1.1集合的概念題型分類題型匯總【題型1判斷元素是否構(gòu)成集合】【題型2判斷是否為同一集合】【題型3判斷元素和集合的關(guān)系】【題型4根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參】【題型5根據(jù)集合元素互異性求參】【題型6用列舉法表示集合】【題型7用描述法表示集合】【題型8根據(jù)集合元素個數(shù)求參】【題型9利用集合中元素性質(zhì)求集合元素個數(shù)】【題型10集合元素互異性的應(yīng)用】【題型11集合的分類】【題型12根據(jù)集合相等關(guān)系進(jìn)行計(jì)算】【題型13根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)】【鞏固練習(xí)】知識點(diǎn)解讀1.集合的描述：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱為集.2.集合的三個特性：（1）描述性：“集合”是一個原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的“點(diǎn)”、“線”、“面”等概念一樣，都只是描述性地說明.（2）整體性：集合是一個整體，暗含“所有”、“全部”、“全體”的含義，因此一些對象一旦組成了集合，這個集合就是這些對象的總體.（3）廣泛性：組成集合的對象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式、方程，也可以是人或物等.3.集合中元素的三個特性：（1）確定性：對于給定的集合，它的元素必須是確定的.即按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)（不能是模棱兩可的）判斷給定的元素，或者在這個集合里，或者不在這個集合里，二者必居其一.（2）互異性：一個給定的集合中的元素是互不相同的.也就是說集合中的元素是不能重復(fù)出現(xiàn)的.（3）無序性：集合中的元素排列無先后順序，任意調(diào)換集合中的元素位置，集合不變.4.集合的符號表示通常用大寫的字母，，，…表示集合，用小寫的字母，，表示集合中的元素.5.集合的相等當(dāng)兩個集合的元素是一樣時，就說這兩個集合相等.集合與集合相等記作.6.元素與集合之間的關(guān)系（1）屬于：如果是集合中的元素，就說屬于集合，記作，讀作屬于.（2）不屬于:如果不是集合中的元素，就說不屬于集合，記作，讀作不屬于.7.集合的分類（1）有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集.如方程的實(shí)數(shù)根組成的集合.（2）無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集.如不等式的解組成的集合.8.常用數(shù)集及其記法（1）正整數(shù)集：全體正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集，記作或.（2）自然數(shù)集：全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做自然數(shù)集，記作.（3）整數(shù)集：全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記作.（4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記作.（5）實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集，記作.9.集合表示的方法（1）自然語言：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒?如所有正方形組成的集合，所有實(shí)數(shù)組成的集合.例如，三角形的集合.（2）列舉法：把集合的元素一一列舉出來表示集合的方法叫做列舉法.其格式是把集合的元素一一列舉出來并用逗號隔開，然后用花括號括起來.例如，我們可以吧“地球上的四大洋”組成的集合表示為太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，把“方程的所有實(shí)數(shù)根”組成的集合表示為.（3）描述法：通過描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式為，其中是集合中的元素代表，則表示集合中的元素所具有的共同特征.例如，不等式的解集可以表示為.題型分類練習(xí)【題型1判斷元素是否構(gòu)成集合】1．下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（

）A．上課遲到的學(xué)生 B．2020年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù) D．小于的正整數(shù)【答案】B【分析】由集合元素的確定性即可判斷.【詳解】高考數(shù)學(xué)難題，無法界定故錯誤；其它三個都是明確可知，故正確.故選:B2．下列幾組對象可以構(gòu)成集合的是（

）A．某校核酸檢測結(jié)果為陰性的同學(xué) B．某校品德優(yōu)秀的同學(xué)C．某校學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的同學(xué) D．某校身體素質(zhì)好的同學(xué)【答案】A【分析】根據(jù)集合的確定性，互異性，和無序性，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對選項(xiàng)B，C，D，不滿足集合的確定性，故不能構(gòu)成集合.對選項(xiàng)A，滿足集合的確定性，互異性，和無序性，故A正確.故選：A3．下列四組對象中能構(gòu)成集合的是（）A．宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)C．很小的實(shí)數(shù)D．倒數(shù)等于本身的數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)集合的含義分別分析四個選項(xiàng)，A，B，C都不滿足函數(shù)的確定性故排除，D確定，滿足．【詳解】解：A：宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生，因?yàn)閷W(xué)習(xí)好的學(xué)生不確定，所以不滿足集合的確定性，故A錯誤；B：在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)，因?yàn)榉浅＝狞c(diǎn)不確定，所以不滿足集合的確定性，故B錯誤；C：很小的實(shí)數(shù)，因?yàn)楹苄〉膶?shí)數(shù)不確定，所以不滿足集合的確定性，故C錯誤；D：倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)為1與﹣1，∴滿足集合的定義，故正確．故選：D．4．下列對象中，能組成集合的是（

）A．所有接近1的數(shù)的全體 B．某班高個子男生的全體C．某?？荚嚤容^靠前的學(xué)生的全體 D．大于2小于7的實(shí)數(shù)的全體【答案】D【解析】根據(jù)集合元素的特性：確定性即可排除ABC，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).【詳解】由集合元素的特性：ABC不符合確定性原則，D可表示為，故選：D5.下列各組對象中能構(gòu)成集合的是（

