PAGEPAGE1專題29直線方程一、考綱要求：1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合詳細圖形駕馭確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，駕馭過兩點的直線斜率的計算公式.3.駕馭確定直線的幾何要素，駕馭直線方程的三種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．4.能依據(jù)兩條直線的斜率推斷這兩條直線平行或垂直.5.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).6.駕馭兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離．二、概念駕馭和解題上留意點：1.求直線方程應(yīng)留意以下三點1）在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并留意各種形式的適用條件.2）對于點斜式、截距式方程運用時要留意分類探討思想的運用若采納點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的狀況；若采納截距式，應(yīng)推斷截距是否為零.3）截距可正、可負、可為0，因此在解與截距有關(guān)的問題時，肯定要留意“截距為0”的狀況，以防漏解.2.與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略1）求解與直線方程有關(guān)的最值問題.先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值.2）含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，即能夠看出“動中有定”.3）求參數(shù)值或范圍.留意點在直線上，則點的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.3.已知兩直線的斜率存在，推斷兩直線平行、垂直的方法1）兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等；2）兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于－1.4.由一般式判定兩條直線平行、垂直的依據(jù)若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則①l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0；②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.5.求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.6.處理距離問題的兩大策略1）點到直線的距離問題可干脆代入點到直線的距離公式去求.2）動點到兩定點距離相等，一般不干脆利用兩點間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動點在以兩定點為端點的線段的垂直平分線上，從而簡化計算.三、高考考題題例分析例1.（2024北京卷）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線x﹣my﹣2=0的距離．當(dāng)θ、m改變時，d的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4例2.(2024高考新課標(biāo)II)圓的圓心到直線的距離為1，則a=（）（A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】試題分析：圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為，由點到直線的距離公式得：，解得，故選A．例3.(2015高考廣東卷)平行于直線且與圓相切的直線的方程是（）A．或B.或C.或D.或【答案】．【解析】：依題可設(shè)所求切線方程為，則有，解得，所以所求切線的直線方程為或，故選．三、解答題17．已知△ABC的三個頂點分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC邊所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE的方程．【答案】(1)x＋2y－4＝0；(2)2x－3y＋6＝0；(3)2x－y＋2＝0(3)由(1)知，直線BC的斜率k1＝－eq\f(1,2)，則BC邊的垂直平分線DE的斜率k2＝2.由(2)知，點D的坐標(biāo)為(0,2)．由點斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0)即2x－y＋2＝0.18．設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過其次象限，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.；(2)a≤－1.【解析】：(1)當(dāng)直線過原點時，在x軸和y軸上的截距為零，∴a＝2，方程即為3x＋y＝0.當(dāng)直線不過原點時，截距存在且均不為0，∴eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即為x＋y＋2＝0.因此直線l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＞0，a－2≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＝0，a－2≤0，))∴a≤－1.綜上可知，a的取值范圍是a≤－1.19．已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)當(dāng)l1∥l2時，求a的值；(2)當(dāng)l1⊥l2時，求a的值．【答案】(1)a＝－1；(2)a＝eq\f(2,3)法二：由l1∥l2知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－1－1×2＝0，,aa2－1－1×6≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,aa2－1≠6))?a＝－1.(2)法一：當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不符合；當(dāng)a≠1時，l1：y＝－eq\f(a,2)x－3，l2：y＝eq\f(1,1－a)x－(a＋1)，由l1⊥l2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))·eq\f(1,1－a)＝－1?a＝eq\f(2,3).法二：∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，得a＝eq\f(2,3).20．已知直線l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及點P(1)證明直線l過某定點，并求該定點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點P到直線l的距離最大時，求直線l的方程.【答案】(1)見解析；(2)5x＋y＋7＝0.21．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過定點；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點)，求S的最小值，并求此時直線l的方程．【答案】(1)見解析；(2)k≥0.；(3)x－2y＋4＝0.【解析】：(1)證明：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，1－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，y＝1，))∴無論k取何值，直線l必經(jīng)過定點(－2,1)．(2)直線方程可化為y＝kx＋1＋2k，當(dāng)k≠0時，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＞0，1＋2k≥0，))解得k＞0；當(dāng)k＝0時，直線為y＝1，符合題意．綜上，k的取值范圍是k≥0.此時l的方程為x－2y＋4＝0.22．已知直線l經(jīng)過直線l1：2x＋y－5＝0與l2：x－2y＝0的交點．(1)若點A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值．【答案】(1)l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.(2eq\r(10))【解析】：(1)易知l不行能為l2，可設(shè)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.∵點A(5,0)到l的距離為3，∴eq\f(|10＋5λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3，則2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