)FP,AP.

VE,F,P為AC,BjCpA]B]的中點(diǎn)，AFP//AE,FP=AE.

/.四邊形FPAE為平行四邊形，:.EF//AP.

又,?'APu平面ABB[A]EF<^平面ABB1A1，.^.EF//平面ABB1A1

(2)連AR,BE

,:AB=BC,且E為中點(diǎn)，ABE1AC.

又AC-LA3且BEAA】B=B,/.AC-L平面A]BE.，ARAC.

.,.AAi=AR.

又；四邊形ACC]A[為菱形，.".AC=AAi=Ag=啦且AR,AC.

:側(cè)面ACJA]J■底面ABC,二A]E'底面ABC.

由(1)知EF〃平面ABBiAp

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定，三棱錐的體積計(jì)算，考查空間想象及推理能力，注意等體積轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，是中

檔題2019-2020高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知等比數(shù)列｛a“｝中，a2-a8=4a5,等差數(shù)列｛，｝中，b4+b6=a5,則數(shù)列｛瓦｝的前9項(xiàng)和S9等于（）

A.9B.18C.36D.72

2.若滿足2x-x,則點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)（一1,0）距離的最小值為

R36

15.---------

5

V2

C.2D2

3.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線。為正態(tài)分布N（-1,1）的密度曲線）

的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）

附：若XN(〃,Cf2),貝(〃一b<X<〃+b)=0.6826,P(〃_2b<X<〃+2cr)=0.9544.

)

1

A.1193B.1359C.2718D.3413

4.若整數(shù)x,y滿足不等式組2x-y-10<0則2x+y的最大值是

y/3x+y-5s/3>0

A.11B.23C.26D.30

TT

5./(x)=(sinx+cosx)"+2cosx,xe。巧則y=f⑴的最大值為（）

A.1+|6B,3C.2+6D.4

6.己知點(diǎn)A是拋物線G：V=2px（p>0）與雙曲線6>0）的一條漸近線的交點(diǎn)，若點(diǎn)

a"b~

A到拋物線C,的準(zhǔn)線的距離為p,則雙曲線的離心率為（）

A.血B.&C.石

D.2

7.某四面體三視圖如圖所示,則該四面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)與最短的棱長(zhǎng)的比是（）

3

2

222

8.已知雙曲線￡：亍—i與雙曲線C2：/-/=i有相同的離心率，則雙曲線G的漸近線方程為

T

)

9.已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)F和拋物線上一點(diǎn)M(2,20)的直線/交拋物線于另一點(diǎn)N,

則尸等于()

A.1：2B.1：3c.1：血D.1：百

10.函數(shù)/(x)=2卜必是()

TT

A.最小正周期為彳偶函數(shù)B.最小正周期為左的奇函數(shù)

2

71

C.最小正周期為5奇函數(shù)D.最小正周期為〃的偶函數(shù)

/、—2),x>2

H.已知函數(shù)〃x)=l3'7，則函數(shù)g(x)=xf(x)-1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

1—|x—1|,x?2

A.2B.3C.4D.5

12.若雙曲線。:1—卓=1(。>0/>0)的一條漸近線被圓一+小一2)2=2所截得的弦長(zhǎng)為2,則雙

曲線。的離心率為()

A.0B.2

C.小D.2石

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

111

--1----F

13.數(shù)列｛4』滿足巧=3,且對(duì)于任意的都有4向=4+%+”-1,則4?2

14.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：F=4x的準(zhǔn)線為/,焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且斜率為右的直線與拋物線C

\OF\_

交于兩點(diǎn)，且.尸忸^尸，若直線HO與/相交與則BD.

15.以下三個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：

①設(shè)43為兩個(gè)定點(diǎn)，K為非零常數(shù)，若|Q4|—|Pfi|=K，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是雙曲線;

②方程2X2-5X+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;

222

③雙曲線±-±=1與橢圓工+丁=1有相同的焦點(diǎn);

25935-

④已知拋物線V=2〃x,以過(guò)焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線相切，其中真命題為

.（寫出所有真命題的序號(hào)）

16.設(shè)向量不62不共線，向量與9+402平行，則實(shí)數(shù)2=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的客戶，推出兩種超過(guò)質(zhì)保期后兩年

內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過(guò)2次每次

收取維修費(fèi)2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過(guò)4次每次收

取維修費(fèi)1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購(gòu)買2臺(tái)這種機(jī)器?，F(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買哪種延保方案，為

此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：

維修次數(shù)0123

臺(tái)數(shù)5102015

以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延

保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)。求X的分布列；以所需延保金及維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪

種延保方案更合算？

18.（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S，，，且加5,二%+4。求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式；若

b

”〔可求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和乙。

19.（12分）如圖，三棱臺(tái)ABC—EFG的底面是正三角形，平面ABC,平面BCG尸，

CB=2GF,BF=CF.

