第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《三角形綜合》專項測試卷（附答案）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．已知，在正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線上，連接，連接．(1)如圖1，當(dāng)時，求證：；(2)如圖2，當(dāng)平分時，①求證：；②如圖3，若正方形邊長為2，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)H，求的值．2．在中，，射線的夾角為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，連接．(1)如圖，射線都在的內(nèi)部．設(shè)，則_______（用含有的式子表示）；在直線上取一點(diǎn)，使得，則線段與圖中已有線段_______的長度相等．(2)如圖，射線在的內(nèi)部，射線在的外部，其他條件不變，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．如圖，和都是等腰直角三角形，其中，，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)在的外部時，連接，交于點(diǎn)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)在的內(nèi)部時，連接，，若，求證：；(3)若，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)時，直線與直線交于點(diǎn)．①如圖3，當(dāng)在的外側(cè)時，求的長；②如圖4，當(dāng)在的內(nèi)部時，直接寫出的長．4．如圖1，在中，，是平面內(nèi)一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），是線段中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，連接，且滿足，連接．(1)如圖1，若，判斷線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，若，判斷線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖2，點(diǎn)在直線上方，，，，當(dāng)是直角三角形時，直接寫出線段的長．5．如圖，四邊形是邊長為2，一個銳角等于的菱形紙片，小芳同學(xué)將一個三角形紙片的一個頂點(diǎn)與該菱形頂點(diǎn)D重合，按順時針方向旋轉(zhuǎn)三角形紙片，使它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于點(diǎn)E、F，，當(dāng)時，如圖1小芳同學(xué)得出的結(jié)論是．(1)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)時，如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由；(2)再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，的延長線上時，如圖3連，若，求的面積．6．綜合與實踐如圖1，在中，點(diǎn)分別在直線和上，直線相交于點(diǎn)，某數(shù)學(xué)興趣小組在探究四條線段的比例關(guān)系時，經(jīng)歷了如下過程：【特例感知】（1）①如圖2，當(dāng)時，若，求；②如圖3，當(dāng)時，若，求．【猜想證明】（2）猜想四條線段的比例關(guān)系，并結(jié)合圖1進(jìn)行證明．（備注：從圖1中的①或②選擇一個證明即可）7．綜合與實踐：在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種方法叫倍長中線法．(1)如圖1，是的中線，，，求的取值范圍；(2)如圖2，，，，D為的中點(diǎn)，求證，；(3)如圖3，在四邊形中，對角線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)是的中點(diǎn)，，，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．8．如圖，在和中，，，，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊延長線上時，若，求的長；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰在邊上，若，求的長；(3)如圖3，若，交直線于點(diǎn)，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．9．人教版數(shù)學(xué)八年級下冊教材的數(shù)學(xué)活動折紙，引起許多同學(xué)的興趣．我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)的奧秘．(1)如圖1，對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；以為折痕再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在折痕上的點(diǎn)N處，把紙片展平；連接．觀察圖1中和，猜想這三個角的關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，M為矩形紙片的邊上的一點(diǎn)，連結(jié)，在上取一點(diǎn)P，折疊紙片，使B，P重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點(diǎn)B、P分別落在上，展平紙片得到折痕l，折痕l與交于點(diǎn)O，點(diǎn)B、P的對應(yīng)點(diǎn)分別為G、N，連接．證明：；(3)如圖3，矩形紙片中，，點(diǎn)P是邊上的動點(diǎn)，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，折痕與矩形邊的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，要使折痕始終與邊有交點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．10．【三角形中位線定理】：如圖1，是的中位線，則，【活動一】：證明定理：添加輔助線：如圖1，在中，延長（、分別是、的中點(diǎn)）到點(diǎn)，使得，連接，請你補(bǔ)充完整證明過程．【活動二】：應(yīng)用定理：如圖2，在四邊形中，，是對角線的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：．【活動三】深入定理：如圖3，在四邊形中，，，為的中點(diǎn)，、別為邊上的點(diǎn)，若，，，求的長．11．