2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)易錯(cuò)題真題匯編（提高版）第24章《圓》考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：100分一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，若∠DAC＝52°，則∠B的大小為（）A．38° B．40° C．48° D．65°解：連接CD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠DCA＝90°，∵∠DAC＝52°，∴∠D＝90°﹣∠DAC＝38°，∴∠B＝∠D＝38°，故選：A．2．（2分）（2023?蒼溪縣二模）如圖，已知⊙O的兩條弦AC，BD相交于點(diǎn)E，∠BAC＝70°，∠ACD＝50°，連接OE，若E為AC中點(diǎn)，那么∠OEB的度數(shù)為（）A．35° B．30° C．25° D．15°解：∵∠ACD＝50°，∴∠ACD＝∠ABD＝50°，∵∠BAC＝70°，∴∠AEB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABD＝60°，∵E為AC中點(diǎn)，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°，∴∠OEB＝∠OEA﹣∠AEB＝30°，故選：B．3．（2分）（2023?合肥一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC、AD．若∠BAC＝28°，則∠D的度數(shù)是（）A．56° B．58° C．60° D．62°解：連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝28°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°，∴∠B＝∠D＝62°，故選：D．4．（2分）（2023?石家莊二模）如圖是老師給出的一道課堂練習(xí)，需要將橫線(xiàn)上的內(nèi)容補(bǔ)充完整：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，若∠BCA＝50°，求∠BAD的度數(shù)．解：由題知，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，∴點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴★＝∠BCA＝50°（同弧所對(duì)的圓周角△），∵AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，∴※＝90°（直徑所對(duì)的圓周角為直角），∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°．嘉淇有以下推測(cè)：①★代表的是∠ADB；②△代表的是相等；③※處應(yīng)填∠ABD；④※處可以填∠BDA，則上述說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)有（）?A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：由題知，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，∴點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°（同弧所對(duì)的圓周角相等），∵AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°（直徑所對(duì)的圓周角為直角），∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°．所以，上述說(shuō)法中，正確的是：①②③，有3個(gè)，故選：C．5．（2分）（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＝BC，連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，若∠C＝40°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．55° B．60° C．65° D．70°解：連接CE，∵BE是⊙O的直徑，∴∠ECB＝90°，∵∠ACB＝40°，∴∠ECA＝∠ECB﹣∠ACB＝50°，∴∠ECA＝∠EBA＝50°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝70°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°，故選：B．6．（2分）（2023?金牛區(qū)模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，圓O的半徑是6，∠BAC＝60°，OD⊥BC于點(diǎn)D，則線(xiàn)段BC的長(zhǎng)度是（）A．3 B．3 C．6 D．