課時(shí)作業(yè)24棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積基礎(chǔ)強(qiáng)化1.一個(gè)長方體的三個(gè)面的面積分別為eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個(gè)長方體的體積為()A．6B．eq\r(6)C．3D．2eq\r(3)2．如果正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a，那么四面體A′-ABD的體積是()A．eq\f(a3,2)B．eq\f(a3,3)C．eq\f(a3,4)D．eq\f(a3,6)3．若正四棱臺的上、下底面邊長分別為1，2，高為2，則該正四棱臺的體積為()A．eq\f(10,3)B．eq\f(7,3)C．eq\f(14,3)D．144．設(shè)正四棱柱的一條對角線長為3，它的底面積是4，則它的體積是()A．4B．8C．eq\f(112,27)D．4或eq\f(112,27)5．如圖是一個(gè)下半部分為正方體、上半部分為正三棱柱的盒子(中間連通).若其表面積為(448＋32eq\r(3))cm2，則其體積為()A．(512＋128eq\r(3))cm3B．(216＋128eq\r(3))cm3C．(512＋64eq\r(3))cm3D．(216＋64eq\r(3))cm36．(多選)正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱長為2eq\r(3)，則下列敘述正確的是()A．正三棱錐高為3B．正三棱錐的斜高為eq\f(\r(39),2)C．正三棱錐的體積為eq\f(27\r(3),4)D．正三棱錐的側(cè)面積為eq\f(9\r(39),4)7．已知長方體全部棱長的和為36，表面積為52，則其對角線的長為________．8．設(shè)正六棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為5，那么它的體積為________．9．已知某個(gè)三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，求它的表面積．10.已知某幾何體的直觀圖如圖所示，其中底面為長為8，寬為6的長方形，頂點(diǎn)在底面投影為底面中心，高為4.(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.能力提升11.邊長為3的正方體切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積之和比原來增加了()A．36B．72C．108D．24012．如圖是一個(gè)棱長為2的正方體被過棱A1B1、A1D1的中點(diǎn)M、N，頂點(diǎn)A和過點(diǎn)N，頂點(diǎn)D、C1的兩個(gè)截面截去兩個(gè)角后所得的幾何體，則該幾何體的體積為()A．5B．6C．7D．813．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為()A．3eq\r(3)B．4eq\r(3)C．8D．1214．(多選)已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的體積為24，任取其中四個(gè)不共面的頂點(diǎn)構(gòu)成四面體，則該四面體的體積可能取值為()A．4B．6C．8D．16[答題區(qū)]題號12345611121314答案15.已知正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為2eq\r(11)，用一個(gè)平行于棱錐底面且距離底面長度為3的平面去截棱錐，所得棱臺的體積為________．16.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，過頂點(diǎn)B、D、A1截下一個(gè)三棱錐．(1)求剩余部分的體積．(2)求三棱錐A-A1BD的高．(3)4個(gè)面都是直角三角形的四面體，被稱為鱉臑．你能寫出以該正方體的4個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的鱉臑嗎？寫出一個(gè)即可，不需證明．課時(shí)作業(yè)24棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積1．解析：設(shè)長方體的長、寬、高分別為x、y、z，則xy＝eq\r(2)，yz＝eq\r(3)，xz＝eq\r(6)，∴(xyz)2＝6，∴V＝xyz＝eq\r(6).故選B.答案：B2．解析：VA′-ABD＝eq\f(1,3)·S△ABD·AA′＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a×a×a＝eq\f(a3,6).故選D.答案：D3．解析：V臺＝eq\f(1,3)(S＋S′＋eq\r(SS′))h＝eq\f(1,3)(1＋4＋eq\r(1×4))×2＝eq\f(14,3).故選C.答案：C4．解析：設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，高為h，則a2＝4且2a2＋h2＝9，解得a＝2，h＝1，所以正四棱柱的體積為V＝a2h＝4.故選A.答案：A5．解析：設(shè)正方體的棱長為acm，則5a2＋2a2＋eq\f(\r(3),4)a2×2＝448＋32eq\r(3)，解得a＝8.該幾何體的體積為a3＋eq\f(\r(3),4)a2·a＝512＋128eq\r(3)(cm3).故選A.答案：A6．