在中，，點(diǎn)D為線段上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若，求線段的長；(2)如圖2，以為邊作等邊，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)G．①取的中點(diǎn)O，連接，求證：；②若，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．12．在中，，．將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)分別是點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)），旋轉(zhuǎn)角為，線段與相交于點(diǎn)，線段分別交于點(diǎn)．(1)如圖1，連接，在繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，始終為等腰三角形，請你證明這一結(jié)論；(2)如圖2，當(dāng)時，求的長；(3)如圖3，當(dāng)時，求的長．13．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是和，連接，以線段為邊向右側(cè)作菱形，點(diǎn)在軸上．(1)填空：點(diǎn)的坐標(biāo)為，度．(2)連接，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且．過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，兩線相交于點(diǎn)．①求證：四邊形是菱形；②當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出的長度．(3)在（2）的條件下，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．14．在等邊中，點(diǎn)D在直線上，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H．(1)如圖1，點(diǎn)D在的延長線上，，，求的長度；(2)如圖2，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在邊上，且，與交于點(diǎn)F，若點(diǎn)F恰是的中點(diǎn)，請用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，點(diǎn)D在邊上，過點(diǎn)H作．連接、，將沿翻折至，連接，，請直接寫出當(dāng)取得最大值時的值．15．如圖，在中，，，點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，，且．(1)如圖1，若點(diǎn)D在內(nèi)部，，延長交于H，若時，求的長；(2)如圖2，若點(diǎn)D在內(nèi)部，將繞點(diǎn)A，逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，直線與交于點(diǎn)F，證明：；(3)如圖3，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，，若，當(dāng)，均取得最小值時，直接寫出的面積．參考答案1．(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）結(jié)合正方形性質(zhì)，以及垂直的定義，證明，利用全等三角形性質(zhì)即可證明；（2）①延長，取，連接，結(jié)合正方形性質(zhì)證明，利用全等三角形性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證明，即可解題；②結(jié)合正方形性質(zhì)得到，得到，進(jìn)而得到，延長交的延長線于點(diǎn)，結(jié)合角平分線性質(zhì)，以及等腰三角形性質(zhì)得到，再證明，，利用相似三角形性質(zhì)求解，即可解題．【詳解】（1）證明：四邊形為正方形，，，，，，，，，；（2）證明：①延長，在延長線上取，連接，四邊形為正方形，平分，，，，，，，，，，，．②解：四邊形為正方形，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，，，延長交的延長線于點(diǎn)，平分，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，角平分線定義，相似三角形性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識．2．(1)；；(2)，證明見解析．【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．根據(jù)角的和與差可得，把和的度數(shù)代入計算即可；根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，根據(jù)，等量代換可得；在的延長線上截取，連接，可證，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證，根據(jù)，可證．【詳解】（1）解：，，故答案為：；如下圖所示，連接，，，，又，，故答案為：；（2）解：，證明：如下圖所示，在的延長線上截取，連接，則有，，又，，設(shè)，則，，又，，，在和中，，，，又，，3．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)①；②【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）證明得出，設(shè)與交于點(diǎn)，得出，再由勾股定理即可得證；（2）連接，證明得出，求出，再由勾股定理即可得證；（3）①過作于點(diǎn)，求出，得出，證明，求出，，再由計算即可得解；②過作于，同理，得出，求出得到，從而得出，由計算即可得解．【詳解】（1）證明：，，即，，，，，設(shè)與交于點(diǎn)，，，在中，；（2）證明：如圖1，連接，，∴，即，，．，，，，，，．在中，，．在中，，，；（3）解：①如圖2，過作于點(diǎn)，，，，，，．，，，在中，，，，，在中，，．，．，；②過作于，同理，，，，，，．4．(1)，理由見詳解；(2)，理由見詳解；(3)或【分析】（1）延長至使，連接，證明，得，則，再證，即可得出答案；（2）延長至使，連接，證明，得，則，再證，得，即可解決問題；（3）分兩種情況：當(dāng)時，延長至使，連接，延長交延長線于點(diǎn)，證，得，，再證，求得，然后證，得，求出，進(jìn)而由勾股定理得，則，最后證明是的中位線，即可得出答案．當(dāng)時，用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：如圖2，延長至使，連接，是線段中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，；（2）解：線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：如圖3，延長至使，連接，

