空間向量與立體幾何：空間位置關(guān)系的向量證明、空間角度與空間距離的向量求法高頻考點(diǎn)分析高頻考點(diǎn)分析1.平面的法向量的求解：已知平面，且(1)表示平面中兩條相交直線(xiàn)所形成的向量.(2)設(shè)為平面的一個(gè)法向量.(3)利用法向量與平面的所有直線(xiàn)垂直列方程.(4)賦值求解法向量.2.空間向量與空間位置關(guān)系空間位置關(guān)系向量表示線(xiàn)線(xiàn)平行：線(xiàn)面平行：面面平行：線(xiàn)線(xiàn)垂直：線(xiàn)面垂直：面面垂直：3.空間向量與空間距離問(wèn)題空間距離問(wèn)題向量表示點(diǎn)到平面的距離若點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離若點(diǎn)為直線(xiàn)外一點(diǎn)，為直線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)的方向向量為，則.異面直線(xiàn)的距離已知直線(xiàn)與為異面直線(xiàn)，與與均垂直的向量為，直線(xiàn)與上各取一點(diǎn)形成，4.空間向量與空間角度問(wèn)題空間角度問(wèn)題向量表示異面直線(xiàn)所成之角（線(xiàn)線(xiàn)角）若求直線(xiàn)與直線(xiàn)所稱(chēng)之角(1)表示、、、四點(diǎn)的坐標(biāo).(2)表示與.(3)記直線(xiàn)所成之角為，.直線(xiàn)與平面所成之角（線(xiàn)面角）若求直線(xiàn)與平面所成之角(1)表示、、、、五點(diǎn)的坐標(biāo).(2)表示與平面兩條相交直線(xiàn)所形成的向量.(3)設(shè)平面的一個(gè)法向量為，利用法向量與平面的所有直線(xiàn)垂直列方程，賦值求解.(4)記直線(xiàn)與平面所成之角為，.平面與平面所成之角（二面角）若求平面與平面所成之角(1)表示、、、、、五點(diǎn)的坐標(biāo).(2)分別表示平面與平面兩條相交直線(xiàn)所形成的向量.(3)設(shè)平面的一個(gè)法向量為，利用法向量與平面的所有直線(xiàn)垂直列方程，賦值求解，同理求平面的一個(gè)法向量.(4)記平面與平面所成之角為，.

真題真題速遞1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線(xiàn)段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為2．（2024·全國(guó)甲卷（文）·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)【詳解】（1）由題意得，，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，?又平面，所以平面，易知.在中，，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，得，故點(diǎn)到平面的距離為.3．（2024·全國(guó)甲卷（理）·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)【詳解】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）如圖所示，作交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，為中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，因?yàn)?，所以，所以互相垂直，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，即，令，得，即，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.4．（2024·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，平面，，．分別為的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，故，且，由是的中點(diǎn)，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有、、、、、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；（3）由，平面的法向量為，則有，即點(diǎn)到平面的距離為.5．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿(mǎn)足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點(diǎn)，得，所以，設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.6．（2024·新課標(biāo)I卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）（1）因?yàn)槠矫?，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所?因?yàn)?，所以，根?jù)平面知識(shí)可知，又平面，平面，所以平面．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于，再過(guò)點(diǎn)作于，連接，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根?jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，即，即．因?yàn)椋O(shè)，則，由等面積法可得，，又，而為等腰直角三角形，所以，故，解得，即．

實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練一：空間位置關(guān)系的向量證明1．（2425高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則（

）A． B． C．3 D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故選：B2．（2425高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知直線(xiàn)的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則的值（

）A． B． C．1 D．4【答案】B【詳解】因?yàn)槭侵本€(xiàn)的一個(gè)方向向量，是平面的一個(gè)法向量，且直線(xiàn)平面，所以，所以，解得.故選：B.3．（2425高二下·福建漳州·階段練習(xí)）如果直線(xiàn)的方向向量是，直線(xiàn)方向向量是，那么（

）A． B．與相交 C．與異面 D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋剩?，故選：D4．（2025·寧夏吳忠·一?！ざ噙x）在正方體中，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，則（