AB1CG.若BC=CF,求直線AE與平面BEG所成角的正弦值.

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極

2-

坐標(biāo)系.已知曲線c的極坐標(biāo)方程為p（l-cos0）=mcos0（m>0）,傾斜角為i的直線1過(guò)在平面直角坐標(biāo)坐標(biāo)為

|PA||AB|

（-2,-4）的點(diǎn)P,且直線1與曲線C相交于A,B兩點(diǎn).寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線1的參數(shù)方程;若麗=麗,

求m的值.

21.（12分）在三棱柱ABC-A]BRi中，側(cè)面ACC/i為菱形，且側(cè)面ACC1A■1?底面ABC,ACJ-A^,

ABJ-BC,AB=BC,E,F分別為AC,8向的中點(diǎn).

Cl

XX￡

B求證：直線EF//平面ABB】、；若AC二也，求三棱錐F—ABA1的體積.

〃力=歸+4+k-4.當(dāng)〃=1涉=1時(shí)，求不等式4%）<4的解集;若〃>0,6>0,

22.（10分）已知函數(shù)

J_+2

/I"）的最小值為2,求。療的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

B

2、C

3、B

4、D

5、A

6、C

7、D

8、B

9、A

10、A

11、B

12、B—、單選題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

985

13、987

3

14、4

15、②③④

16、2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、（I）見解析；（n）選擇延保方案二較合算

【解析】

【分析】

(I)X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6,分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可；(II)求出

兩種方案下所需費(fèi)用的分布列，然后分別求出對(duì)應(yīng)的期望值，比較二者的大小即可選出最合算的方案。

【詳解】

解：(I)X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6,

=O)=—X—=—,=1)=—x-x2=—,=2)=-x-+-x—x2=—,

''10101001710525,75551025

c/、，13cl2cli223107

P(X=3)=—x—x2H—x—x2=—,P(X=4)=-x—I---x—x2=—,

'710105550'75510525

p(X=5)=-x—x2=—,=6)=—x—,

''51025''1010100

...X的分布列為

X0123456

11311769

P

W02525502525100

(H)選擇延保一，所需費(fèi)用匕元的分布列為:

耳70009000110001300015000

1711769

P

100502525100

[7117AQ

EY.=—X7000+—x9000+—X11000+—X13000+—X15000=10720(元).

1100502525100

選擇延保二，所需費(fèi)用公元的分布列為：

Y2100001100012000

6769

P

10025100

EK=—x10000+—xll000+—x12000=10420(元).

210025100

???EK>.?.該醫(yī)院選擇延保方案二較合算.

【點(diǎn)睛】

本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，考查了概率的計(jì)算，考查了期望的求法，屬于中檔題。

_32〃+3

18、

44?J

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)題干得到當(dāng)〃22時(shí)，由25“=4+見得2S“T=a；T+a,i，兩式做差得到

(q,+4i)(q,-a,i-l)=0,得到數(shù)列｛a,,｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而得到結(jié)果；⑵

根據(jù)第一問(wèn)得到,由錯(cuò)位相減求和得到結(jié)果.

【詳解】

(1)由題意得，當(dāng)〃=1時(shí)，勿］2=a；+q,又%>0,工％=1,

當(dāng)〃之2時(shí)，由2szi=a：+a“得2sti_、=a3+,

兩式相減得〃=4一+4一%，即(4,+%)(4,一。,1-1)=0，

又見>0,二a“-a,i=l,

???數(shù)列｛風(fēng)｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，???凡=〃；

(1V

(2)由(1)得b=〃?—9

,口=鳴’+2、[[++咱”,

嗎

2

兩式相減得

3n

32/7+3

"443"

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和&

的關(guān)系，求凡表達(dá)式，一般是寫出S，i做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=l時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；

數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等.

19,(I)見證明；(II)逅

4

【解析】

【分析】

(I)取BC的中點(diǎn)為D,連結(jié)。尸，易證四邊形CDFG為平行四邊形，即CG〃。尸，由于BF=CF,

。為BC的中點(diǎn)，可得到J.BC,從而得到CG_LBC,即可證明CG_L平面ABC,從而得到

CG_LAB：(II)易證。B，DF,D4兩兩垂直，以DB，DF,D4分別為X,［軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系。一WZ,求出平面8EG的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),設(shè)AE與平面BEG所成

角為。，則立皿=卜05〈4=“〉|=|溫］；,即可得到答案。

【詳解】

解：(I)取BC的中點(diǎn)為。，連結(jié)。尸.

由ABC-EFG是三棱臺(tái)得，平面A8C//平面E/G,從而5C7/FG.

,:CB=2GF，:.CDHGF,

:.四邊形CDFG為平行四邊形，.ICG//DF.