在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：延長至使，連接，延長交延長線于點(diǎn)，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，即，解得：，是直角三角形，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，是的中位線，．當(dāng)時，如圖所示：由前面的過程可知，此時共線，；綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)三角形中位線定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，正確作出輔助線，構(gòu)建全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．5．(1)小芳結(jié)論成立，見解析(2)【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由菱形的性質(zhì)得到是等邊三角形，再證明即可得出結(jié)論；（2）連接，作于點(diǎn)M，根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)得出是等邊三角形，，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，即可求解．【詳解】（1）解：小芳結(jié)論成立：．理由如下：連接，四邊形是菱形，，是等邊三角形，，，，，，，，，；（2）解：連接，作于點(diǎn)M．四邊形是菱形，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，在等邊中，，，．6．[特例感知]（1）①；②；[猜想證明]（2）四條線段的比例關(guān)系為，證明見解析【分析】（1）①當(dāng)時，平行四邊形是正方形，再利用全等三角形證明；②四邊形是矩形，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）證明和，再列出比例式推導(dǎo)即可．【詳解】[特例感知]①當(dāng)時，平行四邊形是正方形，如圖所示，∴，∵∴，即，∵，∴，在和中，

，∴，

∴，

故答案為：；②當(dāng)時，如圖所示，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴∴，∴，∴，∵，即，∴，故答案為：；[猜想證明]（2），理由如下，選擇圖1中的①，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在線段上，，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，且，∴，∴，，∵，∴，∴，且，∴，∴，

∴，

∴，

∴，∵，

∴；圖1中的②：四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在直線上，，同理，四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，且，∴，∴，，∵，

