高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省鞍山市普通高中2025屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B.2 C. D.3【答案】C【解析】，，．故選：C2.設(shè)全集，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槿?，，所以，所?故選：B.3.已知向量，，，若，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由，，得，由，得，所以.故選：A4.已知互不相等的數(shù)據(jù)，，，，，，的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)，，，，，的方差為，則（）A. B.C. D.與的大小關(guān)系無(wú)法判斷【答案】C【解析】根據(jù)已知條件第一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，且，所以，，第二組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，且平均數(shù)，，因?yàn)椋?故選：C5.若圓錐的側(cè)面積與過(guò)軸的截面面積之比為，則圓錐母線與底面所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面的半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，則由題意得，解得，設(shè)圓錐母線與底面所成角為，則，所以圓錐母線與底面所成角的大小為.故選：A.6.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，所以的系數(shù)是.故選：D7.已知、是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)已知條件有，，所以，因?yàn)?、是函?shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以，所以，即，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以，所以故選：B8.如圖，圓與軸交于、兩點(diǎn)，、是分別過(guò)、的圓的切線，過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線，分別交、于點(diǎn)、兩點(diǎn)，記直線與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，當(dāng)圓心與切點(diǎn)所成直線的斜率不存在時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)時(shí)，易知以，所以此時(shí)點(diǎn)為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，即；當(dāng)圓心與切點(diǎn)所成直線斜率存在時(shí)，則，因?yàn)?，所以切線的斜率為，又切線過(guò)點(diǎn)，所以切線的方程為，整理得，又點(diǎn)在圓上，所以，故切線的方程為.易知，在切線的方程中，令，則，令，則，所以，所以直線的斜率，直線的方程為，直線的斜率，直線的方程為，聯(lián)立直線和直線的方程，解得，所以點(diǎn)，又，所以點(diǎn)所滿足的方程為，因?yàn)榍芯€分別交、于點(diǎn)、兩點(diǎn)，所以切線不能為，即，且前述直線的斜率不存在時(shí)即也滿足上述方程，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于函數(shù)和，下列說(shuō)法中正確的是（）A.與有相同的零點(diǎn)B.與有相同的最小值C.函數(shù)的圖象與的圖象有相同的對(duì)稱(chēng)軸D.的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】BD【解析】對(duì)于A，令中，可得，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由正余弦函數(shù)的值域可得兩函數(shù)具有相同的最小值為，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，即，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的圖象向左平移個(gè)單位得到，故D正確；故選：BD10.已知函數(shù)滿足，，則（）A.B.對(duì)于任意，有三個(gè)零點(diǎn)C.對(duì)于任意，有兩個(gè)極值點(diǎn)D.存在，使得點(diǎn)為曲線對(duì)稱(chēng)中心【答案】AB【解析】對(duì)于A，由，，可得，即，故A正確；對(duì)于B，由A選項(xiàng)可得，則，則，當(dāng)時(shí)，令，則，令，則或，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，可得，而，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和都存在一個(gè)零點(diǎn)，所以對(duì)于任意，有三個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，由，得恒成立，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，要使點(diǎn)為曲線對(duì)稱(chēng)中心，則為定值，而，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以，解得，所以不存在，使得點(diǎn)曲線對(duì)稱(chēng)中心，故D錯(cuò)誤.11.曲線與直線交于不同的兩點(diǎn)、（），、分別為曲線在點(diǎn)、處的切線，、分別為直線、與直線的交點(diǎn)，為直線與的交點(diǎn)，則（）A. B. C. D.點(diǎn)在直線上【答案】ABC【解析】曲線與直線交于不同的兩點(diǎn)、，，整理得解得或，且，，故A正確；令，且對(duì)稱(chēng)軸，，，，故B正確；，則，：，即.令，得，即，同理可得,.，，，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，故C正確；為直線與的交點(diǎn)，聯(lián)立，整理得代入得：，即點(diǎn)在直線上，故D不正確.