解析：設(shè)E為等邊三角形ADC的中心，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接PF，EF，PE，則PE為正三棱錐的高，PF為斜高，又PF＝eq\r(12－\f(9,4))＝eq\f(\r(39),2)，EF＝eq\f(3,2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),2)，故PE＝eq\r(\f(39,4)－\f(3,4))＝3，故AB正確．而正三棱錐的體積為eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(3),4)×9＝eq\f(9\r(3),4)，側(cè)面積為3×eq\f(1,2)×3×eq\f(\r(39),2)＝eq\f(9\r(39),4)，故C錯(cuò)誤，D正確．故選ABD.答案：ABD7．解析：設(shè)長，寬，高分別為x，y，z，則2(xy＋xz＋yz)＝52，4(x＋y＋z)＝36，可得體對角線的長為eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(（x＋y＋z）2－2（xy＋xz＋yz）)＝eq\r(92－52)＝eq\r(29).答案：eq\r(29)8．解析：由正六棱柱可得底面為正六邊形，則底面積S＝eq\f(1,2)×12×sin60°×6＝eq\f(3\r(3),2)，即正六棱柱的體積V＝Sh＝eq\f(3\r(3),2)×5＝eq\f(15\r(3),2).答案：eq\f(15\r(3),2)9．解析：由題意可知該三棱柱為正三棱柱，∵正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，∴有如下兩種情況：①6是底面周長，4是三棱柱的高，此時(shí)正三角形邊長為2，此底面積S1＝eq\f(1,2)×2×2sin60°＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，表面積S2＝24＋2eq\r(3)；②4是底面周長，6是三棱柱的高，此時(shí)正三角形邊長為eq\f(4,3)，此時(shí)底面積S3＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(2)sin60°＝eq\f(4\r(3),9)，表面積S4＝24＋eq\f(8\r(3),9).所以該三棱柱的表面積是24＋2eq\r(3)或24＋eq\f(8\r(3),9).10．解析：(1)幾何體的體積為V＝eq\f(1,3)·S矩形·h＝eq\f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正側(cè)面及相對側(cè)面底邊上的高為h1＝eq\r(42＋32)＝5.左、右側(cè)面的底邊上的高為h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).故幾何體的側(cè)面面積為S＝2×(eq\f(1,2)×8×5＋eq\f(1,2)×6×4eq\r(2))＝40＋24eq\r(2).11．解析：由已知，邊長為3的正方體分成27個(gè)全等的小正方體，則小正方體的邊長為1，邊長為3的正方體表面積為6×3×3＝54，每個(gè)小正方體的表面積為6×1×1＝6，27個(gè)小正方體的表面積之和為6×27＝162，162－54＝108，所以表面積之和比原來增加了108，故選C.答案：C12．解析：如圖將正方體還原可得如下圖形：則VA-A1MN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3)，VD-ND1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×2＝eq\f(2,3)，VABCD-A1B1C1D1＝23＝8，所以該幾何體的體積V＝8－eq\f(1,3)－eq\f(2,3)＝7.故選C.答案：C13．解析：由題意知，該幾何體是一個(gè)由8個(gè)全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長為eq\r(\f(22,2))＝eq\r(2)，正三角形邊上的一條高為eq\r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),2)，所以一個(gè)正三角形的面積為eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以多面體的表面積為8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).故選B.答案：B14．解析：設(shè)平行六面體的體積為V＝24，如左圖，當(dāng)取頂點(diǎn)A1，A，B，D時(shí)，則該四面體體積V1＝eq\f(1,6)V＝eq\f(1,6)×24＝4；如右圖，當(dāng)取頂點(diǎn)A，B1，C，D1時(shí)，則該四面體體積V2＝V－4V1＝24－4×4＝8.故選AC.答案：AC15．解析：如圖，由題意可得EF＝3，AF＝2eq\r(2)，OF＝eq\r(OA2－AF2)＝6.因?yàn)椤鱋A1E∽△OAF，所以eq\f(A1E,AF)＝eq\f(OE,OF)，解得A1E＝eq\r(2)，則A1B1＝2，S正方形A1B1C1D1＝4，S正方形ABCD＝16，所以V棱臺＝eq\f(1,3)(S正方形ABCD＋S正方形ABCD·S正方形A1B1C1D1＋答案：2816．解析：(1)設(shè)正方體的棱長為a，則V＝a3－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a2))×a＝eq\f(5,6)a3.(2)VA-A1BD＝VA1-ABD＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a2))×a＝eq\f(1,6