）A．充分接近的實(shí)數(shù)的全體 B．?dāng)?shù)學(xué)成績比較好的同學(xué)C．小于20的所有自然數(shù) D．未來世界的高科技產(chǎn)品【答案】C【分析】根據(jù)集合中元素的確定性，即可得解.【詳解】選項(xiàng)A、B、D中集合的元素均不滿足確定性，只有C中的元素是確定的，滿足集合的定義，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合中元素的特征，考查了集合中元素的確定性，是概念題，屬于基礎(chǔ)題.【題型2判斷是否為同一集合】1.下列各組集合中，M與P表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】根據(jù)相同集合的判定方法，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，與所含元素不同，故不是同一集合，A錯；B選項(xiàng)，與所含元素不同，故不是同一集合，B錯；C選項(xiàng)，集合表示點(diǎn)集，集合表示數(shù)集，故不是同一集合，C錯；D選項(xiàng)，兩集合均表示大于等于的全體實(shí)數(shù)，是同一集合，故D正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查同一集合的判定，屬于基礎(chǔ)題型.2．下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】利用集合的定義和元素的三個性質(zhì)，對A、B、C、D四個選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷；【詳解】A.、都是點(diǎn)集，與是不同的點(diǎn)，則、是不同的集合，故錯誤；B.，，根據(jù)集合的無序性，集合，表示同一集合，故正確；C.，集合的元素表示點(diǎn)的集合，，表示直線的縱坐標(biāo)，是數(shù)集，故不是同一集合，故錯誤；D.集合M的元素是兩個數(shù)字2，3，，集合的元素是一個點(diǎn)，故錯誤；故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的定義及元素的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3.下列說法中正確的是（

）A．1與表示同一個集合B．由1，2，3組成的集合可表示為或C．方程的所有解的集合可表示為D．集合可以用列舉法表示【答案】B【分析】根據(jù)集合的相關(guān)概念以及表示方法，對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷選擇.【詳解】對于A，1不能表示一個集合，故錯誤；對于B，因?yàn)榧现械脑鼐哂袩o序性，故正確；對于C，因?yàn)榧系脑鼐哂谢ギ愋裕杏邢嗤脑?，故錯誤；對于D，因?yàn)榧现杏袩o數(shù)個元素，無法用列舉法表示，故錯誤.故選：B.4.（多選）下面表示同一個集合的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】對選項(xiàng)中的集合元素逐一分析判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)中，集合P中方程無實(shí)數(shù)根，故，表示同一個集合；B選項(xiàng)中，集合P中有兩個元素2，5，集合Q中頁有兩個元素2，5，表示同一個集合；C選項(xiàng)中，集合P中有一個元素是點(diǎn)，集合Q中有一個元素是點(diǎn)，元素不同，不是同一集合；D選項(xiàng)中，集合表示所有奇數(shù)構(gòu)成的集合，集合也表示所有奇數(shù)構(gòu)成的集合，表示同一個集合.故選：ABD.5.（多選）下列說法正確的是（）A．由組成的集合可表示為或B．與是同一個集合C．集合與集合是同一個集合D．集合與集合是同一個集合【答案】AD【分析】根據(jù)集合的定義和元素的性質(zhì)可判斷AB的正誤，對于CD，可計(jì)算出各自集合后判斷其正誤.【詳解】對于A，根據(jù)集合元素的無序性可得、表示同一集合，元素有，故A正確.對于B，不是空集，故B錯誤.對于C，，而，故兩個集合不是同一個集合，故C錯誤.對于D，，故D正確.故選：AD.6.集合，集合A還可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】用列舉法表示集合及各選項(xiàng)的集合，對比即可得出答案.【詳解】，選項(xiàng)A，不符合；選項(xiàng)B，，符合；選項(xiàng)C，符合；選項(xiàng)D，，符合，故選：BCD.【題型3判斷元素和集合的關(guān)系】1.下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用常用數(shù)集，逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對于A，由是無理數(shù)，得也是無理數(shù)，則，A錯誤；對于B，自然數(shù)集包含元素0，即，B錯誤；對于C，表示整數(shù)集，即，C錯誤；對于D，2024是實(shí)數(shù)，即，D正確.故選：D2．下列關(guān)系中正確的個數(shù)為（

）①

②③

④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】判斷數(shù)所在數(shù)域，結(jié)合常用數(shù)集的定義即可得解.【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，故①正確；因?yàn)槭菬o理數(shù)，所以，故②正確；因?yàn)槭钦匀粩?shù)，所以，③錯誤；因?yàn)槭菬o理數(shù)，所以，④錯誤；所以正確的個數(shù)為.故選：B.3.已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡集合，根據(jù)元素與集合的關(guān)系可得答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.4．已知集合，，則與集合A的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對平方后得到，從而得到，.【詳解】∵,∴，∴，∴.故選：A5．下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用元素與集合的關(guān)系逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】，，，.故選：B.【題型4根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參】1.已知集合，且，則等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分兩種情況討論屬于集合的情況，再根據(jù)集合元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn).【詳解】當(dāng)時，得.此時.此時集合.因?yàn)椴粷M足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.當(dāng)時，解方程，即，可得或.若，則，此時集合.不滿足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.若，則，此時集合.符合集合元素的互異性.

