第01講認(rèn)識(shí)分式【題型1分式的定義】【題型2分式的有無意義的滿足條件】【題型3分式值為零的滿足條件】【題型4分式的性質(zhì)】【題型5分式的約分】

【題型6最簡(jiǎn)分式】

【題型7最簡(jiǎn)公分母】

【題型8分式的通分】

【題型9列代數(shù)式（分式）】【題型10分式的值】知識(shí)點(diǎn)1：分式相關(guān)概念1.定義：一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒有公因式的分式；分式有意義的條件：B≠0；分式值為0的條件：分子=0且分母≠0【題型1分式的定義】【典例1】（2023秋?祁陽縣期中）代數(shù)式2x，，a+，，中分式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解答】解：2x，，a+，中分母中都不含字母，都是整式，不是分式，分母中含有字母，是分式，所以分式的個(gè)數(shù)是1．故選：A．【變式1-1】（2023秋?興賓區(qū)期中）下列代數(shù)式中，是分式的是（）A． B． C． D．x﹣1【答案】C【解答】解：A、是單項(xiàng)式，屬于整式，故選項(xiàng)不符合題意；B、是多項(xiàng)式，屬于整式，故選項(xiàng)不符合題意；C、是分式，故選項(xiàng)符合題意；D、x﹣1是多項(xiàng)式，屬于整式，故選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式1-2】（2023秋?覃塘區(qū)期中）下列各式，，，，，中，分式的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：分式的有：，，共3個(gè)．故選：A．【題型2分式的有無意義的滿足條件】【典例2】（2023秋?晉州市期中）要使分式有意義，則x應(yīng)滿足（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x＝1【答案】C【解答】解：∵分式有意義，∴1﹣x≠0，解得x≠1．故選：C．【變式2-1】（2022秋?海豐縣期末）要使分式有意義，x應(yīng)滿足的條件是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x＝﹣3【答案】C【解答】解：由題意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3，故選：C．【變式2-2】（2022秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）若代數(shù)式無意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．x＝3 B．x≠3 C．x≠0 D．x＝0【答案】A【解答】解：∵代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義，∴3﹣x＝0，解得x＝3．故選：A．【變式2-3】（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）分式中x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≠﹣2 C． D．【答案】D【解答】解：∵分式有意義，∴2x﹣1≠0，∴x≠．故選：D．【題型3分式值為零的滿足條件】【典例3】（2022秋?上海期末）如果分式的值為零，那么x等于（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【答案】B【解答】解：∵的值為零，∴|x|﹣2＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2．故選：B．【變式3-1】（2023春?河源期末）分式的值是零，則x的值為（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0【答案】B【解答】解：∵分式的值是零，∴，解得x＝﹣3．故選：B．【變式3-2】（2022秋?廉江市期末）如果分式的值等于0，那么（）A．x＝±2 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x≠2【答案】C【解答】解：根據(jù)題意得：，解得：x＝﹣2．故選：C知識(shí)點(diǎn)2：分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.注意：基本性質(zhì)中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強(qiáng)調(diào)；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，必須重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)M≠0這個(gè)前提條件.在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式變形時(shí)，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.知識(shí)點(diǎn)3：分式的變號(hào)法則對(duì)于分式中的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變；改變其中任何一個(gè)或三個(gè)，分式成為原分式的相反數(shù).注意：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號(hào)法則有.分式與互為相反數(shù).分式的符號(hào)法則在以后關(guān)于分式的運(yùn)算中起著重要的作用.【題型4分式的性質(zhì)】【典例4-1】（2023秋?長(zhǎng)安區(qū)期中）下列等式從左到右變形正確的是（）A．＝x B．＝1 C．＝﹣1 D．＝【答案】C【解答】解：A．＝，故本選項(xiàng)不符合題意；B．＝1+，故本選項(xiàng)不符合題意；C．＝＝﹣1，故本選項(xiàng)符合題意；D．≠，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【典例4-2】（2023秋?祁陽縣期中）分式中的x、y的值都擴(kuò)大到原來的10倍，則分式的值為（）A．?dāng)U大為原來10倍 B．不變 C．縮小為原來的 D．縮小為原來的【答案】C【解答】解：分式中的x、y都擴(kuò)大到原來的10倍后為：＝，÷＝，即縮小為原來的．故選：C．【變式4-1】（2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）下列式子從左到右變形正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、≠，故A不符合題意；B、＝1，故B不符合題意；C、≠，故C不符合題意；D、＝＝，故D符合題意；故選：D．【變式4-2】（2023秋?石家莊期中）下列各式正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A．＝＝，故該項(xiàng)符合題意；B．不一定等于，故該項(xiàng)不符合題意；C．當(dāng)a≠0時(shí)，＝，故該項(xiàng)不符合題意；D.＝﹣，故該項(xiàng)不符合題意；故選：A．【變式4-3】（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如果分式中的x、y的值都擴(kuò)大為原來的2倍，那么分式的值（）A．不變 B．?dāng)U大到原來的2倍 C．?dāng)U大到原來的4倍 D．?dāng)U大到原來的6倍【答案】B【解答】解：．∴x、y的值都擴(kuò)大為原來的2倍，那么分式的值擴(kuò)大到原來的2倍．故選：B．知識(shí)點(diǎn)4：分式的約分，最簡(jiǎn)分式與分?jǐn)?shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個(gè)分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式.【題型5分式的約分】【典例5】（2023春?通川區(qū)期末）化簡(jiǎn)分式的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：＝＝．故選：C．【變式5-1】（2023春?中寧縣期末）分式的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）A． B． C．x D．【答案】B【解答】解：原式＝＝．故選：B．【變式5-2】（2022秋?沙河市期末）若＝，則?表示（）A．b+a B．a(chǎn)b+1 C．b+1 D．b【答案】C【解答】解：，∴?表示b+1．故選：C．【變式5-3】（2023春?錫山區(qū)期中）約分：（1）；（2）．【答案】（1）6b；（2）．【解答】解：（1）＝＝6b；（2）＝＝．