∴，∴，且，

∴，

∴，∴，∴，∴，

∵，∴；綜上所述，四條線段的比例關(guān)系為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)和特殊平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)選擇三角形進(jìn)行證明全等或相似．7．(1)(2)見解析(3)，見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識．（1）根據(jù)可得，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得，即可根據(jù)求解；（2）延長至G，使，連接，先證明，得到，，再證明，即可得到；（3）延長到G，使得，連接，延長到H，使得，連接，先證可得，，再證明，得到，，最后證明，得到．【詳解】（1）解：延長到點(diǎn)E．使，連接，∵是的中線，∴，又，∴，∴，∵在中，，∴，∵，∴，∴，解得，故答案為：；（2）證明：延長至G，使，連接，則∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴．（3）證明：如圖，延長到G，使得，連接，延長到H，使得，連接，∵點(diǎn)F是邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．∴，，∵，∴，∴，∴．8．(1)6(2)4(3)，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．（1）證明出，得到，即可求解；（2）同（1）理可證，，得到，，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，同（1）理可證，，得到，，再分別證明，，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，又，，，，，；（2）解：同（1）理可證，，，，，，，，；（3）解：，理由如下：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，，，，同（1）理可證，，，，，，，，在和中，，，，又，，，．9．(1)，見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，作出正確輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）利用折疊的性質(zhì)，可得是等邊三角形，即可得到，即可證明；（2）連接，證明，可得，即可求得，即可解答；（3）當(dāng)F、D重合時，的值最小，當(dāng)E、B重合時，的值最大，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理即可解答．【詳解】（1）解：理由如下：由折疊可知：直線是線段的垂直平分線，，對折至，折痕為，，，，是等邊三角形，，∴，∵四邊形為矩形，，，∴；（2）解：如圖，連接，∵四邊形是矩形，是折痕，，∴，由折疊的性質(zhì)可知，，，在和中，，，∴∵∴∴∵∴（3）解：如圖，當(dāng)F、D重合時，的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)知：，在中，，則，此時的最小值為；如圖，當(dāng)E、B重合時，的值最大，根據(jù)折疊的性質(zhì)知：，即的最大值為4．綜上，．10．活動一：見解析活動二：詳見解析活動三：【分析】活動一：證明，得出，，結(jié)合題意得出，再證明四邊形為平行四邊形，即可得解；活動二：由中位線定理可得，，，，結(jié)合，得出，即可得證；活動三：過點(diǎn)向上作的平行線，連接，延長，過作延長線的垂線，垂足為，連接，由題意可得，，，證明，得出，，證明是中垂線，得出，求出的長即可得解．【詳解】活動一：解：∵是的中點(diǎn)，，在和中，，∴，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，；活動二：解：∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，，∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，，，，活動三：解：過點(diǎn)向上作的平行線，連接，延長，過作延長線的垂線，垂足為，連接，∵是的中點(diǎn)，，∴，，，∴，∴，，，∴是中垂線，，，∴，，∵，，∴，，，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．11．(1)(2)①見解析，②，理由見解析【分析】（1）在中根據(jù)，可得，再根據(jù)可得線段的長；（2）證為等邊三角形得，，再根據(jù)為等邊三角形得，，由此得，進(jìn)而可依據(jù)“”判定和全等得，進(jìn)而可證，據(jù)此即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，先證和全等得，，再證即可得出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：在中，，，，，，；（2）①證明：在中，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，即，，在和中，，，，，∴；②解：，，之間的數(shù)量關(guān)系是，理由如下：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如下圖所示：則，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，在（2）的條件下，，，，∴，，又，，，又，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)，正確添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵．12．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意證明，得到，即可求解；（2）根據(jù)題意得到，可證，，，則，則，在中由勾股定理即可求解；（3）根據(jù)題意可證四邊形是平行四邊形，得到，，再證，得到，即，由此即可求解．【詳解】（1）證明：∵，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)分別是點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)），∴，，∴，，，在和中，，，，是等腰三角形．（2）解：，，，由（1）知，，又，，，在中，，，，則，；（3）解：，，又，，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，即，．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．13．(1)，(2)①見解析；②或或(3)【分析】（1）利用勾股定理，可求得，從而知道菱形的邊長，從而求得點(diǎn)，借助求得，從而算得；（2）①連接，設(shè)交于點(diǎn)，先利用菱形的性質(zhì)，求得，接著利用外角得到，從而推出，接著證明，得到，，接著證明，推出，從而知道，，借助，，可得到四邊形是平行四邊形，加上鄰邊相等，得證；②分成，，三種情況分類討論，利用等腰三線合一，勾股定理，30度所對的直角邊等于斜邊的一半計算即可得出答案；（3）作，作，先利用勾股定理，得出，得到，在中利用勾股定理求得，從而表示出，得出，從而得到函數(shù)關(guān)系式．【詳解】（1）解：點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是和，，，，，，，，，以線段為邊向右側(cè)作菱形，，，，故答案為：，；（2）①證明：連接，設(shè)交于點(diǎn)，如圖所示，由（1）可知，四邊形是菱形，，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，又，，，，，，，，四邊形是菱形；②解：或或，理由如下：當(dāng)時，點(diǎn)在上時，作交于，如圖，由①可知，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，；當(dāng)，點(diǎn)在的延長線上時，作，如圖，，，，，，，，又，，，，；當(dāng)時，，，，、、都在軸上，和重合，或者和重合，，，，只能是和重合，如圖所示：此時不存在，故矛盾；當(dāng)，如圖，，，，，，，，，，，，，；綜上所述，的長度為或或．（3）解：作，作，如圖所示：四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的外角，30度所對的直角邊等于斜邊的一半，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識點(diǎn)并數(shù)形結(jié)合分類討論是解題的關(guān)鍵．14．(1)(2)；證明見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，解直角三角形得出，求出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，最后得出答案即可；（2）過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，證明，得出，，設(shè)，則，，求出，證明，得出，設(shè)，則，求出，根據(jù)，求出，得出，求出，即可得出答案；（3）延長，交于點(diǎn)G，證明四邊形為平行四邊形，得出，，證明，得出，說明點(diǎn)N在以為直徑的圓上運(yùn)動，取的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心為半徑作圓，連接并延長，交于點(diǎn)N，此時最大，設(shè)，則，解直角三角形，求出，，最后根據(jù)，代入求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，負(fù)值舍去，∴．（2）解：，理由如下：過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，∴，∵∵，∴，∴，∴，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴，設(shè)，則，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：延長，交于點(diǎn)G，如圖所示：根據(jù)折疊可知：，，，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，，∴，，∴，∵，，∴，∵等邊中，∴，∴，∴點(diǎn)N在以為直徑的圓上運(yùn)動，取的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心為半徑作圓，連接并延長，交于點(diǎn)N，此時最大，設(shè)，則，∵為等邊三角形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