PAGE1-課時作業(yè)18正態(tài)分布學問點一正態(tài)分布的有關概念1.設兩個正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2答案A解析依據(jù)正態(tài)分布密度曲線的性質：正態(tài)分布密度曲線是一條關于x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線越“矮胖”；σ越小，曲線越“瘦高”，結合圖象可知μ1<μ2，σ1<σ2.故選A.2．某次市教學質量檢測，甲、乙、丙三科考試成果聽從正態(tài)分布，相應的正態(tài)曲線如圖所示，則下列說法中正確的是()A．三科總體的標準差相同B．甲、乙、丙三科的總體的平均數(shù)不相同C．丙科總體的平均數(shù)最小D．甲科總體的標準差最小答案D解析由圖象知甲、乙、丙三科的平均分一樣，但標準差不同，σ甲＜σ乙＜σ丙．故選D.學問點二正態(tài)分布的性質3.已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，則P(X＞2)等于()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4答案A解析因為P(X＞2)＋P(0≤X≤2)＋P(－2≤X≤0)＋P(X＜－2)＝1，P(X＞2)＝P(X＜－2)，P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)，所以P(X＞2)＝eq\f(1,2)[1－2P(－2≤X≤0)]＝0.1.4．設隨機變量X～N(1,22)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X))等于()A．4B．2C.eq\f(1,2)D．1答案D解析因為X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X))＝eq\f(1,4)D(X)＝1.學問點三正態(tài)分布的應用5.已知一次考試共有60名同學參與，考生的成果X～N(110,25)．據(jù)此估計，大約應有57人的分數(shù)在區(qū)間()A．(90,110]內(nèi) B．(95,125]內(nèi)C．(100,120]內(nèi) D．(105,115]內(nèi)答案C解析eq\f(57,60)＝0.95，故可得大約應有57人的分數(shù)在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)，即在區(qū)間(110－2×5,110＋2×5]內(nèi)．6．某班同學共有48人，數(shù)學測驗的分數(shù)聽從正態(tài)分布，其平均分是80分，標準差是10分，則該班同學中成果在70～90分的約有________人．答案33解析依題意，得μ＝80，σ＝10，所以P(70<ξ<90)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，所以48×0.6826≈33(人)．即該班約有33人的成果在70～90分．一、選擇題1．正態(tài)曲線關于y軸對稱，當且僅當它所對應的正態(tài)總體的均值為()A．1B．－1C．0D．不確定答案C解析均值即為其對稱軸，∴μ＝0.2．如圖所示的是當σ取三個不同值σ1，σ2，σ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關系是()A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3答案D解析當μ＝0，σ＝1時，正態(tài)曲線f(x)＝eq\f(1,\r(2π))eeq\s\up15(－eq\f(x2,2))在x＝0處取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正態(tài)曲線的性質，當μ肯定時，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，反之越“矮胖”．故選D.3．已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，則P(X≤0)等于()A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84答案A解析由X～N(2，σ2)，得正態(tài)曲線的對稱軸為直線x＝2，如圖所示，可知P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16，故選A.4．設隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，則P(|ξ|<1.96)＝()A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975答案C解析ξ聽從正態(tài)分布N(0,1)，則P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，從而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.5．一批電阻的電阻值X(Ω)聽從正態(tài)分布N(1000,52)，現(xiàn)從甲、乙兩箱出廠成品中各隨機抽取一個電阻，測得電阻值分別為1011Ω和982Ω，可以認為()A．甲、乙兩箱電阻均可出廠B．甲、乙兩箱電阻均不行出廠C．甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不行出廠D．甲箱電阻不行出廠，乙箱電阻可出廠答案C解析∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.∵1011∈(985,1015)，982?(985,1015)，∴甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不行出廠．二、填空題6．設ξ～N(1,4)，那么P(3＜ξ＜5)＝________.答案0.1359解析因為ξ～N(1,4)，所以μ＝1，σ＝2，P(3＜ξ＜5)＝P(－3＜ξ＜－1)，則P(3＜ξ＜5)＝eq\f(1,2)[P(－3＜ξ＜5)－P(－1≤ξ≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4＜ξ＜1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(0.9544－0.6826)＝0.1359.7．若隨機變量ξ～N(10，σ2)，若ξ在(5,10)上的概率等于a，a∈(0,0.5)，則ξ在(－∞，15)上的概率等于______．答案eq\f(1,2)＋a解析P(10<ξ<15)＝a，故P(－∞<ξ≤5)＝eq\f(1,2)(1－2a)＝eq\f(1,2)－a，所以ξ在(－∞，15)的概率等于eq\f(1,2)－a＋a＋a＝eq\f(1,2)＋a.8．某一部件由3個元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設3個電子元件的運用壽命(單位：小時)均聽從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的運用壽命超過1000小時的概率為________．答案eq\f(3,8)解析由題意得，3個電子元件的運用壽命聽從正態(tài)分布N(1000,502)，則每個元件的運用壽命超過1000小時的概率均為eq\f(1,2)，則元件1和2的運用壽命至少有一個超過1000小時的概率為1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，故該部件運用壽命超過1000小時的概率為eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).三、解答題9．在某次數(shù)學考試中，考生的成果X聽從正態(tài)分布X～N(90,100)．(1)試求考試成果X位于區(qū)間(70,110]內(nèi)的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估計考試成果位于區(qū)間(80,100]內(nèi)的考生大約有多少人？解∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ]內(nèi)取值的概率是0.9544，而在該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考試成果X位于區(qū)間(70,110]內(nèi)的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]內(nèi)取值的概率是0.6826，所以考試成果X位于區(qū)間(80,100]內(nèi)的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考試成果在(80,100]內(nèi)的考生大約有2000×0.6826≈1365(人)．10．生產(chǎn)工藝過程中產(chǎn)品的尺寸偏差X(mm)～N(0,22)，假如產(chǎn)品的尺寸與現(xiàn)實的尺寸偏差的肯定值不超過4mm的為合格品，求生產(chǎn)5件產(chǎn)品的合格率不小于80%的概率．(精確到0.001)解由題意X～N(0,22)求得