故選：C.2．已知是由0，，這三個元素組成的集合，且，則實(shí)數(shù)為（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【答案】B【分析】由題意可知或，求出再檢驗(yàn)即可．【詳解】因?yàn)?，所以或．?dāng)時，，不合題意，舍去；當(dāng)時，或，但不合題意，舍去．綜上可知，．故選：B．3.若，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合元素與集合的關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】當(dāng)時，，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時，則，符合題意，當(dāng)時，有或，已知當(dāng)時符合題意，當(dāng)時，則，符合題意，故的取值集合為.故選：C.4.設(shè)集合，若,則的值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】，若，不滿足集合元素的互異性，故，故結(jié)果選A.5.已知集合，若，則的值為.【答案】/【分析】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系可得或，分類討論求出對應(yīng)的m值，進(jìn)而驗(yàn)證即可求解.【詳解】由，得或，當(dāng)即時，，此時集合A有重復(fù)的元素，不符合題意，舍去；當(dāng)即或（舍）時，，符合題意.所以.故答案為：.【題型5根據(jù)集合元素互異性求參】1.已知，求.【答案】【分析】利用元素與集合的關(guān)系以及集合中元素的互異性可求得的值.【詳解】解：當(dāng)時，集合為，滿足題意；當(dāng)時，，集合元素不滿足互異性，舍去；當(dāng)時，可得（舍）或，且當(dāng)時，集合為，滿足題意.綜上所述，.2.已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的值為．【答案】【分析】根據(jù)集合中元素的特征，用集合元素互異性分析即可.【詳解】由集合中元素的互異性得，故，則，又，所以，解得．故答案為：3.（多選）若集合，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．2 B．3 C． D．5【答案】BD【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求解.【詳解】集合，則，解得，知BD符合.故選：BD.4.（多選）由，，4組成一個集合A，且集合A中含有3個元素，則實(shí)數(shù)a的取值不可能是（

）A．1 B． C． D．2【答案】ABD【分析】將四個選項(xiàng)逐一代入驗(yàn)證是否滿足集合的三個特性即可.【詳解】當(dāng)時，對應(yīng)的值分別為，元素不滿足互異性，不能構(gòu)成集合，A錯；當(dāng)時，對應(yīng)的值分別為，元素不滿足互異性，不能構(gòu)成集合，B錯；當(dāng)時，對應(yīng)的值分別為，元素滿足的互異性，能構(gòu)成集合，C對；當(dāng)時，對應(yīng)的值分別為，元素不滿足互異性，不能構(gòu)成集合，D錯.故選：ABD5.若集合A中含有3個元素，，，求滿足的條件.【答案】，且，且.【分析】由集合中元素的互異性列出不等式組求解即可得到答案.【詳解】由題意得，解得，∴滿足的條件是，且，且.6．設(shè)，，已知，，求的值．【答案】且且且【分析】根據(jù)，結(jié)合集合元素的互異性求得參數(shù)a的取值.【詳解】由知，，即，解得且又集合元素具有互異性，知，即解得且綜上所述，a的取值為且且且【題型6用列舉法表示集合】1.集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意整理可得集合，結(jié)合常用數(shù)集分析判斷即可.【詳解】由題意可得：集合.故選：B．2．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合，求解中的元素，即可求出集合.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.3．集合用列舉法表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)絕對值的意義求解即可.【詳解】因?yàn)樗杂忠驗(yàn)椋怨蔬x：C.4．集合，用列舉法可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)條件列舉即可.【詳解】解：因?yàn)椋傻?；所?故選：C5.用列舉法表示集合的結(jié)果為.【答案】【分析】根據(jù)題意可知為的約數(shù)，求得的取值，用列舉法表示集合即可.【詳解】由可知為的約數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，此時，集合為.故答案為：.6．方程的解集用列舉法表示為.【答案】【分析】先解方程組，再按列舉法表示點(diǎn)集的形式寫出即可.【詳解】方程，兩式相加得，所以，代入原式得，所以原方程組的解為，解集用列舉法表示為.故答案為：.7.用列舉法表示下列給定的集合：(1)方程的實(shí)數(shù)根組成的集合C；(2)一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合D．【答案】(1)(2)【分析】通過求解方程和方程組，用列舉法表示集合即可.【詳解】（1）解方程得：或，所以集合；（2）解方程組得：，所以集合.8．用列舉法表示下列集合：(1)小于10的所有正整數(shù)組成的集合；(2)方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(3)直線與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；(4)由所有正整數(shù)組成的集合.【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）小于10的正整數(shù)有，再寫成集合即可；（2）解方程，然后寫成集合即可；（3）直線與y軸的交點(diǎn)為，再寫成集合即可；（4）所有的正整數(shù)有1，2，3，4，，寫成集合即可.【詳解】（1）設(shè)小于10的所有正整數(shù)組成的集合為A，那么.（2）設(shè)方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B，那么.（3）將代入，得，即交點(diǎn)是，故交點(diǎn)組成的集合是.（4）正整數(shù)有1，2，3，4，，故由所有正整數(shù)組成的集合為.9．你能用列舉法表示不等式的解集嗎？【答案】答案見解析．【分析】根據(jù)無限集的特征，即可求解.【詳解】由可得，因?yàn)闈M足的實(shí)數(shù)有無數(shù)個，所以的解集無法用列舉法表示．但是，我們可以利用解集中元素的共同特征，即x是實(shí)數(shù)，且，把解集表示為．10．用列舉法表示下列集合：(1)既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)組成的集合；(2)大于10而小于20的合數(shù)組成的集合；(3)方程組的解集組成的集合；(4)中華人民共和國國旗的顏色名稱的集合.【答案】(1)(2)(3)(4){黃色，紅色}【分析】（1）確定出集合中的元素，然后寫出集合；（2）確定出集合中的元素，然后寫出集合；（3）解方程組得定出集合中的元素，然后寫出集合；（4）易知國旗顏色，用列舉法表示即可.【詳解】（1）既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)只有2，集合為；（2）大于10而小于20的合數(shù)有12，14，15，16，18，集合表示；（3）由得，方程組的解集可累表示為.（4）易知國旗顏色有黃色與紅色，所以集合為{黃色，紅色}，11．用列舉法表示下列集合：(1)能整除10的所有正整數(shù)組成的集合；(2)絕對值小于4的所有整數(shù)組成的集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）根據(jù)題意結(jié)合列舉法即可得結(jié)果.【詳解】（1）能整除10的所有正整數(shù)組成的集合為.（2）絕對值小于4的所有整數(shù)組成的集合為.【題型7用描述法表示集合】1.對集合{1，5，9，13，17}用描述法來表示，其中正確的是（

