試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題?強(qiáng)基計(jì)劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】專題04向量真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國競(jìng)賽+強(qiáng)基計(jì)劃專用）一、單選題1．（2020·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）在中，．點(diǎn)P滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得P為的費(fèi)馬點(diǎn)，如圖，以為邊作等邊三角形，可證，故可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】根據(jù)題意，方向上的單位向量之和為零向量，因此，進(jìn)而P為的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖，以為邊作等邊三角形，則，故四點(diǎn)共圓，故，故，故，同理，，因此所有選項(xiàng)均正確．故選：ABCD.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正方形所在平面上一點(diǎn)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題中的式子列出方程，由點(diǎn)的幾何意義即可求得的最小值.【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，’設(shè)，則，，，，由題意知：，即，點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，又表示圓上的點(diǎn)到的距離，.故選A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，利用點(diǎn)的幾何意義進(jìn)行解答.3．（2020·浙江溫州·高一統(tǒng)考競(jìng)賽）已知單位向量，的夾角為60°，向量，且，，設(shè)向量與的夾角為，則的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意有，則．又因?yàn)?，所以，所以．故選：C.二、多選題4．（2020·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）設(shè)平面向量滿足，且，則的（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為0 D．最小值為【答案】AC【分析】利用柯西不等式可求的最大值，利用特例可求的最小值.【詳解】首先，取，則可以取，因此的最小值為0．接下來，考慮，于是，等號(hào)當(dāng)且時(shí)取得，因此所求最大值為．故選：AC.三、填空題5．（2021·全國·高三競(jìng)賽）已知向量，則的最大值是___________．【答案】5【詳解】，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故答案為：5.6．（2021·全國·高三競(jìng)賽）已知兩個(gè)非零向量滿足，則的最大值是_____．【答案】【詳解】設(shè)，則．則：.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．即最大值為.故答案為：.7．（2021·全國·高三競(jìng)賽）中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，O是的外心，點(diǎn)P滿足，若，且，則的面積為_________．【答案】【詳解】由，得，即．注意到，所以．同理，，所以P是的垂心，，所以，，所以．故答案為：.8．（2021·全國·高三競(jìng)賽）已知平面單位向量，且，記，則y的最大值為________．【答案】4【詳解】單位向量滿足，則有，不妨設(shè)四個(gè)向量如圖所示，分別為，X在單位圓O的上．設(shè)，則有，故有，即有，故．故答案為：4.9．（2021·全國·高三競(jìng)賽）已知點(diǎn)A滿足，B、C是單位圓O上的任意兩點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】.又，取等可以保證，故所求范圍為．故答案為：.10．（2020·浙江·高三競(jìng)賽）已知，為非零向量，且，則的最大值為__________.【答案】.【詳解】解法一

設(shè)，，則.解法二

設(shè)，則，且，所以.故答案為：.11．（2022春·浙江·高一校聯(lián)考競(jìng)賽）設(shè)平面向量，，滿足，，，.若，則____________.【答案】【詳解】如圖所示，作，，，由題意得，，設(shè)直線OC與直線AB交于點(diǎn)P.因?yàn)?，故點(diǎn)P在線段AB上（不含端點(diǎn)），又，結(jié)合等和線性質(zhì)可知，作于G，于H，有，，記，①當(dāng)點(diǎn)G在線段AB上時(shí)，，，由，得，可解得，進(jìn)而有，此時(shí)，，.點(diǎn)為線段AH的中點(diǎn)，在線段AB上，符合題意，可得，所以.②當(dāng)點(diǎn)G在線段AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，同①方法可推得點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，矛盾.綜上所述，.故答案為：.12．（2018·河北·高二競(jìng)賽）在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=1，動(dòng)點(diǎn)P在邊CD上.設(shè)，，則的最大值為________.【答案】-3【詳解】因?yàn)?，所以問題轉(zhuǎn)化為求的最小值.由等面積法可得.所以.當(dāng)，即時(shí)，所求最大值為-3.13．（2019·河南·高二校聯(lián)考競(jìng)賽）在平面上，，，，若，則的取值范圍是________.【答案】【分析】根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)出、、、的坐標(biāo),由及可得關(guān)于O點(diǎn)坐標(biāo)的不等式組,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式即可表示出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?則為矩形,以所在直線為軸,以為軸建立平面直角坐標(biāo)系.如下圖所示:設(shè),則,,,因?yàn)樗宰冃慰傻靡驗(yàn)?即由以上兩式可得即因?yàn)?即所以則綜上可知因?yàn)樗?即故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量在坐標(biāo)系中的綜合應(yīng)用,向量的加法運(yùn)算與向量的模長(zhǎng),通過建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)研究向量關(guān)系是常見方法,屬于中檔題.14．（2022·浙江·高二競(jìng)賽）已知平面向量，，滿足，且，則最大值為______.【答案】6【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故答案為：6.15．（2022·福建·高二統(tǒng)考競(jìng)賽）如圖，點(diǎn)M?N分別在△ABC的邊AB?AC上，且，，D為線段BC的中點(diǎn)，G為線段MN與AD的交點(diǎn).若，則的最小值為___________.【答案】【詳解】依題意有：，因?yàn)镸?G?N三點(diǎn)共線，所以，所以，由柯西不等式知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.16．（2022·貴州·高二統(tǒng)考競(jìng)賽）甲烷分子的四個(gè)氫原子位于棱長(zhǎng)為1的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，碳原子C位于四面體的中心，記四個(gè)氫原子分別為，，，，則_____．【答案】【詳解】在面的射影為，，則，∴，又，∴，即，∴，∴，所以，故答案為：.17．（2018·山東·高三競(jìng)賽）在中，，的平分線交于，且有．若，則______．【答案】