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若且，則____________.【答案】【解析】由兩角和的正切公式可得，所以，由兩角和的余弦公式可得，解得.故答案為：.13.設(shè)為公比為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，成等差數(shù)列，則_________.【答案】【解析】由，，成等差數(shù)列，可得：.又因?yàn)闉楣葹榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，所以，且，即，解得：.故答案為：.14.設(shè)、、、是、、、、、、、的一個(gè)排列，則滿足，，，的排列共有________個(gè)；，則集合中所有元素的和為_(kāi)__________.【答案】①.②.【解析】因?yàn)?、、、是、、、、、、、的一個(gè)排列，若滿足，，，，則與、與、與、與的大小關(guān)系是確定的，所以，滿足條件的排列方法種數(shù)為種；對(duì)于集合中的元素，不妨設(shè)，，，，則為偶數(shù)，根據(jù)題意可知，，，，，則，不妨取，此時(shí)，取最小值，當(dāng)取最小值時(shí)，最大，且的最小值為，則的最大值為，接下來(lái)驗(yàn)證可取內(nèi)的所有偶數(shù)，對(duì)取特殊值進(jìn)行驗(yàn)證，列表如下：因此，集合的所有元素之和為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.中，角的對(duì)邊分別為已知.（1）求；（2）若，，求的面積.解：（1）由正弦定理可得,因?yàn)椋?所以，所以整理得，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，，所以，又，所?16.如圖，斜三棱柱中，，點(diǎn)在底面的射影恰好是的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）將沿翻折至，使得點(diǎn)在平面上，求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：由已知平面，所以，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，所以因?yàn)?，所以平行四邊形為菱形，所以又，平面，所以平面，所以?）解：因?yàn)?，由?）平面，所以平面，所以,由已知，直線、和均在平面內(nèi),所以、、三點(diǎn)共線,因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以所以面，所以，，且平面分別以直線、、為軸、軸、如圖所示空間平面直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，所以，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，令，可得平面的一個(gè)法向量為；設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，令，可得平面的一個(gè)法向量為；因?yàn)樗云矫媾c平面所成角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）若存在極大值，且極大值大于0，求的取值范圍.（1）證明：時(shí)，，，時(shí)，；時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以.（2）解：，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以的極大值為，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，由已知，所以，解得，綜上，.18.某籃球夏令營(yíng)舉行超遠(yuǎn)距離投籃闖關(guān)游戲，游戲規(guī)則如下：夏令營(yíng)成員組隊(duì)參加游戲，每隊(duì)由三名隊(duì)員組成.三名隊(duì)員排好出場(chǎng)順序后，依次出場(chǎng)投籃，且每名隊(duì)員只投一次.如果一名隊(duì)員投中，則游戲停止；如果這名隊(duì)員沒(méi)有投中，則派出下一名隊(duì)員，直至有隊(duì)員投中（闖關(guān)成功）或無(wú)隊(duì)員可派出（闖關(guān)失?。r(shí)游戲停止.現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參加游戲，他們投中的概率分別為、、，且每次每人投中與否相互獨(dú)立.（1）若，，，求游戲停止時(shí)小隊(duì)有人投中的概率；（2）若，現(xiàn)在小隊(duì)計(jì)劃兩種方案參加游戲.方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后；（ⅰ）若采用方案一，求所需派出人員數(shù)目的分布列和期望；（ⅱ）分析采用哪種方案，可使所需派出人員數(shù)目的期望更小.解：（1）設(shè)“停止比賽時(shí)小隊(duì)有人投中”為事件，則，所以.（2）（?。┑乃锌赡苋≈禐?，2，3，，；所以的分布列為123.（ⅱ）設(shè)方案二所需派出人員數(shù)目，同理可得，因?yàn)椋?，所以，方案一可使所需派出人員數(shù)目的期望更小.19.已知雙曲線（，）的兩條漸近線為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線（兩條直線的斜率都存在）分別交雙曲線于點(diǎn)、和點(diǎn)、，、分別為弦和的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線（兩條直線的斜率都存在）分別交雙曲線于點(diǎn)、和點(diǎn)、，、分別為弦和的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)……；依此類(lèi)推得到點(diǎn)列，.（ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ⅱ）、分別在雙曲線的左支和右支上，且直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)滿足：①直線的傾斜角總是；②點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).設(shè)點(diǎn)