）A．{x|是小于18的正奇數(shù)} B．C． D．【答案】D【分析】對照四個選項(xiàng)一一驗(yàn)證：對于A：{x|是小于18的正奇數(shù)}=即可判斷；對于B：即可判斷；對于C：即可判斷；對于D：即可判斷.【詳解】對于A：{x|是小于18的正奇數(shù)}=，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：D2.集合用描述法可表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】集合表示所有的正奇數(shù)組成的集合，令，即可得出正確選項(xiàng).【詳解】集合表示所有的正奇數(shù)組成的集合，令，可以排除ABD，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.3．集合用描述法可表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】找出集合中元素的規(guī)律通式即可.【詳解】由，即，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，故可用描述法表示為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的描述法，屬于基礎(chǔ)題.4.集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．點(diǎn)(x，y)C．平面直角坐標(biāo)系中的所有點(diǎn)組成的集合D．函數(shù)y＝2x－1圖像上的所有點(diǎn)組成的集合【答案】D【分析】由集合中的元素的表示法可知集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示函數(shù)y=2x﹣1圖象上的所有點(diǎn)組成的集合．【詳解】集合{（x，y）|y=2x﹣1}中的元素為有序?qū)崝?shù)對（x，y），表示點(diǎn)，所以集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示函數(shù)y=2x﹣1圖象上的所有點(diǎn)組成的集合．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了集合的分類，考查了集合中的元素，解答的關(guān)鍵是明確（x，y）表示點(diǎn)，是基礎(chǔ)題．5.用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐標(biāo)系中的x軸上的點(diǎn)組成的集合；(2)拋物線上的點(diǎn)組成的集合；(3)使函數(shù)有意義的實(shí)數(shù)x組成的集合．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）（2）（3）根據(jù)各項(xiàng)文字描述寫出集合的描述形式即可.【詳解】（1）由x軸上的點(diǎn)的特征為，故集合為；（2）由點(diǎn)在拋物線上，故集合為；（3）由，則，故集合為.6.用描述法表示奇數(shù)集.【答案】.【分析】利用描述法表示奇數(shù)集.【詳解】奇數(shù)集用描述法表示為：.7．用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐標(biāo)系中第一象限的角平分線上的所有點(diǎn)組成的集合；(2)3的所有倍數(shù)組成的集合.【答案】(1)(2)【分析】利用集合的描述法即可得解.【詳解】（1）平面直角坐標(biāo)系中第一象限的角平分線上的所有點(diǎn)組成的集合為；（2）3的所有倍數(shù)組成的集合.8.用描述法表示下列集合：(1)不等式的解組成的集合；(2)函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)組成的集合.【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)條件，利用集合的描述法來表示即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饨M成的集合為，則集合中的元素是數(shù)，設(shè)代表元素為x，則x滿足，所以，即.（2）函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)組成的集合是.9．用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的所有自然數(shù)組成的集合；(2)比1大又比10小的所有實(shí)數(shù)組成的集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上所有點(diǎn)組成的集合.【答案】(1)(2)(3)【分析】利用集合的表示方法即可得解.【詳解】（1）被3除余1的所有自然數(shù)組成的集合可表示為；（2）比1大又比10小的所有實(shí)數(shù)組成的集合可表示為；（3）平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上所有點(diǎn)組成的集合可表示為.【題型8根據(jù)集合元素個數(shù)求參】1.已知集合，集合A中至少有3個元素，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由集合中至少有3個元素，即可得到的取值范圍.【詳解】解：且集合A中至少有3個元素，.故選：C.2.（多選）集合中有且僅有一個元素，則實(shí)數(shù)的值可能為（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】AC【分析】對方程進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元一次方程、一元二次方程的解法作答．【詳解】集合有且僅有一個元素，即方程有且僅有一個解，時，解為，符合，時，方程為一元二次方程，由，得，綜上，或，可知AC符合．故選：AC．3．（多選）已知集合中至多含有一個元素，則實(shí)數(shù)可以取（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】根據(jù)集合至多含有一個元素，得到方程至多有一個根，討論，兩種情況，分別求出對應(yīng)的的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧现兄炼嗪幸粋€元素，即方程至多有一個根，當(dāng)時，方程可化為方程，解得，滿足題意；當(dāng)時，若方程無解，則，解得或；若方程只有一個根，則，解得，綜上實(shí)數(shù)的范圍為或或；即ABC都正確，D錯誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合中元素個數(shù)求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題型.4.已知集合.（1）若是單元素集，求的值及集合；（2）求集合使得至少含有一個元素.【答案】（1）當(dāng)時當(dāng)時，（2）【詳解】試題分析：（1）當(dāng)時方程為一元一次方程，當(dāng)時，為一元二次方程，所以分類討論只有一個解的條件（2）至少含有一個元素，除（1）外，再討論一元二次方程條件下兩個不同根的情況，即可得m的取值范圍試題解析：（1）A是單元素集，，A=；，A=；（2）5.已知，集合.(1)若A是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若集合A中只有一個元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一個元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，；(3).【分析】（1）根據(jù)空集，結(jié)合一元二次方程的判別式求參數(shù)范圍；（2）（3）討論、，結(jié)合集合元素個數(shù)及一元二次方程判別式求集合或參數(shù)范圍.【詳解】（1）若A是空集，則關(guān)于x的方程無解，此時，且，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，關(guān)于x的方程應(yīng)有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則，得，此時，符合題意.綜上，當(dāng)時；當(dāng)時.（3）當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，要使關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則，得.綜上，若集合A中至少有一個元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.6．若集合中至多有一個元素，求k的取值范圍．【答案】或【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合判別式列式求解即可.【詳解】因?yàn)榧现兄炼嘤幸粋€元素，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，則，解得；綜上所述：k的取值范圍或.【題型9利用集合中元素性質(zhì)求集合元素個數(shù)】1.已知集合，，則集合B中元素個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)給定條件分析a，b取值即可判斷作答.【詳解】集合，，則當(dāng)時，有，當(dāng)時，或，當(dāng)時，或，所以，集合B有中5個元素.故選：A2．由實(shí)數(shù)所組成的集合，最多可含有（

