第17章固定收益證券的久期與凸度計算17.1基本概念固定收益證券也稱為債務證券，是指持券人可以在特定的時間內(nèi)取得固定的收益并預先知道取得收益的數(shù)量和時間，如固定利率債券、優(yōu)先股股票等。固定收益證券能提供固定數(shù)額或根據(jù)固定公式計算出的現(xiàn)金流。雖然同為固定收益證券，但是不同的產(chǎn)品結構和屬性決定了它們不同的風險和收益。按照我國現(xiàn)在已有的固定收益證券的品種，可以把他們簡單地分為4類：①信用風險可以忽略的債券，包括國債、央行票據(jù)、金融債和有擔保企業(yè)債；②無擔保企業(yè)債，包括短期融資券和普通無擔保企業(yè)債；③混合融資證券，包括可轉換債券和分離型可轉換債券；④結構化產(chǎn)品，包括信貸證券化，專項資產(chǎn)管理計劃和不良貸款證券化。1．交易日

交易日（tradedate）就是買賣雙方達成交易的日期。2．結算日

結算日（settlementdate）指買入方支付價格和賣出方交割證券的日期。3．到期日

到期日（maturity）指固定收益證券債務合約終止的日期。4．本金

本金（principal）有時稱面值（parvalue），是指固定收益票面金額。一般情況下，債券的面值為100元。5．票面利率

票面利率（Couponrate）即發(fā)行人支付給持有人的利息，有時也稱名義利率（nominalrate）。

6．月末法則

月末法則（endofmonthruler）指當債券到期日在某月的最后一天，如果該月天數(shù)小于30天，這時有兩種情況：

①到期日在每月固定日期支付；

②票息在每月的最后一天支付。MATLAB默認的是第②種情況。

7．起息日到交割日的天數(shù)

起息日到交割日的天數(shù)(DaysfromCoupontoSettlement,DCS）是指從計息日（含）到交割日（不含）之間的天數(shù)。注意：付息日作為下一個利息期限的第一天而不計入DCS。8．交割日距離到期日的天數(shù)

交割日距離到期日的天數(shù)(DaysfromSettlementtoMaturity,DSM）:其一般規(guī)則是包括交割日而不包括到期日。這樣買方有動力盡早交易，獲得當天收益；賣方在交割當天就獲得資金的使用權。17.2價格與收益率的計算17.2.1

計算公式1．一次還本付息債券的定價公式債券的價格等于來自債券的預期貨幣收入按某個利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值。在確定債券價格時，需要估計預期貨幣收入和投資者要求的適當收益率（稱必要收益率）。對于一次還本付息的債券來說，其預期貨幣收入是期末一次性支付的利息和本金，必要收益率可參照可比債券得出。如果一次還本付息債券按復利計息、按復利貼現(xiàn)，其價格決定公式為式中：P為債券的價格；M為票面價值；i為每期利率；

n為剩余時期數(shù)；r為必要收益率。2．附息債券的定價公式對于按期付息的債券來說，其預期貨幣收入有兩個來源：到期日前定期支付的息票利息和票面額。其必要收益率也可參照可比債券確定。為清楚起見，下面分別以一年付息一次和半年付息一次的附息債券為例，說明附息債券的定價公式。對于一年付息一次的債券來說，按復利貼現(xiàn)的價格決定公式為式中：P為債券的價格；C為每年支付的利息；M為票面價值；n為所余年數(shù)；r為必要收益率；t為第t次。3.期收益率一般地講，債券收益率有多種形式，以下僅簡要介紹債券的內(nèi)部到期收益率的計算。內(nèi)部到期收益率在投資學中被定義為把未來的投資收益折算成現(xiàn)值使之成為購買價格或初始投資額的貼現(xiàn)率。對于一年付息一次的債券來說，可用下列公式得出到期收益率。式中：P為債券價格；C為每年利息收益；F為到期價值；n為時期數(shù)（年數(shù)）；Y為到期收益率。17.2.2

債券定價計算1．bndprice函數(shù)MATLAB的FinancialToolbox提供計算債券價格的bndprice函數(shù)。函數(shù)語法：［Price,AccruedInt］=bndprice(Yield,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis,EndMonthRule,IssueDate,FirstCouponDate,LastCouponDate,StartDate,Face)輸入?yún)?shù)：Yield:半年為基礎的到期收益。CouponRate:分紅利率。Settle:結算日期，時間向量或字符串，必須小于等于到期日。Maturity:到期日,日期向量。Period:(選擇項)，年分紅次數(shù)，默認值2，可為0、1、2、3、4、6、12。Basis:(選擇項)，債券的天數(shù)計算法。EndMonthRule:(可選項)月末規(guī)則，應用在到期日是在小于等于30天的月份。0代表債券的紅利發(fā)放日總是固定的一天，默認1代表是在實際的每個月末。IssueDate:(可選項)發(fā)行日期。FirstCouponDate:(可選項)第一次分紅日。當FirstCouponDate和LastCouponDate同時出現(xiàn)時，F(xiàn)irstCouponDate優(yōu)先決定紅利發(fā)放結構。LastCouponDate:(可選項)到期日的最后一次紅利發(fā)放日。當FirstCouponDate沒標明時，LastCouponDate決定紅利發(fā)放結構。紅利發(fā)放結構無論LastCouponDate是何時，都以其為準，并且緊接著債權到期日。StartDate:(可選項)債權實際起始日（現(xiàn)金流起始日）。當預計未來的工具時，用它標明未來的日期，如果沒有特別說明StartDate，起始日是settlementdate。Face:(面值)默認值是100元。輸出參數(shù)：Price：價格（凈價），全價=凈價+結算日利息。AccruedInt：結算日的利息。2.prdisc函數(shù)MATLAB的FinancialToolbox提供計算折價債券價格的prdisc函數(shù)。函數(shù)語法：Price=prdisc(Settle,Maturity,Face,Discount,Basis)輸入?yún)?shù)Settle：作為序列時間號或日期串進入，必須早于或等于到期日；Maturity：作為日期串進入；Face：票面價值；Discount：債券的銀行折現(xiàn)率，是分數(shù)；Basis：計算日期的基礎。輸出參數(shù)：Price：價格（凈價）。17.2.3

