高中PAGE1試題2023北京北師大實驗中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)班級__________姓名__________學(xué)號__________成績__________考生須知1.本試卷共4頁，共五道大題，24道小題，答題卡共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2.在試卷和答題卡上準確填寫班級、姓名、學(xué)號.3.試卷答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4.在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項涂黑涂滿，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.第Ⅰ卷（共100分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.下列各角中，與角終邊相同的是（）A. B. C. D.2.在中，A為鈍角，則點（）A.在第一象限 B.在第二象限C.在第三象限 D.在第四象限3.已知，且角，的終邊關(guān)于軸對稱，則（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為（）A.2 B.1 C. D.5.下列函數(shù)中，周期為的偶函數(shù)為（）A. B. C. D.6.如果角的終邊在直線上，則（）A. B. C. D.7.若將函數(shù)的圖像先向左平移個單位長度，再保持縱坐標不變，并將圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖像的對稱中心可能是（）A. B. C. D.8.如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標系，設(shè)秒針尖位置p（x，y）．若初始位置為，當秒針從P0（注此時t=0）正常開始走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關(guān)系為（）A.y=sin B.y=sinC.y=sin D.y=sin二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）9.已知向量，.若，則__________.10.已知圓的半徑為2，則的圓心角所對的弧長為______.11.已知是方程的兩根，則等于__________.12.設(shè)向量，的夾角為，且，，則__________.13.已知函數(shù)，若對任意都有（c為常數(shù)），則常數(shù)m的一個取值為_________．14.關(guān)于函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的最小值是1；③函數(shù)的最大值是；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中全部正確結(jié)論的序號是__________.三、解答題（本大題共3小題，共30分）15.已知角的終邊過點，且.（1）求，，的值；（2）求，的值.16.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在上無零點，求的取值范圍.17.已知同時滿足下列四個條件中的三個：①；②的圖像可以由的圖像平移得到；③相鄰兩條對稱軸之間的距離為；④最大值為.（1）請直接指出這三個條件，并求出的解析式；（2）若曲線的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，求的取值范圍.第Ⅱ卷（共50分）四、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）18.在平面直角坐標系中，角以為始邊，它的終邊與以原點為圓心的單位圓交于點，則______．19.梯形中，，，，，點在線段上運動.（1）當點與點重合時，__________.（2）的最小值是__________.20.已知點，是函數(shù)圖像上的任意兩點，角的終邊經(jīng)過點，且當時，的最小值為.又對任意，不等式恒成立，則__________，實數(shù)的取值范圍是__________.21.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，給出下列四個結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是__________.①在區(qū)間上有且僅有個不同的零點；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增.五、解答題（本大題共3小題，共30分）22.已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）若函數(shù)在上有兩個不同的零點，請直接寫出實數(shù)的取值范圍（不需過程）.23.在平面直角坐標系中，為坐標原點，、、三點滿足.（1）已知，，求；（2）已知，，，的最小值為，求實數(shù)的值.24.已知函數(shù)的定義域為區(qū)間D，若對于給定的非零實數(shù)m，存在，使得，則稱函數(shù)在區(qū)間D上具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，求n的取值范圍；（3）已知函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且，求證：函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).

