試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數(shù)學(xué)競賽真題?強(qiáng)基計(jì)劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】專題13數(shù)學(xué)歸納法真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國競賽+強(qiáng)基計(jì)劃專用）一、填空題1．（2019·全國·高三競賽）在數(shù)列中，，，其中，[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).則=_______.2．（2019·全國·高三競賽）已知實(shí)數(shù)列定義為，.設(shè).則中有______個(gè)完全平方數(shù).二、解答題3．（2021·全國·高三競賽）數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式．4．（2021·全國·高三競賽）求所有的函數(shù)，滿足，且對于所有整數(shù)，有.5．（2021·全國·高三競賽）已知.證明：當(dāng)時(shí)，.6．（2018·全國·高三競賽）設(shè)，求證:（1）;（2）．7．（2018·全國·高三競賽）設(shè)個(gè)實(shí)數(shù)；滿足條件（1）；（2），；（3），.求證：.8．（2019·全國·高三競賽）設(shè)數(shù)列滿足,,.證明:對任意的,.9．（2018·全國·高三競賽）若百位數(shù)字為9的位自然數(shù)的各位數(shù)字之和為，其中，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，是多少？10．（2019·全國·高三競賽）求證：數(shù)列的每一項(xiàng)都是整數(shù)，但都不是3的倍數(shù).11．（2019·全國·高三競賽）設(shè)數(shù)列滿足，，試求．12．（2018·全國·高三競賽）已知數(shù)列滿足，且對所有正整數(shù)有.求證：存在正整數(shù)，使得.13．（2021·全國·高三競賽）給定正整數(shù)m、k，有n個(gè)選手參加一次測試，該測試由m個(gè)項(xiàng)目構(gòu)成，每個(gè)項(xiàng)目完成后都會取得一個(gè)評分，沒有兩個(gè)人在一個(gè)項(xiàng)目取得相同的評分．求n的最小值，使得總存在k個(gè)選手，在第j個(gè)項(xiàng)目中的k個(gè)得分要么單調(diào)遞增，要么單調(diào)遞減，．14．（2018·全國·高三競賽）正整數(shù)數(shù)列滿足：（1）求；（2）求最小的正整數(shù)，使得．15．（2018·全國·高三競賽）給定兩個(gè)數(shù)列，滿足，;，，證明：對任意的可表為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．16．（2021·全國·高三競賽）設(shè)和為兩組復(fù)數(shù)，滿足：．求證：存在數(shù)組（其中），使得．17．（2021·全國·高三競賽）已知n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)和為1．求證：．18．（2021·全國·高三競賽）設(shè)數(shù)列滿足.求證：.19．（2018·全國·高三競賽）定義在正整數(shù)集上，且滿足，.求證：對所有整數(shù)，有.20．（2021·全國·高三競賽）給定正整數(shù)．求最大的實(shí)數(shù)．使得對任意正實(shí)數(shù)恒成立，其中．21．（2018·全國·高三競賽）數(shù)列滿足：，.求證：對一切，均有.其中表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，是斐波那契數(shù)列：.22．（2018·全國·高三競賽）已知數(shù)列．求證：．23．（2018·全國·高三競賽）給定正整數(shù)，對于正整數(shù)，集合.集族滿足如下條件：（1）的每個(gè)集合都是的元子集；（2）中的任意兩個(gè)集合至多有一個(gè)公共元素；（3）的任意一個(gè)元素恰出現(xiàn)在中的兩個(gè)集合中.試求的最大值.24．（2018·全國·高三競賽）奧運(yùn)會排球預(yù)選賽有支球隊(duì)參加，其中每兩隊(duì)比賽一場，每場比賽必決出勝負(fù)．如果其中有支球隊(duì)滿足：勝，勝，勝，勝，則稱這支球隊(duì)組成一個(gè)“階連環(huán)套”．證明：若全部支球隊(duì)組成一個(gè)階連環(huán)套，則對于每個(gè)及每支球隊(duì)，必與另外某些球隊(duì)組成一個(gè)階連環(huán)套．25．（2019·全國·高三競賽）求滿足下列條件的最小正整數(shù)t，對于任何凸n邊形，只要，就一定存在三點(diǎn)，使的面積不大于凸n邊形面積的.26．（2019·全國·高三競賽）正整數(shù)數(shù)列滿足：，．試求通項(xiàng)公式．27．（2019·全國·高三競賽）設(shè)是定義在自然數(shù)集合上并在上取值的函數(shù),滿足:對任何兩個(gè)不相等的自然數(shù),有.(1)求;(2)假設(shè)是100個(gè)兩兩不相等的自然數(shù),求;(3)是否存在符合題設(shè)條件的函數(shù),使,證明你的結(jié)論.28．（2018·全國·高三競賽）設(shè)，其中，b為正奇數(shù).定義數(shù)列滿足，.若正整數(shù)，使得為素?cái)?shù).證明：.29．（2019·全國·高三競賽）求證:存在唯一的正整數(shù)數(shù)列，使得，.30．（2022·浙江杭州·高三學(xué)軍中學(xué)?？几傎悾┪覀兎Q為“花式集合”，如果它滿足如下三個(gè)條