債券定價計算MATLAB的FinancialToolbox提供固定利率債券的到期收益率的bndyield函數(shù)，函數(shù)語法為：Yield=bndyield(Price,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis,EndMonthRule,IssueDate,FirstCouponDate,LastCouponDate,StartDate,Face)輸入?yún)?shù)：Price：債券凈價，全價=凈價+結算利息。CouponRate：分紅利率或票面利率。Settle：結算日期。時間向量或字符串，必須小于等于到期日。Maturity：到期日,日期向量。Period：（選擇項）年分紅次數(shù)，默認值2,可為0、1、2、3、4、6、12。Basis：（選擇項）債券的天數(shù)計算法。默認值為0（實際值／實際值），可為1（30/360）、2（實際值/360）、3（實際值/365）。EndMonthRule：（可選項）月末規(guī)則，應用在到期日實際小于等于30天的月份。0代表債券的紅利發(fā)放日總是固定的一天，默認1代表是在實際的每個月末。

IssueDate：（可選項）債券發(fā)行日期。FirstCouponDate：（可選項）第一次分紅日。當FirstCouponDate和LastCouponDate同時出現(xiàn)時，F(xiàn)irstCouponDate優(yōu)先決定紅利發(fā)放結構。LastCouponDate：（可選項）到期日的最后一次紅利發(fā)放日。當FirstCouponDate沒標明時，LastCuponDate決定紅利發(fā)放結構。紅利發(fā)放結構無論LastCouponDate是何時，都以其為準，并且緊接著債權到期日。StartDate：（可選項）債權實際起始日（現(xiàn)金流起始日）。當預計未來的工具時，用它標明是個未來的日期，如果沒有特別說明StarDate,起始日是settlementdate。Face：（可選項）面值。默認值是100元。輸出參數(shù)：Yield：到期收益率。17.3久期與凸度的計算17.3.1

債券久期計算久期的概念最早是麥考利(Macaulay)在1938年提出來的，所以又稱麥考利久期（簡記為D）。麥考利久期是使用加權平均數(shù)的形式計算債券的平均到期時間。它是債券在未來產(chǎn)生現(xiàn)金流的時間的加權平均，其權重是各期現(xiàn)金值在債券價格中所占的比重。具體的計算將每次債券現(xiàn)金流的現(xiàn)值除以債券價格，得到每一期現(xiàn)金支付的權重，并將每一次現(xiàn)金流的時間同對應的權重相乘,最終合計出整個債券的久期。

式中：D是麥考利久期；B是債券當前的市場價格；PV（ct）是債券未來第t期現(xiàn)金流（利息或資本）的現(xiàn)值；T是債券的到期時間。需要指出的是在債券發(fā)行時以及發(fā)行后，都可以計算麥考利久期。計算發(fā)行時的麥考利久期，T（到期時間）等于債券的期限；計算發(fā)行后的麥考利久期，T（到期時間）小于債券的期限。麥考利久期與債券價格的關系，對于給定的收益率變動幅度，麥考利久期越大，債券價格的波動幅度越大。

式中：P為債券價格；ΔP為債券價格變化；Y為到期收益率；ΔY為到期收益率變化；D為債券久期。到期時間、息票率、到期收益率是決定債券價格的關鍵因素，與久期存在以下的關系：①零息票債券的久期等于它的到期時間；②到期日不變,債券的久期隨息票據(jù)利率的降低而延長；③息票據(jù)利率不變,債券的久期隨到期時間的增加而增加；④其他因素不變,債券的到期收益率較低時,息票債券的久期較長。17.3.2

債券凸度計算凸度是指在某一到期收益率下,到期收益率發(fā)生變動而引起的價格變動幅度的變動程度。凸度是對債券價格曲線彎曲程度的一種度量。凸度越大,債券價格曲線彎曲程度越大,用修正久期度量債券的利率風險所產(chǎn)生的誤差越大。

凸度的性質(zhì)有：①凸度隨久期的增加而增加。若收益率、久期不變，票面利率越大，凸度越大。利率下降時，凸度增加；②對于沒有隱含期權的債券來說，凸度總大于0，即利率下降，債券價格將以加速度上升；當利率上升時，債券價格以減速度下降；③含有隱含期權的債券的凸度一般為負，即價格隨著利率的下降以減速度上升，或債券的有效持續(xù)期隨利率的下降而縮短，隨利率的上升而延長。因為利率下降時買入期權的可能性增加