參考答案第Ⅰ卷（共100分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.【答案】D【解析】【分析】寫出與終邊相同角的集合，取k值得答案.【詳解】與角終邊相同的角的集合為，取，可得.∴與角終邊相同的是.故選：D【點睛】本小題主要考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.2.【答案】B【解析】【分析】先判斷的正負，即可求解【詳解】在中，A為鈍角，則B為銳角，則，則點在第二象限，故選：B3.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)對稱性，求的關(guān)系，根據(jù)誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】因為角，的終邊關(guān)于軸對稱，所以，，即，.故選：B4.【答案】C【解析】【分析】由圖象分析函數(shù)的周期，求得的值.【詳解】因為，，由圖象可知，函數(shù)的半周期是，所以，得.故選：C5.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的周期公式及二倍角的余弦公式,結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】對于A，，由題意可知，的定義域為,，所以為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，，由題意可知，的定義域為,，所以為偶函數(shù)，故D正確.故選：D.6.【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】因為角的終邊在直線上，所以.所以.故選：B.7.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】將函數(shù)的圖像先向左平移個單位長度得到，再將保持縱坐標不變，圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得到，令，，解得，，所以函數(shù)的對稱中心為，，故符合題意的有.故選：A8.【答案】C【解析】【分析】先確定函數(shù)的周期，再假設(shè)函數(shù)的解析式，進而結(jié)合待定系數(shù)法可求函數(shù)的解析式，注意秒針是順時針走動．【詳解】解：由題意，函數(shù)的周期為，設(shè)函數(shù)解析式為（因為秒針是順時針走動），初始位置為，，時，，，可取，函數(shù)解析式為故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）9.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的條件及數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】因為，，且，所以，解得.故答案為：.10.已知圓的半徑為2，則的圓心角所對的弧長為______.【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合弧長公式即可直接求解【詳解】由弧長公式可得.故答案為：【點睛】本小題主要考查弧長公式，屬于基礎(chǔ)題.11.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意知是方程的兩根，可得，所以.故答案為：.12.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】因為向量，的夾角為，且，，所以，所以.

故答案為：13.【答案】（答案不唯一，只要是即可）【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的對稱性得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求出都可滿足條件.【詳解】函數(shù)中心對稱點都在x軸上，所以，所以對任意恒成立，，所以，故利用誘導(dǎo)公式得都可滿足條件.故答案為：（答案不唯一，只要是即可）【點睛】正弦函數(shù)的奇偶性，對稱性，周期性，單調(diào)性及誘導(dǎo)公式等等是我們必備的基礎(chǔ)知識，做題時經(jīng)常用到.14.【答案】①②③【解析】【分析】首先把三角函數(shù)變形成的形式，進而逐一分析三個結(jié)論的真假，可得答案.【詳解】函數(shù)，則，且，函數(shù)圖象如下所示：所以函數(shù)的最小正周期為，故①正確；故當時，函數(shù)的最小值為，故②正確；當時，函數(shù)取最大值，故③正確；當時，，因為在上不單調(diào)，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故④錯誤；故答案為：①②③三、解答題（本大題共3小題，共30分）15.【答案】（1）；；.（2）；.【解析】【分析】（1）利用余弦函數(shù)在各象限的符號及三角函數(shù)的定義即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及二倍角的余弦公式，利用兩角和的正弦公式及三角函數(shù)的特殊值即可求解.【小問1詳解】因為角的終邊過點，且，所以是第二象限角,且.所以，解得或（舍）.所以,所以，.【小問2詳解】由（1）知，，又因為，所以，.16.【答案】（1）最小正周期為；單調(diào)遞減區(qū)間，；（2）【解析】【分析】（1）首先化簡函數(shù)，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果求在區(qū)間的范圍，根據(jù)函數(shù)無零點，求的取值范圍.