高級中學名校試題PAGEPAGE1江西省部分校2025屆高三下學期2月聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】已知集合，，則.故選：D.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，即，則.故選：C.3.已知向量滿足，，且，則夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，解得.故選：A.4.已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，即，可得，所以.故選：B.5.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，所以是偶函數(shù)，排除選項B，當時，，當時，，排除選項A，D．故選：C.6.為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，或向右平移個單位長度（均為正數(shù)），則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，，，即得，，，故得，，當時，的最小值是.故選：B7.已知函數(shù)若關于的方程恰有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，設，則原方程可化為，解得或．由圖可知當時，有2個根．因為原方程有4個不同的實數(shù)根，則有2個根，所以或或，解得或或，則實數(shù)的取值范圍為.故選：D.8.下面四個繩結(jié)中，可以無損傷地變?yōu)橄聢D中的繩結(jié)的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】題圖中的繩結(jié)是兩個相扣的圓環(huán)，而（1）與（3）中的繩結(jié)由一根繩子扭成，（4）中的繩結(jié)由兩個沒有相扣的圓環(huán)構(gòu)成，都不可能扭成題圖中的繩結(jié).（2）中的繩結(jié)可以無損傷地變?yōu)轭}圖中的繩結(jié).故這四個繩結(jié)中，可以無損傷地變?yōu)轭}圖中的繩結(jié)的個數(shù)是1.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.近年來，人工智能（AI）技術發(fā)展迅猛，其市場規(guī)模也在不斷變化．以下是收集到的2015年至2024年這十年間世界AI市場規(guī)模（單位：十億美元）的數(shù)據(jù)：年份2015201620172018201920202021202220232024市場規(guī)模6.49.513.820.129.040.758.080.4110.0150.0從表中數(shù)據(jù)可以得出的正確結(jié)論為（）A.2015年至2024年這十年間世界AI市場規(guī)模逐年增加B.2015年至2024年這十年間世界AI市場規(guī)模的第80百分位數(shù)為80.5C.2015年至2024年這十年間世界AI市場規(guī)模的方差比去掉其中的最小值與最大值后的方差大D.2015年至2024年這十年間世界AI市場規(guī)模與去掉其中的最小值與最大值后市場規(guī)模的中位數(shù)不變【答案】ACD【解析】從數(shù)據(jù)看2015年至2024年這十年間世界AI市場規(guī)模是逐年增加的，A正確；，所以第80百分位數(shù)為，B錯誤；2015年至2024年這十年間世界AI市場規(guī)模的數(shù)據(jù)比去掉其中的最小值與最大值后市場規(guī)模的數(shù)據(jù)更加分散，方差更大，C正確；2015年至2024年這十年間世界AI市場規(guī)模與去掉其中的最小值與最大值后市場規(guī)模的中位數(shù)都是，D正確，故選：ACD10.已知為坐標原點，拋物線的方程為，過點且斜率為的直線交于兩點，點在第四象限，設直線的斜率分別為，下列結(jié)論正確的是（）A.若為正三角形，則 B.若為正三角形，則C. D.【答案】AC【解析】因為為正三角形，所以點在的中垂線上，所以點的坐標，所以，解得，A正確，B錯誤．設，，且，則，．聯(lián)立方程組消去得，所以，．故，，C正確，D錯誤.故選：AC.11.如圖1，在矩形中，已知，為的中點，分別沿和將和折起，使點、重合為一點，記為，得到三棱錐，如圖2，設點在平面內(nèi)的投影為點，則（）A.點一定在的平分線上 B.長度的取值范圍為C.三棱錐的高的最大值為 D.三棱錐的體積的最大值為【答案】ACD【解析】對于A選項，取的中點，連接，則，，設．因為，所以．因為，所以．又平面，所以平面，從而平面平面，則點在平面內(nèi)的投影在射線上，且平分，故A正確．對于B選項，因為，所以．由，得，則，故B錯誤．對于C選項，設，由，得，，，設三棱錐的高為，則，令，，則，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，即三棱錐的高最大，且最大值為，故C正確．由上知三棱錐體積，令，，則，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當，即時，的值最大，體積的最大值為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量的分布列為03其中成等差數(shù)列，則______．【答案】【解析】由題意可知，，，，故答案為：.13.已知圓的圓心在直線上，圓與軸相切，且圓截軸所得的弦長為，則圓的標準方程為______．【答案】【解析】設圓的圓心坐標為，則，且半徑，所以，所以，解得，，所以圓的標準方程為.故答案為：14.已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，，若，則______．【答案】【解析】可化為．設，則，所以（為常數(shù)），則，所以，則．由，知，因為，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)圖象上某點的切線與坐標軸圍成的三角形面積為2，求的圖象在該點處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值之和．解：（1）設切點的坐標為，因為，所以切線方程為，令，得，令，得，所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為，解得，所以的圖象在該點處的切線方程為或；（2）因為，所以，令，則，所以當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，從而在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上的最大值與最小值之和為．16.在非等腰中，角對邊分別為，已知，．（1）求的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為，所以，即．因為，所以，從而，則的外接圓直徑為．由，得，，得．因為且，所以且，所以，即的取值范圍為．（2）．設，則，所以．又是上的增函數(shù)，從而在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍為．17.如圖所示幾何體是由直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）被一個不平行于底面的平面所截得的，已知，，是線段上的一點，平面．（1）求的長；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）在（2）的條件下，求平面和平面夾角的余弦值．解：（1）過點作交于點，連接，延長交的延長線于點．因為，所以四點共面．又平面，平面，平面平面，所以，則四邊形是平行四邊形，從而．又，，，，所以由，可得．由，可得．所以．（2）由（1）知，又，，所以，即．以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，，，．設平面的法向量為，由得取，得．設直線與平面所成的角為，則．（3）設平面的法向量為，，由得取，得．，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.已知雙曲線的右頂點為，且它的一條漸近線的方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）若是雙曲線上異于頂點的一個動點，過點作雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線（為坐標原點）分別交于點，證明：．（1）解：由題意知解得故雙曲線的方程為．（2）證明：設，，，直線的方程分別為，．因為，，所以，，所以，．所以，．故．因為，所以．19.已知數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式．（2）對于數(shù)列的任意一個排列，即，是的一個排列，記集合．①當時，設事件為“，”，求事件發(fā)生的概率；②求，并計算對應排列的個數(shù)．解：（1）因為，所以，兩式相減得，化簡可得．在中，令，得，當時，有，則．又也滿足上式，所以，即的通項公式為．（2）①由于，為一個排列，則當時，的個數(shù)為，由，不妨設滿足，則有，，或，，或，，，共三種情況．同理可得或，對應的排列都有三種情況，則事件包含的基本事件個數(shù)為9，所以．②因為，所以，即．下面對為偶數(shù)與奇數(shù)分別