PAGEPAGE5第1節(jié)數系的擴充與復數的引入課時作業(yè)基礎對點練(時間：30分鐘)1．(2024三明5月)若復數滿意(3＋4i)z＝1－i(i是虛數單位是，則復數的共軛復數eq\o(z,\s\up6(－))＝()(A)eq\f(1,5)－eq\f(7,5)i (B)－eq\f(1,5)＋eq\f(7,5)i(C)－eq\f(1,25)－eq\f(7,25)i (D)－eq\f(1,25)＋eq\f(7,25)iD解析：由題意可得：z＝eq\f(1－i,3＋4i)＝eq\f(1－i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(－1－7i,25)＝－eq\f(1,25)－eq\f(7,25)i，結合共軛復數的定義可知：eq\o(z,\s\up6(－))＝－eq\f(1,25)＋eq\f(7,25)i，故選D.2．(2024昆明二模)已知a，b∈R，復數a＋bi＝eq\f(2i,1＋i)，則a＋b()(A)2 (B)1(C)0 (D)－2A解析：由題意得a＋bi＝eq\f(2i1－i,2)＝1＋i，所以a＝b＝1，a＋b＝2，故選A.3．已知eq\f(1－i2,z)＝1＋i，則復數z＝()(A)1＋i (B)1－i(C)－1＋i (D)－1－i答案：D4．i2024的共軛復數為()(A)i (B)－i(C)1 (D)1答案：A5．復數i3－eq\f(2,i)＝()(A)－i (B)－3i(C)i (D)3i答案：C6．給出下列四個命題：①滿意：z＝eq\f(1,z)的復數有±1，±i；②若a，b∈R且a＝b，則(a－b)＋(a＋b)i是純虛數；③復數z∈R的充要條件是z＝eq\x\to(z)；④在復平面內，實軸上的點都表示實數，虛軸上的點都表示虛數．其中正確結論的個數是()(A)0 (B)1(C)2 (D)3答案：B7．復數z＝1－i，則eq\f(1,z)＋z對應的點所在的象限為()(A)第一象限 (B)其次象限(C)第三象限 (D)第四象限D解析：∵z＝1－i，∴eq\f(1,z)＋z＝eq\f(3,2)－eq\f(i,2)，∴eq\f(1,z)＋z對應的點所在的象限是第四象限．8．已知i是虛數單位，且復數z1＝3－bi，z2＝1－2i，若eq\f(z1,z2)是實數，則實數b的值為()(A)6 (B)－6(C)0 (D)eq\f(1,6)A解析：∵eq\f(z1,z2)＝eq\f(3－bi,1－2i)＝eq\f(3＋2b,5)＋eq\f(6－bi,5)，當eq\f(6－b,5)＝0時，eq\f(z1,z2)是實數，∴b＝6.9．若復數z滿意eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，則z＝()(A)1－i (B)1＋i(C)－1－i (D)－1＋iA解析：∵eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，∴eq\x\to(z)＝i(1－i)＝1＋i∴z＝1－i.故選A.10．在復平面內，復數eq\f(2,1－i)對應的點到直線y＝x＋1的距離是()(A)eq\f(\r(2),2) (B)eq\r(2)(C)2 (D)2eq\r(2)A解析：eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝1＋i，所以該復數對應的點為(1,1)，該點到直線y＝x＋1的距離為d＝eq\f(|1－1＋1|,\r(12＋－12))＝eq\f(\r(2),2)，故選A.11．在復平面內，復數z＝eq\f(2i,－1＋2i)的共軛復數的虛部為()(A)－eq\f(2,5) (B)eq\f(2,5)(C)eq\f(2,5)i (D)－eq\f(2,5)iB解析：由題意知z＝eq\f(2i,－1＋2i)＝eq\f(2i－1－2i,5)＝eq\f(4,5)－eq\f(2,5)i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(4,5)＋eq\f(2,5)i，其虛部為eq\f(2,5)，故選B.12．(2024黃岡模擬)eq\x\to(z)是z的共軛復數，若z＋eq\x\to(z)＝3，z－eq\x\to(z)＝3i(i為虛數單位)，z的實部與虛部之和為()(A)0 (B)3(C)－3 (D)2B解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)，由z＋eq\x\to(z)＝3，z－eq\x\to(z)＝3i，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋bi＋a－bi＝3，,a＋bi－a－bi＝3i，))所以a＝b＝eq\f(3,2).所以a＋b＝3.13．復數z滿意zi＝3－i，則在復平面內，復數z對應的點位于()(A)第一象限 (B)其次象限(C)第三象限 (D)第四象限C解析：由zi＝3－i得z＝eq\f(3－i,i)＝－1－3i，對應點為(－1，－3)，位于第三象限，故選C.14．