）A．B．C．平面D．與平面所成的角為【答案】ACD【詳解】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.則，由得，，故，A正確.由，則得與不垂直，B錯(cuò)誤.由題意得，平面的法向量為.∵，平面，∴平面，C正確.由題意得，平面的法向量為，設(shè)與平面所成的角為，則，由得，D正確.故選：ACD.5．（2425高三下·北京·階段練習(xí)·節(jié)選）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，(1)求證：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；【詳解】（1）在四棱錐中，四邊形為正方形，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，由，得，解得，，，，則，而平面，所以平面.6．（2425高二下·廣東佛山·階段練習(xí)·節(jié)選）如圖多面體中，四邊形為菱形，且，，，，M，N分別為棱，上的點(diǎn)且，.(1)用向量法證明：平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：由，，可得，，因四邊形為菱形，可得，則，所以向量，，共面，又因?yàn)槠矫?，且平面?nèi)，故平面.7．（2425高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為上一點(diǎn)，且．（請(qǐng)用空間向量法予以證明）(1)求證：平面PBC；(2)求證：平面BDE．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖，以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因?yàn)?，平面PBC．所以平面PBC．（2）證明：由（1）可得，，．設(shè)平面BDE的法向量為，則，即令，得，，則是平面BDE的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫鍮DE，所以平面BDE．8．（2425高三下·江蘇連云港·階段練習(xí)·節(jié)選）如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1），，所以，又，，又，，，.在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，.，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，令，得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，又平面與平面不重合，平面平面.

實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練二：空間角度的向量求法1．（2425高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，三角形是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，，E為PD的中點(diǎn).(1)證明：平面PAB；(2)若，求直線(xiàn)CE與平面PBC的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）取PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B，則，且，從而四邊形為平行四邊形.則，又平面PAB，平面PAB，則平面PAB；（2）如圖取AD中點(diǎn)為O，連接OP，OB.因三角形是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，則.因，，則四邊形為平行四邊形，則，，結(jié)合，則，，結(jié)合，則為等邊三角形，得.又，，則，故.又，平面ADCB，則.故如圖建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.則，因E為PD的中點(diǎn)，則.從而，，.設(shè)平面PBC法向量為，則，取，設(shè)直線(xiàn)CE與平面PBC的夾角為，則，從而.2．（2425高三下·上?！るA段練習(xí)）棱錐中，平面平面，，，是棱的中點(diǎn).(1)證明：平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)椋抢獾闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，是棱的中點(diǎn)，所以，所以?xún)蓛纱怪?，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，所以，由上可知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，故，取，則，所以，所以由圖可知二面角的余弦值為.3．（2025·廣東深圳·一模）如圖，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【詳解】（1）

取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，為的中點(diǎn)，所以為的中位線(xiàn)，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，有，又因?yàn)槠矫嫫矫?，則，由于平面，所以平面，又因?yàn)?，所以平面．?）解法一：由（1）可知：兩兩垂直，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在中，由余弦定理可得：，則，于是，則，設(shè)平面，于是，即，令，則，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，那么，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．

解法二：在中，由余弦定理可得：，則，如圖，連接，由（1），平面平面，則，又因?yàn)?，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，，由于平面，則平面，如圖，記，過(guò)點(diǎn)作，連接，由于平面平面，則，又因?yàn)槠矫?，則平面，所以即為直線(xiàn)與平面所成角，由于，則，由于，則為的三等分點(diǎn)，則，于是，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．

解法三：設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，點(diǎn)到平面的距離為，則，在中，，則，過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，易得，且易證平面，由于，則，在中，，且，又，則．

4．（2025·廣東汕頭·一模）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，平面，二面角與二面角的大小相等．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又正方形中，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）由（1）平面，平面，所以，，從而為二面角的平面角，因?yàn)椋云矫妫砜傻脼槎娼堑钠矫娼?，依題意，即，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)、為x、y軸，過(guò)點(diǎn)D作z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，又為平面的一個(gè)法向量，所以，故平面與平面的夾角的余弦值為．5．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側(cè)面是等邊三角形，三棱錐的體積為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋榫匦危?，所以，設(shè)三棱錐的高為，又三棱錐的體積為，所以，所以，又側(cè)面是等邊三角形，且，取的中點(diǎn)，連接，可得，從而為三棱錐的高，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，則，故由（1）可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角標(biāo)系，