）個元素A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】把分別可化為，，，，，，根據(jù)集合中元素的互異性，即可得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)時所含元素最多，此時分別可化為，，，所以由實(shí)數(shù)所組成的集合，最多可含有3個元素．故選：B3．“booknote中字母”構(gòu)成一個集合，該集合的元素個數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由集合中元素不能重復(fù)，在booknote中找出不同字母的個數(shù)，可得答案.【詳解】booknote中有不同的字母共6個所以由booknote中字母”構(gòu)成一個集合的元素共有6個故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合中元素的特征，元素不能重復(fù)，屬于基礎(chǔ)題.4．若A={2，3，4}，B={x|x=n·m，m，n∈A，m≠n}，則集合B的元素個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】集合A中取兩個不同的元素共有3中不同取法：2和3,2和4，3和4，它們的乘積結(jié)果是：，所以集合B=，集合B的元素個數(shù)為：3故選B5．已知集合，，則中的元素個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】采用列舉法，分別計(jì)算出的值，結(jié)合集合的互異性，可得集合，從而知集合中的元素個數(shù).【詳解】當(dāng)，分別為時，可得分別為；當(dāng)，分別為時，可得分別為；當(dāng)，分別為時，可得分別為.根據(jù)集合的互異性，可知，共有5個元素.故選：.6．若，，，則M中元素的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義，結(jié)合已知集合，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，故中元素的個數(shù)為.故選：C.7.設(shè)集合，則中元素的個數(shù)為【答案】4【分析】根據(jù)列舉法，寫出集合中元素，即可得出結(jié)果.【詳解】將滿足的整數(shù)對列舉出來，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4個.故答案為：4【題型10集合元素互異性的應(yīng)用】1.有4根火柴棒的長度可以構(gòu)成一個四元數(shù)集，將這4根火柴棒首尾相接連成一個平面四邊形，則這個平面四邊形可能是（