設z1，z2∈C，則“z1，z2中至少有一個數是虛數是“z1－z2是虛數”的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件B解析：若z1，z2皆是實數，則z1－z2肯定不是虛數，因此當z1－z2是虛數時，則“z1，z2中至少有一個數是虛數”成立，即必要性成立；當z1，z2中至少有一個數是虛數，z1，z2不肯定是虛數時，如z1＝z2＝i，即充分性不成立，故選B.15．若復數(1－2i)(a＋i)是純虛數，則實數a的值為________．答案：－216．若復數z滿意3z＋eq\x\to(z)＝1＋i，則z＝________.答案：eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)i17．設復數z滿意z2＝3＋4i，則|z|＝________.答案：eq\r(5)18．設復數a＋bi(a，b∈R)的模為eq\r(3)，則(a＋bi)(a－bi)＝________.解析：由|a＋bi|＝eq\r(3)得eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，即a2＋b2＝3，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.答案：319．(2024廈門模擬)設i是虛數單位，eq\x\to(z)是復數z的共軛復數，若復數z＝3－i，則z·eq\x\to(z)＝________.解析：由z＝3－i，得z·eq\x\to(z)＝|z|2＝(eq\r(32＋－12))2＝10.答案：1020．復數z＝eq\f(1＋i,i)(i是虛數單位)在復平面上對應的點到原點的距離為________．解析：復數z＝eq\f(1＋i,i)＝－i(1＋i)＝1－i.復數z＝eq\f(1＋i,i)(i是虛數單位)在復平面上對應的點(1，－1)到原點的距離為eq\r(2).答案：eq\r(2)實力提升練(時間：15分鐘)21．下面是關于復數z＝eq\f(2,1－i)的四個命題：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共軛復數為－1＋i；p4：z的虛部為1.其中真命題為()(A)p2，p3 (B)p1，p2(C)p2，p4 (D)p3，p4C解析：∵z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2)，z2＝2i，z的共軛復數為1－i，z的虛部為1.故p1，p3錯，p2，p4正確．22．對隨意復數z＝x＋yi(x，y∈R)，則下列結論正確的是()(A)|z－eq\x\to(z)|＝2y (B)z2＝x2＋y2(C)|z－eq\x\to(z)|≥2x (D)|z|≤|x|＋|y|答案：D23．已知關于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋mi＝0有實數根，則實數m的值為()(A)2eq\r(2) (B)－2eq\r(2)(C)－2eq\r(2)或2eq\r(2) (D)2C解析：設x＝k(k∈R)是方程的實數根，則k2＋(m＋2i)k＋2＋mi＝0，即(k2＋km＋2)＋(2k＋m)i＝0.依據復數相等的定義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＋km＋2＝0，,2k＋m＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\r(2)，,m＝－2\r(2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\r(2)，,m＝2\r(2).))24．(2024瀘州模擬)假如復數z＝eq\f(2,－1＋i)(i是虛數單位)，則復數z的虛部為________．解析：因為z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(2－1－i,2)＝－1－i，所以復數z的虛部為－1.答案：－125．(2024福州一模)已知a，b∈R，i為虛數單位，若a－i＝2＋bi，則(a＋bi)2＝________.解析：由a－i＝2＋bi，得a＝2，b＝－1，所以(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.答案：3－4i26．已知x，y為共軛復數，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.解：設x＝a＋bi(a，b∈R)，則y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2依據復數相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2＝4,－3a2＋b2＝－6))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\