【題型6最簡(jiǎn)分式】

【典例6】（2023春?晉中期末）下列分式是最簡(jiǎn)分式的為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A.＝，故A不合題意；B.＝m﹣n．故B不合題意；C.不能化簡(jiǎn)，故C符合題意；D.＝，故D不合題意；故選：C．【變式6-1】（2022秋?藁城區(qū)期末）下列各式是最簡(jiǎn)分式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．＝，此選項(xiàng)不符合題意；B．＝＝，此選項(xiàng)不符合題意；C．是最簡(jiǎn)分式，符合題意；D．＝，此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式6-2】（2022秋?平谷區(qū)期末）下列分式中是最簡(jiǎn)分式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A．＝，故此選項(xiàng)不合題意；B．是最簡(jiǎn)分式，故此選項(xiàng)符合題意；C．＝x+1，故此選項(xiàng)不合題意；D．＝x﹣2，故此選項(xiàng)不合題意．故選：B．知識(shí)點(diǎn)5：分式通分（找最簡(jiǎn)公分母）與分?jǐn)?shù)的通分類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.最簡(jiǎn)公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式：2.取各分母所有因式的最高次冪的積【題型7最簡(jiǎn)公分母】【典例7】（2023秋?新田縣期中）分式與的最簡(jiǎn)公分母是（）A．x（x+5） B．（x+5）（x﹣5） C．x（x﹣5） D．x（x+5）（x﹣5）【答案】D【解答】解：分式與的最簡(jiǎn)公分母是x（x+5）（x﹣5）．故選：D．【變式7-1】（2023秋?興賓區(qū)期中）分式與的最簡(jiǎn)公分母是（）A．5x2 B．5x3 C．6x2 D．6x3【答案】C【解答】解：分式與的最簡(jiǎn)公分母是6x2．故選：C．【變式7-2】（2022秋?靈寶市期末）分式與的最簡(jiǎn)公分母是（）A．x﹣1 B．x2﹣1 C．2（x﹣1） D．2（x﹣1）2【答案】C【解答】解：∵2x﹣2＝2（x﹣1），∴與的最簡(jiǎn)公分母是2（x﹣1），故選：C．【變式7-3】（2023秋?印江縣校級(jí)月考）分式，，﹣的最簡(jiǎn)公分母是（）A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2 C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2【答案】C【解答】解：∵x2﹣x＝x（x﹣1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+2x+1＝（x+1）2，∴分式，，﹣的最簡(jiǎn)公分母是x（x﹣1）（x+1）2．故選：C．【題型8分式的通分】【典例8】（2023春?洪澤區(qū)校級(jí)期中）通分：（1）與；（2）與．【答案】（1），；（2），．【解答】解：（1）∵與的最簡(jiǎn)公分母是6y2，∴＝，＝；（2）∵與的最簡(jiǎn)公分母是3a2b2，∴＝，＝．【變式8-1】（2022春?通江縣校級(jí)月考）通分：，．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：最簡(jiǎn)公分母是x（x﹣1）2，＝，＝．【變式8-2】（2022?豐順縣校級(jí)開學(xué)）通分：（1），，；（2），，．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1），，；，，．知識(shí)點(diǎn)6：代數(shù)式用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.單獨(dú)一個(gè)字母或一個(gè)數(shù)也是代數(shù)式，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值.