）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個元素互不相等，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】可得四個元素互不相等，則四條邊互不相同，所以不可能圍成矩形、菱形和等腰梯形，有可能連成梯形.故選：A.2.已知一個三角形的三邊長為一個集合的3個元素，該三角形一定不可能是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】根據(jù)集合元素的互異性可以得出答案【詳解】因?yàn)槿切蔚娜呴L為一個集合的3個元素，根據(jù)集合元素的互異性，三角形的三條邊長互不相等，所以一定不可能是等腰三角形.故選：D.3．“mooncake”中的字母構(gòu)成一個集合，該集合的元素個數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)集合的互異性分析求解.【詳解】因?yàn)椤癿ooncake”中的字母有m，o，n，c，a，k，e，其構(gòu)成的集合為，有7個元素.故選：C.【題型11集合的分類】1.（多選）下列集合是有限集的是（

）A．不超過π的正整數(shù)構(gòu)成的集合B．平方后等于自身的數(shù)構(gòu)成的集合C．高一（2）班中體重在55kg以上的同學(xué)構(gòu)成的集合D．所有小于2的整數(shù)構(gòu)成的集合【答案】ABC【分析】不超過的正整數(shù)有1，2，3，據(jù)此可以判斷A；平方后等于自身的數(shù)有0和1，據(jù)此可以判斷B；高一（2）班體重在55以上的同學(xué)個數(shù)一定，據(jù)此可以判斷C；所有小于2的整數(shù)有無數(shù)個，據(jù)此可以判斷D.【詳解】對于A，不超過的正整數(shù)有1，2，3，構(gòu)成的集合是有限集，A對；對于B，平方后等于自身的數(shù)有0和1，構(gòu)成的集集合是有限集，B對；對于C，高一（2）班中體重在以上的同學(xué)人數(shù)一定，構(gòu)成的集合是有限集，C對；對于D，所有小于2的整數(shù)有無數(shù)個，因此構(gòu)成的集合屬于無限集.故選：ABC.2.下列給出的對象能構(gòu)成集合并且為無限集（含有無限個元素的集合）的是（

）A．所有很大的實(shí)數(shù)組成的集合B．滿足不等式的所有整數(shù)解組成的集合C．所有大于的偶數(shù)組成的集合D．所有到軸距離均為1的點(diǎn)組成的集合【答案】C【分析】根據(jù)集合的性質(zhì)、有限和無限集定義，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷對應(yīng)集合是否符合要求即可.【詳解】A：“很大的實(shí)數(shù)”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，故不能組成集合，錯誤；B：滿足不等式的所有整數(shù)解為有限集，錯誤；C：所有大于的偶數(shù)組成的集合為，為無限集，正確；D：所有到軸距離均為1的點(diǎn)組成的集合中只有4個元素，錯誤.故選：C3．設(shè)集合A＝{周長為4cm的正方形}，B＝{面積為4cm2的長方形}，則正確的是（

）A．A，B都是有限集 B．A，B都是無限集C．A是無限集，B是有限集 D．A是有限集，B是無限集【答案】D【分析】先依據(jù)集合A限制條件判定其為是有限集；再依據(jù)集合B限制條件判定其為無限集，進(jìn)而得到正確答案.【詳解】集合A：周長為4cm的正方形，可以解得邊長1cm，這樣的正方形只有1個．所以為有限集．集合B：面積為4cm2的長方形，長與寬可以任意變化，這樣的長方形有無數(shù)個，所以為無限集．故選：D．4.（多選）下列集合是無限集的是（

）A．是能被3整除的數(shù) B．C． D．是面積為1的菱形【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，能被3整除的數(shù)有無數(shù)個，A正確；B選項(xiàng)，滿足的實(shí)數(shù)有無數(shù)個，B正確；C選項(xiàng)，列舉法表示出，為有限集；D選項(xiàng)，面積為1的菱形有無數(shù)個，所以為無限集.【詳解】對于A，能被3整除的數(shù)有無數(shù)個，所以為無限集；對于B，滿足的實(shí)數(shù)有無數(shù)個，所以集合為無限集；對于C，該集合可表示為，為有限集；對于D，面積為1的菱形有無數(shù)個，所以為無限集．故選：ABD．5.用適當(dāng)?shù)男问奖硎鞠铝屑?，并指明它是有限集還是無限集．(1)方程的解集；(2)不等式的解集；(3)被5除余1的自然數(shù)的集合；(4)二次函數(shù)的值組成的集合．【答案】(1)，有限集；(2)，無限集；(3)，無限集；(4)，無限集.【分析】(1)直接解出方程即可，用列舉法；(2)解不等式，解集為無限，用描述法表示；(3)元素有無限個，所以用描述法；(4)代表元素為y，解集為無限集用描述法表示.【詳解】(1)解方程可得解集為，有限集；(2)解不等式可得解集為，無限集；(3)被5除余1的自然數(shù)的集合為，無限集；(4)二次函數(shù)的值組成的集合為，無限集；6.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并指出哪些是有限集，哪些是無限集．(1)大于1且小于70的正整數(shù)構(gòu)成的集合A；(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合C；(3)方程的實(shí)數(shù)根組成的集合D；(4)函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)組成的集合E；(5)不等式的解組成的集合F．【答案】(1)，是有限集(2)，是有限集(3)，是有限集(4)，是無限集(5)，是無限集【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根據(jù)描述寫出集合的描述形式，即可判斷有限或無限.【詳解】（1）由大于1且小于70的正整數(shù)，則，故，是有限集；（2）因?yàn)樾∮?的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，所以，是有限集．（3）方程的實(shí)數(shù)根為、，所以，是有限集．（4）由表示坐標(biāo)系中的曲線，故，是無限集．（5）由，得，所以，是無限集．【題型12根據(jù)集合相等關(guān)系進(jìn)行計(jì)算】1.集合，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)集合相等可知方程有相等實(shí)根2，即可由根與系數(shù)關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)榧希苑匠逃邢嗟葘?shí)根2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)集合的元素求參數(shù)，一元二次方程，屬于容易題.2.設(shè)a，，若集合，則.【答案】0【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，進(jìn)而求出答案．【詳解】由題意可知：，因?yàn)椋瑒t，可得，則，可得，且滿足，所以.故答案為：0.3.已知，集合，且，則.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合相等分析求解即可.【詳解】因?yàn)?，顯然，則，即，可得，此時，可得，所以.故答案為：.4.已知集合，．若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)集合的互異性求出和即可.【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，若，解得，此時，不滿足集合的互異性；若，解得（舍）或，當(dāng)時，，符合題意，所以，所以.故選：B5.已知集合，則.【答案】1【分析】根據(jù)集合相等結(jié)合集合的互異性可得，，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋芍?，可得，則，解得，若，則，不合題意；若，則，符合題意；綜上所述：，.所以.故答案為：1.【題型13根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)】1.若集合，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）.A．或 B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)集合相等可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，則，解得或.故選：D.2．已知集合，且，則（