6解：連接OB，OC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠DOC＝∠BOC＝60°，BC＝2CD，在Rt△OCD中，OC＝6，∴CD＝OC?sin60°＝6×＝3，∴BC＝2CD＝6，故選：D．7．（2分）（2023?裕華區(qū)校級(jí)二模）有一題目：“已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠D＝70°，求∠C．”兩人的說(shuō)法如下：甲：∠C的度數(shù)70°；乙：甲考慮的不全，∠C的度數(shù)還應(yīng)有一個(gè)不同的值110°．下列判斷正確的是（）A．甲和乙都對(duì) B．甲對(duì)乙錯(cuò) C．甲錯(cuò)乙對(duì) D．甲和乙都錯(cuò)解：如圖：∵∠D＝70°，∴∠D＝∠C＝70°，∵四邊形ADBC′是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠C′＝180°，∴∠C′＝180°﹣∠D＝110°，∴如果△ABC和△ABD有相同的外心，∠D＝70°，則∠C的度數(shù)為70°或110°，∴甲錯(cuò)乙對(duì)，故選：C．8．（2分）（2023?鄒城市模擬）如圖，⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距為，分別以B、D、F為圓心，正六邊形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．解：如圖，連接OB，OA，作OM⊥AB于點(diǎn)M，則OM＝．∵∠AOB＝＝60°，AO＝OB，∴BO＝AB＝AO，AM＝AB＝AO，OM＝，∴，∴AO＝1，∴BO＝AB＝AO＝1，∴S△AOB＝AB×OM＝×1×＝，∵S扇形AOB＝＝，∴陰影部分面積是：（﹣）×6＝π﹣．故選：A．9．（2分）（2023?沈陽(yáng)模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ACB＝105°，，連接OA、OB，則弧AB的長(zhǎng)是（）A．2π B． C． D．解：延長(zhǎng)AO交⊙O于D，連接BD，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，作∠BOF＝∠ABO，交AB于點(diǎn)F，∴BF＝OF，∵四邊形ACBD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝75°，∴∠AOB＝2∠ADB＝150°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝15°，∴∠BOF＝∠ABO＝15°，∴∠AFO＝∠BOF+∠ABO＝30°，設(shè)OE＝x，∴BF＝OF＝2OE＝2x，EF＝OE＝x，∴BE＝BF+EF＝2x+x＝（2+）x，∵OE⊥AB，∴BE＝AB＝，∴（2+）x＝，解得：x＝，∴OE＝，∴OB＝＝＝＝2，∴弧AB的長(zhǎng)＝＝，故選：C．10．（2分）（2023春?槐蔭區(qū)期末）如圖，菱形ABCD中對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)F，且AC＝8，，若點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AE，使得∠PAE＝∠BAD，連接PE、EF，則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段EF的最小值為（）A．4 B．6 C． D．12解：連接DE，∵四邊形ABCD是菱形，且AC＝8，BD＝8，∴AF＝AC＝4，DF＝BD＝4，∵AC⊥BD，BA＝DA，∴AD＝，∴∠ADB＝∠ABD＝30°，將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得∠PAE＝∠BAD，∴AP＝AE，∠BAD＝∠PAE∴∠BAP＝∠DAE在△BAP和△DAE中，，∴△BAP≌△DAE（SAS），∴∠ADE＝∠ABP＝30°，∴∠ABD+∠ADE＝60°，∴當(dāng)EF⊥DE時(shí)EF最小，此時(shí)∠EFD＝30°，∴EF＝DF×cos∠EFD＝4×＝6．故選：B．二．填空題（共11小題，滿(mǎn)分22分，每小題2分）11．（2分）（2023?深圳）如圖，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點(diǎn)，∠BAC的角平分線(xiàn)與⊙O交于點(diǎn)D，若∠ADC＝20°，則∠BAD＝35°．解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝20°，∴∠ADC＝∠ABC＝20°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝35°，故答案為：35．12．（2分）（2023?內(nèi)鄉(xiāng)縣三模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若DE＝2，則陰影部分的面積為．．?解：連接OA、OB、OF、OC、OD，如圖：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴四邊形AFOB是菱形，∵DE＝2，∴OA＝2，BM＝，ON＝，∴BF＝，∴S△AFB＝＝，S扇形OCD＝，S△OCD＝＝，∴S陰影＝+﹣＝．