【小問1詳解】，則函數(shù)的最小正周期,令，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，；【小問2詳解】，當時，因為函數(shù)在上無零點，所以，解得：.17.【答案】（1）①③④，（2）【解析】【分析】（1）先分析②③④成立時的情況，然后推出矛盾即可確定出滿足的三個條件；（2）先根據(jù)（1）求解出的解析式，然后采用整體替換的方法求解出的對稱軸方程，然后對進行賦值，確定出在區(qū)間上僅有一條對稱軸時的取值范圍.【小問1詳解】三個條件是：①③④，理由如下：若滿足②：因為，所以，；若滿足③：因為，所以，所以，若滿足④：，由此可知：若滿足②，則③④均不滿足，所以滿足的三個條件是：①③④；由③④知，由①知，所以，所以，所以或，所以或，又因為，所以，所以，【小問2詳解】由（1）可知，不妨令，所以，當時，；當時，；當時，，所以若要的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，只需,所以的取值范圍是.第Ⅱ卷（共50分）四、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）18.【答案】##0.6【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)定義求得，再使用誘導(dǎo)公式進行求解.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，由誘導(dǎo)公式得：.故答案為：19.【答案】①.0②.##【解析】【分析】（1）建立平面直角坐標系，利用向量數(shù)量積的坐標表示，即可求解；（2）根據(jù)是等腰直角三角形，設(shè)出點的坐標，利用數(shù)量積的坐標表示，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.【詳解】（1）如圖，以點為原點，建立平面直角坐標系，當點與點重合時，，，，，，，；（2）由（1）可知，是等腰直角三角形，設(shè)，，，，當時，的最小值是.故答案為：；.20.【答案】①.②.【解析】【分析】由的終邊上的點可求出的值，再由題可得，即可求出，可得解析式；根據(jù)可得的范圍，不等式化為，求出的最大值即可.【詳解】角的終邊經(jīng)過點，所以，又，所以，因為當時，的最小值為，所以，即，所以，可得，當時，，，所以，所以，于是即為，由，，，所以，得的最大值為，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.21.【答案】②③【解析】【分析】首先通過在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，求出的范圍，再依次對各項進行辨析即可.【詳解】∵，∴當時，，∵正弦函數(shù)的對稱軸為直線，，∴當，，，，時，的對稱軸分別為直線，，，，，∴若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，則，解得，故③正確；對于①，當時，，∵，∴，∵正弦函數(shù)的對稱中心為點，時，∴當，，，時，的對稱中心分別為點，，，，∴當，即時，有且僅有個對稱中心，當，即時，有且僅有個對稱中心，故①錯誤；對于②，若的最小正周期，則，故②正確；對于④，當時，，又∵，∴，∵正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴當，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當，即時，在區(qū)間上不單調(diào)，故④錯誤．故答案為：②③.【點睛】方法點睛：本題的取值并不是一個特定的值，而是一個范圍，故應(yīng)首先由已知條件解決的取值范圍，判斷③，再由的取值范圍，使用整體代換思想，對其他項進行辨析.五、解答題（本大題共3小題，共30分）22.【答案】（1）最大值，最小值.（2）【解析】【分析】（1）使用二倍角公式（降冪公式）和輔助角公式化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個不同的交點解決即可.【小問1詳解】由已知，，當時，，∴當，即時，，有最大值，當，即時，，有最小值.∴在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【小問2詳解】由第（1）問，，在上有兩個不同的零點，即方程在上有兩個不相等的實數(shù)解，令，∵，∴，∴方程即，在上有兩個不相等的實數(shù)解，∴函數(shù)的圖象與直線在上有兩個交點，如圖所示.∴實數(shù)的取值范圍是.23.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先求出，，的坐標，再坐標法求出數(shù)量積與模，即可得解；（2）首先求出、，則，再令，，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到方程，解得即可.【小問1詳解】因為，，所以，，，又，所以，所以，，，所以.【小問2詳解】因為，，,所以，，故，，從而，即，，依題意，令，，令，，則對稱軸為，①當≤，即時，當時，，由，得，解得或，又，所以；②當>，即時，當時，，由，得，解得，又，所以．綜上所述：的值為或．24.【答案】（1）具有性質(zhì)，理由見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題可得，則，結(jié)合條件即得；（2）由，解得，，可得，即得；（3）設(shè)，，可得，當、、、、、中有一個為0時，可得，，即證；當、、、、、中均不為0時，由于其和為0，則其中必存在正數(shù)和負數(shù)，不妨設(shè)，，結(jié)合條件可知，存在，，即證.【小問1詳解】函數(shù)在上具有性質(zhì).若，則，因為，且，所以函數(shù)在上具有性質(zhì).【小問2詳解】解法1：由題意，存在，使得，得（舍）或，則得.因為