）A． B．1 C． D．0【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合相等列式求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，且，則，解得.故選：A.3.已知數(shù)集，則由實(shí)數(shù)a的值組成的集合為．【答案】【分析】讓依次等于，得出相應(yīng)的進(jìn)行討論即可求解.【詳解】若，則，此時，故滿足題意；若，則，此時，這違背了集合中元素的互異性，故不滿足題意；若，則，此時，故滿足題意；故所求集合為.故答案為：.4.已知集合M中含有三個元素2，a，b，集合N中含有三個元素2a,2，b2，且兩集合相等，求a，b的值．【答案】a＝0，b＝1或a＝，b＝【詳解】試題分析：根據(jù)集合相等的條件:元素完全相同，建立方程即可得到a，b的值,要注意檢驗(yàn)是否符合集合元素的互異性.試題解析：由題意，得或解得或或經(jīng)檢驗(yàn)，a＝0，b＝0不合題意；a＝0，b＝1或a＝，b＝合題意．所以，a＝0，b＝1或a＝，b＝.鞏固練習(xí)【選擇題】1.下列各組對象不能組成集合的是（

）A．2019籃球世界杯參數(shù)隊(duì)伍 B．中國文學(xué)四大名著C．抗日戰(zhàn)爭中著名的民族英雄 D．我國的直轄市【答案】C【分析】根據(jù)集合中的元素需滿足確定性，一一判斷即可．【詳解】解：A，B，D所表示的對象都能確定，能組成集合，選項(xiàng)C抗日戰(zhàn)爭中著名的民族英雄，怎樣算著名不能確定，不能組成集合，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的概念，集合元素的確定性，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．2.若，，，為集合中的4個元素，則以，，，為邊長構(gòu)成的四邊形可能是（

）A．菱形 B．平行四邊形 C．梯形 D．正方形【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用集合元素的互異性即可判斷得解.【詳解】由，，，為集合中的4個元素，得，，，兩兩不相等，而菱形、正方形的四邊相等，平行四邊形兩組對邊分別相等，則以，，，為邊長構(gòu)成的四邊形不可能為菱形、平行四邊形、正方形，ABD不是；又梯形兩底不等，兩腰可以不等，因此以，，，為邊長構(gòu)成的四邊形可能是梯形，C是.故選：C下列命題中正確的是（

）①與表示同一個集合②由1，2，3組成的集合可表示為或③方程的所有解的集合可表示為④集合可以用列舉法表示A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都對【答案】C【分析】由集合的表示方法判斷①，④；由集合中元素的特點(diǎn)判斷②，③．【詳解】解：對于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正確；對于②，根據(jù)集合中元素的無序性，知②正確；對于③，根據(jù)集合元素的互異性，知③錯誤；對于④，由于該集合為無限集、且無明顯的規(guī)律性，所以不能用列舉法表示，所以④不正確.綜上可得只有②正確.故選：C.4.下列說法正確的是（