VBF=CF,。為BC的中點(diǎn)，

DFIBC,：.CG1BC.

?.?平面A6CJ.平面BCGR,且交線為8C,CGu平面BCGR,

CGL平面ABC,而ABi平面ABC,

:.CGVAB.

(II)連結(jié)AO.

由A4BC是正三角形，且。為中點(diǎn)，則A。，8c.

由(I)知，CGJ?平面ABC,CG//DF,

ADFLAD,DFIBC,

:?DB，DF,D4兩兩垂直.

以DB，DF,D4分別為x,.y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫z.

設(shè)BC=2,則A,0,@,E-5,6*,80,0,0),G(-l,V3,0),

(22J

=(-2,73,0),BE=-|，6，*).

AE=——,>/3,—,BG

設(shè)平面BEG的一個(gè)法向量為n=Q,y,z).

-2,XH-6y=0

BG-n=0

由｛可得，｛3廠y+^-z=0

BEn=O__|x+g

令x=6則y=2,z=-l,幾—(A/^,2,-1).

設(shè)AE與平面BEG所成角為9,則sinOTcosVAE,力|=?磐"=—.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何中，面面垂直的性質(zhì)，線線垂直的證明，及線面角的求法，考查了學(xué)生的邏輯推理能

力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題。

拒

x=-2+yt

2

20.(1)v=mx⑤(t€R,t為參數(shù))；(2)2.

ly=-4+yt

【解析】

【分析】

(1)曲線C的極坐標(biāo)方程利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程.利用直線的參數(shù)方程形式直接寫出直線1的參

數(shù)方程.

(2)把直線1的方程代入曲線C的方程為：(m+8)t+4(m+8)=0.由條件可知|APWBP|=|BA『，

2

可得|tjt2|=(t]力)2,化為：5tl?t2=(t1+t2)?利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.

【詳解】

(1)由p(l-cos%)=mcos9(m>0)?得Jsin%=mpcos0(m>0)>

:.曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=1nx.

板

2+r

???直線1的傾斜角為:且過(guò)點(diǎn)P,...直線1的參數(shù)方程為‘近

4+eR、t為參數(shù))

V=-

(2)將直線1的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程y2=g，

得J-啦(8+m)t+4(8+m)=0，設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為4,t2,

則有t]+弓=也(8+m),t]t2=4(8+m)

222

,溜=爵'IPA門PB|=IAB|-又m>0,A附|=t&=&一t2),即(J+t2)=5t&，

?'?2(8+m)2=20(8+m),m2+6m-16=0，解得m=2或m=-8(舍去)，

.?.m的值為2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程，考查了直線的參數(shù)方程的寫法，綜合運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)

的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

21、(1)證明見解析；(2)9

24

【解析】

【分析】

(1)取A]B]中點(diǎn)為p,連結(jié)FP,AP,證明四邊形FPAE為平行四邊形，得EF//AP即可證明；(2)連人吊

VV

BE,證明A】E'底面ABC,轉(zhuǎn)化VF-ABA]=E-ABA,=ArABE求解即可

【詳解】

(1)取AF1中點(diǎn)為P,連結(jié)FP,AP.

VE,F,P為AC,BjCpA]B]的中點(diǎn)，/.FP//AE,FP=AE.

:.四邊形FPAE為平行四邊形，:.EF//AP.

又：APu平面ABB[A]EF<^平面ABB]A1，.^.EF//平面ABB]AI

(2)連\E,BE

VAB=BC,且E為中點(diǎn)，.'.BEJ-AC.

又ACA3且BEAA】B=B,/.ACJ-平面ARE.，AR，AC.

AAA,=AR.

又,:四邊形ACC】A[為菱形，AAC=AA]=Ag=啦且,'E-LAC.

?側(cè)面ACJA]底面ABC,，A】E1底面ABC.

由(1)知EF//平面ABB]A].

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定，三棱錐的體積計(jì)算，考查空間想象及推理能力，注意等體積轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，是中

檔題

22、(1)[x\-2<x<2^；(2)-+V2

【解析】

【分析】

1?

(1)利用零點(diǎn)討論法解絕對(duì)值不等式；(2)利用絕對(duì)值三角不等式得到a+b=2,再利用基本不等式求一+：

的最小值.

【詳解】

(1)當(dāng)”=1,6=1時(shí)，/(x)=|x+l|+|x-l|<4,

x4—1-1<X<1fX>1

得或或〈解得：-2<x<2,

-2x<42<4[2x<4

?,?不等式/(x)<4的解集為{x|-2<x<2}.

(2)/(X)=|X+(7|+|X-Z?|>|(X+6Z)-(X-/7)|=6Z4-/7,

，a+/?=2,

121

—+—=—Xz(6Z+b)3+3即

ab2yab