第=page11頁，共=sectionpages11頁廣東省廣州市第四中學2025屆高三下學期4月統(tǒng)測數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=?x1<x<2，集合B=?xxA.m≤1 B.m≤2 C.m<1 2.已知復數(shù)z滿足z?2+2i=1，則復數(shù)z在復平面里位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知平面向量a,b是兩個單位向量，a在b上的投影向量為12b，則A.1 B.32 C.2 4.已知正三棱臺的上底面與下底面的面積之比為1:4，當棱臺的高為2，體積為732時，則此時正三棱臺的側面積為A.9514 B.93 5.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與拋物線C:A.2?1 B.22 C.6.已知角α,β滿足tanα=m，2sinβ=cos(α+β)A.m1+3m2 B.m2+3m27.下列結論正確的是(

)A.若數(shù)列an的前n項和Sn=n2?2n+1，則數(shù)列an為等差數(shù)列

B.若數(shù)列an為等比數(shù)列，且前n項和Sn=t?3n?1+1，則t=?8.已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+32sin2ωx?12(ω>0)，它的兩個相鄰的極值點之間的距離為π24+4.A.4 B.5 C.6 D.8二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.事件A與事件B相互獨立，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，則P(A∪B)=0.88

B.樣本數(shù)據2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位數(shù)為11

C.某分層抽樣有2層，第1層樣本數(shù)為25，其平均數(shù)和方差分別為176和14，第2層樣本數(shù)為15，其平均數(shù)和方差分別為160和30，則總方差為80

D.已知一系列樣本點xi,yi(i=1,2,3...10.已知函數(shù)f(x)對任意的x,y∈R都有f(x+y)?f(x?y)=2f(y)，f(1)=1，且當x>0時，f(x)A.f(5)=1

B.f(x)是奇函數(shù)

C.f2nx=2n11.已知直棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱長均為2，∠ABC=πA.MD1⊥AC

B.若直線DM與直線CA1所成角為定值，則M點軌跡為圓的一部分

C.當λ=μ=12時，三棱錐M?BCD的外接球的體積為2053π

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知等差數(shù)列an的第5項是x?13x6的展開式中的常數(shù)項，則該數(shù)列的前913.若曲線y=ln(2x+2)在?12,0處的切線也是曲線y=e14.項數(shù)為m的數(shù)列an滿足ai∈0,1(i=1,2,?,m)，當且僅當ai?1=ai+1時ai=0(四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分在?ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2b?c=2a(1)求A的大小；(2)若a=6，∠BAC的平分線AD交BC于點D，且AD=1，求16.(本小題15分)人工智能(簡稱AI)的相關技術首先在互聯(lián)網開始應用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè).某公司推出的AI軟件主要有四項功能：“視頻創(chuàng)作”、“圖像修復”、“語言翻譯”、“智繪設計”.為了解某地區(qū)大學生對這款AI軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機抽取了120名大學生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的AI軟件功能(每人只能選一項)，統(tǒng)計結果如下：軟件功能視頻創(chuàng)作圖像修復語言翻譯智繪設計大學生人數(shù)40204020假設大學生對AI軟件的喜愛傾向互不影響．(1)從該地區(qū)的大學生中隨機抽取1人，試估計此人最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從120名大學生中隨機抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)從該地區(qū)的大學生中隨機抽取2人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為Y，Y的方差記作D(Y)，(2)中X的方差記作D(X)，比較D(X)與D(Y)的大?。?結論不要求證明)17.(本小題15分)如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為梯形，且滿足AB⊥BC，，平面PAD⊥平面(1)求證：PA⊥(2)若PA=PD，點M在線段PB上，當二面角M?AD?P大小為π4時，求四棱錐M?ABCD的體積．18.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=ex?ax?1(1)討論f(x)的單調性；(2)當x∈(0,+∞)時，(3)當a=1時，設g(x)=f(x)?x2，證明：g(x)在(0,+∞)上存在唯一的極小值點參考數(shù)據：e3≈19.(本小題17分已知雙曲線C:x2a2(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P0(3,0)作兩條互相垂直的直線(兩條直線的斜率都存在)分別交雙曲線C于點A1、B1和點C1、D1，M1、N1分別為弦A1B1和C1D1的中點，直線M1N1與x軸交于點P1(t1,0)；過點P1(t1,0)作兩條互相垂直的直線(兩條直線的斜率都存在)分別交雙曲線C(ⅰ)求數(shù)列tn(ⅱ)Qn、Rn分別在雙曲線的左支和右支上，且直線QnRn經過點Pn，當n≥2，n∈N?時滿足：①直線Qn?1Rn?1的傾斜角總是π4；②點Qn?1和Rn關于y軸對稱參考答案1.A

2.A

3.B

4.A

5.A

6.B

7.B

8.C

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.15

13.0

14.11615.解：(1)在?ABC中，由2b?c=2acosC則2sin整理得2cosAsinC=sinC，而所以A=π(2)由∠BAC的平分線AD交BC于點D，AD=1，且S得12c?由余弦定理得6=a2=所以?ABC的面積S

16.解：(1)設從該地區(qū)的大學生隨機抽取1人，此人選擇“視頻創(chuàng)作”的事件為A，則P(A)=(2)因為抽取的6人中喜歡“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為6×所以X的所有可能取值為0,1,2，P(X=0)=C42所以X的分布列為：X

0

1

2

P

258151E(X)=0×(或X～H(N,n,M),則E(X)=(3)由(2)可得D(X)=0?由頻率估計概率可得地區(qū)的大學生中最喜歡“視頻創(chuàng)作”的概率為13，因此Y可得D(Y)=2×因此D(Y)>17.(1)證明：連接BD，在直角梯形ABCD中，易得BD=2,AD=2，又∵AB=2又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?∴BD⊥平面PAD,∵∴BD⊥PA，又∵PA⊥∴PA⊥平面PBD,∵∴PA(2)如圖，取AD的中點O,AB的中點G，連接OP,OG，由題意可得OP⊥∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD，OP?∴PO⊥平面以O為坐標原點，以OA,OG,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則A(1,0,0),D(?1,0,0),B(?1,2,0),P(0,0,1),AD設PM=λPB，則設平面MAD的一個法向量為m=(x,y,z)則m令y=1,得z=又∵BD⊥平面PAD,∴平面PAD，令22×1+4λ2即M為PB的靠近P的三等分點時，二面角M?AD?P的平面角為π4PO⊥平面ABCD，且PO=1∴M到平面ABCD的距離為23，又四邊形ABCD的面積為∴四棱錐M?ABCD的體積VM?ABCD

18.解：(1)因為f(x)=ex?ax?1，其中x①當a≤0時，f′(x)=ex?a②當a>0時，令f′由f′(x)<0可得x<ln此時，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為?∞,ln綜上所述：當a≤0時，f(x)的增區(qū)間為(?∞,+∞當a>0時，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為?∞(2)當x∈(0,+∞)時，令?(x)=ex?xlnx?1由?′(x)<0可得0<所以，函數(shù)?(x)的減區(qū)間為(0,1)，增區(qū)間為(1,+∞所以?(x)min=?(1)=e?1，即a≤(3)當a=1時，g(x)=ex?x?1?令m(x)=ex?2x?1當x∈0,ln2時，當x∈ln2,+∞時，又因為mln2=eln所以存在唯一的x0∈ln2,當x∈0,x0時，m(x)<當x∈x0,+∞時，m(x)>所以x0是g(x)在(0則gx0=ex19.解：(1)由雙曲線C的兩條漸近線為y=±3x，得ba又雙曲線C經過點(2,