）A．，，，是兩個集合 B．中有兩個元素C．是有限集 D．是空集【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義判斷．【詳解】在中，由集合中元素的無序性，得到，，，是同一個集合，故錯誤；在中，中有一個元素，故錯誤；在中，，2，3，，是有限集，故正確；在中，，，不是空集，故錯誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合的概念，掌握集合的概念，集合元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性是解題關(guān)鍵．5.已知集合且，則下列判斷不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知集合表示奇數(shù)集，集合表示偶數(shù)集，是奇數(shù)，是偶數(shù)，然后依次對，，，進(jìn)行判斷即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)集合可知，集合表示奇數(shù)集，集合表示偶數(shù)集，又，所以是奇數(shù)，是偶數(shù)；對于A，因?yàn)閮蓚€奇數(shù)的乘積為奇數(shù)，所以，即A正確；對于B，因?yàn)橐粋€奇數(shù)和一個偶數(shù)的乘積為偶數(shù)，所以，即B正確；對于C，因?yàn)閮蓚€奇數(shù)的和為偶數(shù)，所以，即C正確；對于D，因?yàn)閮蓚€奇數(shù)與一個偶數(shù)的和為偶數(shù)，所以，所以D錯誤；故選：D6.若，則的可能值為（

）A．0，2 B．0，1C．1，2 D．0，1，2【答案】A【分析】根據(jù)，分，，討論求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時，集合為，不成立；當(dāng)時，集合為，成立；當(dāng)時，則（舍去）或，當(dāng)時，集合為，成立；∴或.故選：A7.已知集合，，則集合中的元素的個數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由題知以，即，故，進(jìn)而得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，即所以，故，即集合中的元素的個數(shù)為個.故選：C8.給出下列關(guān)系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)集的定義，即可得答案；【詳解】是實(shí)數(shù)，①正確；是無理數(shù)，②錯誤；－3是整數(shù)，③錯誤；－是無理數(shù)，④正確.所以正確的個數(shù)為2.故選：B.9.（多選）下列說法正確的是（

）A．方程的解集中有兩個元素 B．C．2 D．【答案】CD【分析】利用集合元素的性質(zhì)、元素與集合的關(guān)系判斷作答.【詳解】對于A，方程有等根1，因此方程的解集中只有1個元素，A錯誤；對于B，0是自然數(shù)，B錯誤；對于C，2是最小的質(zhì)數(shù)，C正確；對于D，是正分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，D正確.故選：CD10.（多選）已知集合，則下列屬于集合A的元素有（

）A． B．2 C．4 D．6【答案】BCD【分析】根據(jù)集合中元素的要求求解即可.【詳解】解：由題意得：的取值為，解得滿足要求的為2，4，5，6，7，9，10，11，12，14，20故選：BCD【填空題】1.已知集合，，則的值為.【答案】/【分析】利用元素與集合的關(guān)系得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以是的一個解，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故答案為：2.已知集合，且，則的值為.【答案】3或2【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合的關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)求解即得.【詳解】由，且，得或，解得或，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，不符合元素的互異性，舍；所以的值為3或2.故答案為：3或23.設(shè)集合，則用列舉法表示集合為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，則，對代入檢驗(yàn)，注意集合的元素為坐標(biāo)．【詳解】∵，則可得，則又∵，則當(dāng)成立，當(dāng)成立，∴故答案為：．4.已知集合中有兩個元素，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】由題意可知：有2個不同的實(shí)數(shù)根，利用判別式列式求解即可.【詳解】由題意可知：有2個不同的實(shí)數(shù)根，則，解得且，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.5.已知集合、．若，則．【答案】【分析】根據(jù)、集合的性質(zhì)可得答案.【詳解】由，解得，或，或，或，當(dāng)時，、，滿足，則；當(dāng)時，，構(gòu)不成集合，舍去；當(dāng)時，，構(gòu)不成集合，舍去；當(dāng)時，、，滿足，則；由，解得，或，或，或，當(dāng)時，，構(gòu)不成集合，舍去；當(dāng)時，，構(gòu)不成集合，舍去；當(dāng)時，、，滿足，則；當(dāng)時，、，滿足，則，綜上，，.故答案為：.【解答題】1.試用集合表示圖中陰影部分（含邊界）的點(diǎn).【答案】【分析】直接用集合的描述法將點(diǎn)集表示出來.【詳解】由題意可得，所以圖中陰影部分（含邊界）的點(diǎn)組成的集合為.【點(diǎn)睛】本題考查了用描述法表示點(diǎn)集，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0}中有且只有一個元素，求由實(shí)數(shù)a組成的集合．【答案】【分析】分a＝0和a≠0兩種情況討論得解.【詳解】∵集合A＝{x|ax2+3x+1＝0}中有且只有一個元素，當(dāng)a＝0時，，符合題意；當(dāng)a≠0時，要使A只有一個元素，需要滿足Δ＝9﹣4a＝0，即；綜上所述，由實(shí)數(shù)a組成的集合為．3.數(shù)集M滿足條件：若，則.（1）若，求集合M中一定存在的元素；（2）集合M內(nèi)的元素能否只有一個？請說明理由；（3）請寫出集合M中的元素個數(shù)的所有可能值，并說明理由.【答案】（1）；（2）不能，理由見解析；（3）見解析.【分析】（1）由，令，代入已知關(guān)系式，循環(huán)代入直到再次出現(xiàn)為止，即可得到集合M中的元素.（2）假設(shè)M中只有一個元素a，則，方程無解，即不可能只有一個.（3）由（1）的方法可得集合M中可能出現(xiàn)4個元素分別為：，然后分別檢