故答案為：．13．（2分）（2023?蘇州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交⊙O于點(diǎn)C，D，連接BD．若∠A＝34°，∠AED＝87°，則∠B＝53°．?解：∵∠AED是△ACE的一個(gè)外角，∠A＝34°，∠AED＝87°，∴∠C＝∠AED﹣∠A＝53°，∴∠C＝∠B＝53°，故答案為：53．14．（2分）（2023?上饒模擬）如圖，在3×3的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，O，A，B都是格點(diǎn)，若圖中扇形AOB恰好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面半徑為．解：∵每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，∴AO＝＝，∵∠AOB＝90°，∴＝2πr，∴r＝．故答案是：．15．（2分）（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，在扇形AOB中，點(diǎn)C、D在上，連接AD、BC交于點(diǎn)E，若∠AOB＝110°，的度數(shù)為40°，則∠DEB＝35°．解：如圖：連接BD，OC，OD，∵∠AOB＝110°，∴∠1＝360°﹣∠AOB＝250°，∴∠ADB＝∠1＝125°，∵的度數(shù)為40°，∴∠COD＝40°，∴∠CBD＝∠COD＝20°，∴∠DEB＝180°﹣∠CBD﹣∠ADB＝35°，故答案為：35．16．（2分）（2023?上城區(qū)二模）如圖，AB切⊙O于A點(diǎn)，連接BO交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O優(yōu)弧上一點(diǎn)，若∠B為α，則∠ADC＝（用含α的代數(shù)式表示）．解：連接OA，∵AB切⊙O于A點(diǎn)，∴∠OAB＝90°，∵∠B＝α，∴∠AOB＝90°﹣∠B＝90°﹣α，∴∠ADC＝∠AOB＝，故答案為：．17．（2分）（2023?河南）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，則CA的長(zhǎng)為．??解：連接OC，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，∴△OAC≌△OBC（SSS），∴∠OAP＝∠OBC＝90°，在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，∴OP＝＝＝13，∵△OAC的面積+△OCP的面積＝△OAP的面積，∴OA?AC+OP?BC＝OA?AP，∴OA?AC+OP?BC＝OA?AP，∴5AC+13BC＝5×12，∴AC＝BC＝，故答案為：．18．（2分）（2023?浙江）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．將它們疊合在一起，邊BC與EF重合，CD與AB相交于點(diǎn)G（如圖1），此時(shí)線(xiàn)段CG的長(zhǎng)是6﹣6．現(xiàn)將△DEF繞點(diǎn)C（F）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），邊EF與AB相交于點(diǎn)H，連結(jié)DH，在旋轉(zhuǎn)0°到60°的過(guò)程中，線(xiàn)段DH掃過(guò)的面積是18+12π﹣18．解：如圖1，過(guò)點(diǎn)G作GK⊥BC于K，則∠CKG＝∠BKG＝90°，∵∠BCD＝45°，∴△CGK是等腰直角三角形，∴CK＝GK＝CG，∵BC＝12，∴BK＝BC﹣CK＝12﹣CG，在Rt△BGK中，∠GBK＝30°，∴＝tan∠GBK＝tan30°＝，∴BK＝GK，即12﹣CG＝×CG，∴CG＝6﹣6；如圖2，以C為圓心，CD為半徑作圓，當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，CE′交AB于H′，連接DD′，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DD′于N，則∠BCE′＝∠DCD′＝60°，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為線(xiàn)段BH′，∴在旋轉(zhuǎn)0°到60°的過(guò)程中，線(xiàn)段DH掃過(guò)的面積為S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，∵CD＝BC?cosCBD＝12cos45°＝6，∴DG＝CD﹣CG＝6﹣（6﹣6）＝12﹣6，∵∠BCD+∠ABC＝60°+30°＝90°，∴∠BH′C＝90°，在Rt△BCH′中，CH′＝BC?sin30°＝12×＝6，BH′＝BC?cos30°＝12×＝6，∵△CD′E′是等腰直角三角形，∠CD′E′＝90°，D′H′⊥CE′，∴D′H′＝CE′＝6，∴BD′＝6+6，∵DM⊥AB，∴∠DMG＝90°，∴∠DMG＝∠CH′G，∵∠DGM＝∠CGH′，∴△DGM∽△CGH′，∴＝，即＝，∴DM＝3﹣3，∵CD′＝CD＝6，∠DCD′＝60°，∴△CDD′是等邊三角形，∴∠CDD′＝60°，∵CN⊥DD′，∴CN＝CD?sin∠CDD′＝6sin60°＝3，∴S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′＝×（6+6）×（3﹣3）+﹣×6×3＝18+12π﹣18；故答案為：6﹣6；18+12π﹣18．