【題型9列代數(shù)式（分式）】【典例9】（2023秋?南充期末）一人自A地步行到B地，速度為a，自B地步行返回到A地，速度為b，這人自A地到B地再返回A地的平均速度為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：設(shè)A地到B地路程為“1”，∴從A到B的時(shí)間為：，從B到A的時(shí)間為：，∴平均速度為：＝＝．故選：B．【變式9-1】（2023秋?淮濱縣期末）中國首列商用磁浮列車平均速度為akm/h，計(jì)劃提速20km/h，已知從A地到B地路程為360km，那么提速后從A地到B地節(jié)約的時(shí)間為（）A．h B．h C．h D．h【答案】C【解答】解：由題意可得：﹣＝．故選：C．【變式9-2】（2023秋?莊浪縣期末）一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做要x天完成，乙獨(dú)做要y天完成，則甲、乙合做完成工程需要的天數(shù)為（）A．x+y B． C． D．【答案】C【解答】解：甲的工作效率是，乙的工作效率是，工作總量是1．∴兩人合做完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)是1÷（+）＝＝．故選：C．【變式9-3】（2023春?岳麓區(qū)校級(jí)月考）打字員小麗要打印一份12000字的文件，第一天打字2小時(shí)，打字速度為w字/分鐘，第二天打字速度比第一天快了10字/分鐘，兩天打印完全部文件，則第二天她打字用的時(shí)間是（）分鐘．A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由題意，得：第二天她打字用的時(shí)間是：（分鐘）；故選：B．【題型10分式的值】【典例10】（2024春?興化市月考）若a2﹣2a﹣4＝0，則的值為．【答案】．【解答】解：∵a2﹣2a﹣4＝0，∴a2﹣2a＝4，∴＝＝＝，故答案為：．【變式10-1】（2023秋?惠州期末）已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵，∴設(shè)a＝2k，b＝5k，∴＝＝＝＝．故選：A．【變式10-2】（2024?泉州模擬）若實(shí)數(shù)x滿足x2﹣4x+1＝0，則的值為．【答案】．【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0，∴x2+1＝4x，∴，故答案為：．【變式10-3】（2023秋?東城區(qū)期末）已知，則的值為12．【答案】12．【解答】解：由得x＝3y，∴＝＝＝＝12．故答案為：12．一．選擇題（共7小題）1．（2024春?邗江區(qū)期中）下列代數(shù)式中，屬于分式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：，，的分母中沒有字母，不是分式；的分母中含有字母，屬于分式．故選：C．2．（2024春?寶安區(qū)期中）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠﹣5 B．x＝5 C．x≠2 D．x＝2【答案】A【解答】解：由題可知，x+5≠0，解得x≠﹣5．故選：A．3．（2024?廣平縣模擬）若，則A可以是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、≠，故A不符合題意；B、≠，故B不符合題意；C、＝，故C符合題意；D、≠，故D不符合題意；故選：C．4．（2024春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）如果把分式中的x和y都擴(kuò)大為原來的3倍，那么分式的值（）A．不變 B．縮小為原來的3倍 C．?dāng)U大為原來的3倍 D．?dāng)U大為原來的9倍【答案】C【解答】解：根據(jù)題意得：＝＝，即分式的值擴(kuò)大為原來的3倍，故選：C．5．（2024春?宿豫區(qū)期中）下列各式中是最簡(jiǎn)分式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．式子是整式，不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．＝，即分式不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．＝＝x+1，即分式不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．分式是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．6．（2024春?江都區(qū)期中）下列代數(shù)式變形正確的是（）A． B．＝ C． D．【答案】B【解答】解：A項(xiàng)計(jì)算法則沒有，選項(xiàng)不合題意；，成立，B選項(xiàng)符合題意；，C選項(xiàng)不符合題意；，D選項(xiàng)不合題意；故選：B．7．（2023秋?越城區(qū)校級(jí)期末）已知x2﹣x﹣1＝0，則代數(shù)式的值為（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【答案】B【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴x4＝x3+x2＝x3+x+1，∴．故選：B．二．填空題（共6小題）8．（2024?貴州模擬）化簡(jiǎn)分式的結(jié)果是．【答案】．【解答】解：＝，故答案為：．9．（2023秋?高郵市期末）當(dāng)分式的值為0時(shí)，a的值為3．【答案】3．【解答】解：，∴3﹣a＝0且a+3≠0，∴a＝3且a≠﹣3，將a＝3代入原分式方程，有意義，∴a的值為3，故答案為：3．10．（2024?安徽二模）化簡(jiǎn)＝m﹣1．【答案】m﹣1．【解答】解：，故答案為：m﹣1．11．（2024春?東臺(tái)市期中）分式和的最簡(jiǎn)公分母是2（m+1）（m﹣1）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵m2﹣1＝（m+1）（m﹣1），2m+2＝