【詳解】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由題設(shè)，所以，，．因此，所以，，因此．所以．由此得．18．（2019·重慶·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）已知向量滿足，且，若為的夾角，則_______.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?又因?yàn)閗∈Z+，所以k=2，所以.故答案為：．19．（2019·廣西·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）已知點(diǎn)P(－2，5)在圓上，直線l：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，則____________.【答案】【詳解】由已知求得圓C：(x－1)2+(y－1)2=52到直線l的距離為3，從而.所以.故答案為：．20．（2020春·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，滿足，若，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由已知條件變形得到，通過等價(jià)變形把表示為的函數(shù)，根據(jù)的范圍即可求出的取值范圍.【詳解】解：，所以..因?yàn)椋?所以，則的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的化簡(jiǎn)變形及函數(shù)的值域計(jì)算，關(guān)鍵在于向量等式的等價(jià)變形，屬于中檔題.21．（2021·全國·高三競(jìng)賽）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，且．若點(diǎn)滿足與共線，，則的值為_________．【答案】或【詳解】因?yàn)?，所以，即．因?yàn)榕c共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得．因?yàn)?，所以，從而，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，即，解得或．因此或．故答案為：?22．（2021·全國·高三競(jìng)賽）設(shè)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，若的面積為1，則的面積為__________.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，即，記的中點(diǎn)為M，于是，因此.故答案為：.23．（2021·全國·高三競(jìng)賽）已知為三內(nèi)角，向量.如果當(dāng)最大時(shí)，存在動(dòng)點(diǎn)，使得成等差數(shù)列，則最大值為________.【答案】【詳解】，，等號(hào)成立僅當(dāng).令，因，所以是橢圓上的動(dòng)點(diǎn).故點(diǎn)，設(shè)，則：，.當(dāng)時(shí)，.即.故答案為：.24．（2022·江蘇南京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知向量，，滿足，，，且，則最小值為___________.【答案】【詳解】依題意得：，設(shè)，所以，如圖將，放入平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，OC中點(diǎn)為B，則，，，畫圖可知：的終點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，可得圓心坐標(biāo)，，∴，故答案為：.25．（2021·全國·高三競(jìng)賽）已知平面向量??，滿足，若，那么的最小值為___________.【答案】##【分析】設(shè)，則即為點(diǎn)到點(diǎn)（圓上的動(dòng)點(diǎn)）的距離與到點(diǎn)的距離，利用對(duì)稱可求其最小值.【詳解】解析：建立直角坐標(biāo)系.設(shè)，則.問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小，其中點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以.點(diǎn)O關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，所以，等號(hào)可以取到，所以最小值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：向量的模的最值問題，可建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到幾何對(duì)象的距離和最值的問題.26．（2019·福建·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）已知為△ABC的內(nèi)心，且.記R?r分別為△ABC的外接圓?內(nèi)切圓半徑，若，則R=____________.【答案】32【詳解】解法一：如圖，取BC的中點(diǎn)D，依題意，有.所以A?I?D三點(diǎn)共線，AB=AC.由r=ID=15，知IA=24.作IE⊥AB于E，則IE=ID=15，.所以.又.所以.解法二：依題意，有.由三角形內(nèi)心的向量表示：若a?b?c分別為△ABC的內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊，I為△ABC的內(nèi)心，則.可得，a：b：c=5：4：4，設(shè)a=10k，則b=c=8k.作AD⊥BC于D，則，.又r=15，，因此，.又，所以.故答案為：32．27．（2019·貴州·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）在△ABC中，.則____________.【答案】【詳解】設(shè)△ABC中角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.由，知G為△ABC的重心.又GA⊥GB，所以.得到.故：.故答案為：．28．（2021·全國·高三競(jìng)賽）已知三個(gè)非零向量、、，滿足（其中為給定的正常數(shù)）．則實(shí)數(shù)t的最小值為___________．【答案】【分析】應(yīng)用及求和的輪換關(guān)系得到，再分類討論即可得解.【詳解】，所以．故．假設(shè)，則．故，所以，這與、為非零向量矛盾．從而．又，所以，當(dāng)兩兩同向且模均為時(shí)等號(hào)成立．故．故答案為：四、解答題29．（2020·浙江溫州·高一統(tǒng)考競(jìng)賽）若平面上的點(diǎn)滿足．（1）求的最大值；（2）設(shè)向量,,定義運(yùn)算．若,求的取值范圍．(其中О為坐標(biāo)原點(diǎn))【答