19．（2分）（2023?海東市二模）如圖，AB是⊙O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，連接AO交⊙O于點(diǎn)C，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，則AB的長(zhǎng)度是3．解：連接OB，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠AOB＝2∠D，∠A＝∠D，∴∠AOB＝2∠A，∵AB是⊙O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，∴∠OBA＝90°，∴∠A+∠AOB＝90°，∴∠A+2∠A＝90°，∴∠A＝30°，∴AB＝OB，AO＝2OB，∴3+r＝2r，∴r＝3，∴AB＝OB＝3，故答案為：3．20．（2分）（2021秋?廣豐區(qū)期末）已知點(diǎn)M（2.0），⊙M的半徑為1，OA切⊙M于點(diǎn)A，點(diǎn)P為⊙M上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0），（3，0）（，）時(shí)，△POA是等腰三角形．解：如圖，當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0），（3，0），（，）時(shí)，△POA是等腰三角形．理由如下：連接AM，∵M(jìn)（2.0），⊙M的半徑為1，∴OM＝2，AM＝PM＝1，∴OP＝1，∵OA切⊙M于點(diǎn)A，∴∠MAO＝90°，∴∠AOM＝30°，∴∠AMO＝60°，∴PA＝AM＝PM＝1，∴OP＝PA＝1，∴P（1，0）；當(dāng)OA＝OP′時(shí)，連接AP′交x軸于點(diǎn)H，∵OA切⊙M于點(diǎn)A，∴OP′切⊙M于點(diǎn)P′，∴∠P′OM＝∠AOM＝30°，∴∠AOP′＝60°，∴△AOP′是等邊三角形，∴AP′＝OA＝＝＝，∴OH＝OA＝，P′H＝AP′＝，∴P′（，）；∵M(jìn)A＝MP″，∠AMO＝60°，∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°，∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°，∴OA＝OP″，∴P″（3，0）．綜上所述：當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0），（3，0），（，）時(shí)，△POA是等腰三角形．故答案為：（1，0），（3，0），（，）．21．（2分）（2021?寧波模擬）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是腰AC上的高，點(diǎn)O是線(xiàn)段BD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為的⊙O與△ABC的一邊相切時(shí)，OB的長(zhǎng)為或．解：如圖，作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴HC＝3，∵∠AHC＝90°，AC＝5，∴cosC＝＝＝，∴DC＝，∴BD＝＝，①⊙O與AC相切時(shí)，切點(diǎn)為D，∵半徑為，∴OD＝，∵BD＝，∴OB＝BD﹣OD＝﹣＝；②⊙O與BC相切時(shí)，切點(diǎn)為M，∴OM⊥BC，∴∠BMO＝∠BDC＝90°，∵∠MBO＝∠DBC，∴△MBO∽△DBC，∴＝，∴＝，∴BO＝；③⊙O與AB相切時(shí)，切點(diǎn)為N，∴ON⊥AB，∴∠BNO＝∠BDA＝90°，∵∠NBO＝∠DBA，∴△NBO∽△DBA，∴＝，∴＝，∴BO＝．當(dāng)圓O與AB相切時(shí)，OB的長(zhǎng)為，∵BD＝，∵＞，也就是說(shuō)，圓O與AB相切，是圓心O在線(xiàn)段BD外即在直線(xiàn)BD上的時(shí)候，不符合題意，故答案只有兩種情況，即圓O與AC，AB相切時(shí)．綜上所述，AP的長(zhǎng)為或．故答案為：或．三．解答題（共7小題，滿(mǎn)分60分）22．（8分）（2023?漣水縣一模）如圖，以Rt△ABC的直角邊AC為直徑作⊙O，交斜邊AB于點(diǎn)D，E為BC邊的中點(diǎn)，連DE．（1）請(qǐng)判斷DE是否為⊙O的切線(xiàn)，并證明你的結(jié)論．（2）當(dāng)AD：DB＝9：16時(shí)，DE＝8cm時(shí)，求⊙O的半徑R．解：（1）DE是⊙O的切線(xiàn)，證明：連接OE，OD；在Rt△CDB，E為BC邊的中點(diǎn)，∴CE＝DE．在△OEC和△OED中，，∴△OEC≌Rt△OED（SSS）．∴∠OEC＝∠ODE＝90°．∴DE是⊙O的切線(xiàn)．（2）連接CD，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，∵E為BC的中點(diǎn)，∴BC＝2DE＝16（cm），∵∠BDC＝∠ACB，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，∴BC2＝BD?AB，設(shè)AD＝9xcm（x＞0），BD＝16xcm，∴162＝25x?16x，∴x＝（負(fù)值舍去）．