則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．6．（2025·陜西漢中·二模）如圖，是圓柱上底面圓周上的三個(gè)不同的點(diǎn)，為直徑，，均為該圓柱的母線(xiàn)．(1)證明：平面平面．(2)若，，，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)闉橹睆?，是上底面圓周上異于的一點(diǎn)，所以．因?yàn)闉樵搱A柱的母線(xiàn)，所以平面，平面，所以，又，平面．所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）設(shè)點(diǎn)在圓柱下底面的射影為，連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

因?yàn)?，，所以，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得．由，得與平面所成角的正弦值為．7．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的多面體中，平面，，，，，，，．(1)若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：如圖所示，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，可得，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，因?yàn)?，且和分別是腰和的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，因?yàn)?，且平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫?（2）解：連接，由平面，且，，，，可得，所以，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線(xiàn)分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋矗獾?，即，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成夾角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成夾角的正弦值為.8．（2425高二下·甘肅金昌·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.(1)證明:平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由長(zhǎng)方體可知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，有，，，，，，．因?yàn)椋?，，所以，，所以，?又因?yàn)椋矫?，所以平面；?）設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，可得，，所以為平面的一個(gè)法向量，.設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，因?yàn)椋?，，，所以，因?yàn)?，所?所以直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為.9．（2425高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中點(diǎn).(1)求異面直線(xiàn)AE和PD所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)B到平面CDE的距離；【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，，是棱的中點(diǎn)，，則，，，，，.則，.所以，，.設(shè)異面直線(xiàn)AE和PD所成角為，則.（2）因?yàn)?，，，所以?設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，則.又因?yàn)椋渣c(diǎn)B到平面CDE的距離為.10．（2025·貴州·二模）如圖，在四棱錐中，，，，．

(1)證明：平面平面．(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）在四棱錐中，由，，得，則，而，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）取中點(diǎn)，連接，由，得，又平面，則平面，而平面，則，由平面，平面，得，又平面，因此平面，直線(xiàn)兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

令，由，得四邊形是平行四邊形，則，由，得點(diǎn)，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.

實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練三：空間距離的向量求法1．（2025·天津·一模）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)P到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫酌?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，即為平面的一個(gè)法向量，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，由為棱的中點(diǎn)，得，向量，，故，又平面，所以平面；（2）因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）因?yàn)椋渣c(diǎn)P到平面的距離，即點(diǎn)P到平面的距離為.2．（2025·天津紅橋·一模）如圖，已知四棱錐平面ABCD，，，，，E是PA的中點(diǎn)，．(1)求證：∥平面PBC；(2)求平面FPC與平面PBC夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則設(shè)平面的法向量，則，即，不妨令，可得，因?yàn)椋?，且平面，即∥平面；?）設(shè)平面的法向量，則，即，不妨令，可得，于是，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）由，平面的法向量，則點(diǎn)A到平面PBC的距離，所以點(diǎn)到平面的距離為．3．（2025·河南信陽(yáng)·一模）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面ABCD，，.(1)若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：平面.(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求平面與平面夾角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）法一：以為原點(diǎn)，，，，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

由為線(xiàn)段的中點(diǎn)，可得，.由題意可得為平面的一個(gè)法向量.，且平面，平面法二：取、的中點(diǎn)分別為、，連接、、，

為的中位線(xiàn)，，.，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，又面，面平面（2）法一：，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，不妨設(shè)，則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則法二：，，底面，，.，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由可得：，解得：（3）設(shè)平面與平面夾角為，由題意可知，為銳角，即平面與平面夾角的正弦值為.法二：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接.

底面為直角梯形，，，為的中位線(xiàn)..又底面，，為等腰直角三角形，其中.同理可證：.為平面與平面所成二面角的平面角.在中，，，，.即平面與平面夾角的正弦值為.4．（2025·湖南邵陽(yáng)·二模）如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且．(1)證明：平面；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在；或【分析】（1）先由勾股定理證明，再由面面垂直的性質(zhì)定理得到面，最后再由線(xiàn)面垂