∴AB＝20，AC＝12．∴⊙O的半徑R＝6（cm）．23．（8分）（2022秋?沙河口區(qū)期末）如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠BOC＝100°．（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）求∠ADC的度數(shù)．解：（1）∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝∠AOC＝∠AOB＝50°，∴∠AOB的度數(shù)為50°；（2）∵∠AOC＝50°，∴∠ADC＝∠AOC＝25°，∴∠ADC的度數(shù)為25°．24．（8分）（2023?鐵西區(qū)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)O作OD∥BC，分別交AC，⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CD，滿(mǎn)足∠ODC＝∠A．（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）若F是OD的中點(diǎn)，⊙O的半徑為3，則線(xiàn)段CD，F(xiàn)D與圍成的圖形的面積為（結(jié)果保留π和根號(hào)）．（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∵OD∥CB，∴∠DOC＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵∠ODC＝∠A，∴∠ODC＝∠OCA，∴∠ODC+∠DOC＝90°，∴∠OCD＝180°﹣（∠ODC+∠DOC）＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵F是OD的中點(diǎn)，∴OD＝2OF＝6，在Rt△OCD中，OC＝3，∴OC＝OD，∴∠D＝30°，∴∠DOC＝90°﹣∠D＝60°，DC＝OC＝3，∴線(xiàn)段CD，F(xiàn)D與圍成的圖形的面積＝△DOC的面積﹣扇形OFC的面積＝OC?CD﹣＝×3×3﹣＝，故答案為：．25．（8分）（2023?潮州模擬）如圖，BD是等邊三角形ABD與三角形DBC的公共邊，且BD＝4，∠C＝30°．（1）連接AC，請(qǐng)?zhí)骄緼C，BC，CD三條線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系；（2）點(diǎn)E是等邊三角形ABD內(nèi)部一點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠DEB＝150°，求線(xiàn)段AE的最小值．解：（1）數(shù)量關(guān)系為：AC2＝BC2+DC2．理由：以BC為邊作等邊△BCE，連接AC，BD，如圖所示，∵△ABD與△BEC是等邊三角形，∴AB＝BD，BC＝BE．∴∠ABC＝∠DBE．∴△ABC≌△DBE（SAS）．∴AC＝DE．∵∠BCE＝60°，∠BCD＝30°，∴∠DCE＝90°．在直角三角形BCE中，由勾股定理得DE2＝DC2+CE2．∵AC＝DE，BC＝CE，∴AC2＝BC2+DC2．（2）∵∠DEB＝150°，∠C＝30°，∴∠DEB+∠C＝180°．∴點(diǎn)D，E，B，C四點(diǎn)共圓．以點(diǎn)O為圓心作△BCD的外接圓，連接DO、BO、AO，AO交圓O于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F如圖所示，∵∠C＝30°，∴∠DOB＝60°．∵DO＝BO，∴△DOB是等邊三角形．∵△ABD是等邊三角形，∴AD＝DO＝OB＝BA．∴四邊形ABOD是菱形．∴AO與BD互相直分，AO平分∠DAB．在直角三角形ADF中，∠DAF＝30°，AD＝BD＝4，∴DF＝2，．∴．∴OE＝4．∴AE＝AO﹣OE＝．∴線(xiàn)段AE的最小值為．26．（8分）（2023?蕪湖模擬）如圖1，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CE⊥AB于E，D為弧BC的中點(diǎn)，連接AD，分別交CE、CB于點(diǎn)F和點(diǎn)G．（1）求證：CF＝CG；（2）如圖2，若AF＝DG，連接OG，求證：OG⊥AB．證明：（1）連接AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAG+∠AGC＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，∴∠FAE+∠AFE＝90°，∵D為弧BC的中點(diǎn)，∴＝，∴∠CAG＝∠FAE，∴∠AGC＝∠AFE，∵∠AFE＝∠CFG，∴∠AGC＝∠CFG，∴CF＝CG；（2）連接AC，CD，∵∠CFG＝∠CGF，∴180°﹣∠CFG＝180°﹣∠CGF，∴∠AFC＝∠CGD，∵CF＝CG，AF＝CD，∴△AFC≌△DGC（SAS），∴AC＝CD，∴＝，∵＝，∴＝，∴∠ABC＝∠DAB，∴GA＝GB，∵OA＝OB，∴GO⊥AB．27