第二章點、直線、平面的投影2.1投影的形成及常用的投影方法2.2點的投影2.3直線的投影2.4平面的投影2.5幾何元素間的相對位置2.4平面的投影2.4.1平面的表示方法

用幾何形狀表示三點直線和點兩平行線兩相交線平面圖形a’ab’

c’bc

a’ab’b

c’ca

b’bc’cdd’a’abb’c’ca’a’c’abb’cp372.4.2平面的投影特性1.平面對一個投影面的投影特性平行垂直傾斜ABCabcABCabcABCacb投影特性★平面平行投影面-----投影就把實形現(xiàn)★

平面垂直投影面-----投影積聚成直線

★平面傾斜投影面-----投影類似原平面實形性類似性積聚性p382.平面在三投影面體系中的投影平面的分類：

投影面平行面

投影面垂直面

投影面傾斜面——一般位置平面

正平面

水平面

側(cè)平面

正垂面

鉛垂面

側(cè)垂面特殊位置平面（1）投影面平行面空間及投影分析——平行一個投影面，與另外兩個投影面垂直。投影反映實形投影有積聚性投影特征：在所平行的投影面上的投影反映實形，另外兩個投影積聚成直線，且與相應(yīng)的投影軸平行。a’b’c’a”b”c”a’b’c’acba”b”c”（2）投影面垂直面空間及投影分析——只垂直一個投影面，對另外兩個投影面傾斜。投影有積聚性投影有類似性投影特征：在所垂直的投影面上的投影積聚成直線，它與投影軸的夾角反映了平面與相應(yīng)的投影面之間的夾角；另外兩個投影具有類似性。類似性類似性積聚性（3）一般位置平面空間及投影分析：對三個投影面都傾斜，三個投影都不反映實形，也沒有積聚性。投影特征：三個投影都有類似性a’b’c’abcb”c”a”a’b’c’abc2.4.3平面上的直線和點1.在平面上取任意直線定理1若一直線過平面上的兩點，則直線在平面內(nèi)。定理2若一直線過平面上的一點且平行于平面內(nèi)的一條直線，則該直線在平面內(nèi)。例：已知平面由AB,CD所確定，試在平面上任作一直線。已知平面的投影，如何確定平面上某條直線的投影？a’b’c’abcd’dp42例：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？2.平面上取點面上取點的方法過點在平面內(nèi)作一直線，由直線確定點的位置，這樣就轉(zhuǎn)化為面上取線的問題。例：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。

a’b’c’k’abc

k

ka’b’c’k’abc

bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例：已知平行四邊形對角線AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一解法二2.5幾何元素間的相對位置2.5.1平行問題一.直線與平面平行幾何元素——線與線，線與面，面與面相對位置——平行，相交一般情況：若一直線平行于平面上的某一條直線，則該直線與平面平行。直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行p45gg’n例：直線MN與平面ABC

平行，求MN的水平投影。

a’

b’c’d’abcdk’k例：已知平面P由兩平行線確定，試過K點作一直線與平面P平行，同時與H面平行。

特殊情況：

若一直線平行于投影面垂直面，則具有積聚性的那個投影必與直線的同名投影平行。

a’b’c’abcm’n’mn

●●a

c

b

m

abcmn例：過M點作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？正平線例：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

特殊情況：若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影也平行。

一般情況：若一平面上的兩相交直線對應(yīng)地平行另一平面的兩相交直線，則兩平面平行。二.平面與平面平行a’b’c’abcmnpm’p’n’abca’b’c’d’e’f’g’dfegp46相交問題

直線與直線相交

直線與平面相交

平面與平面相交空間分析：直線與直線相交——交點兩直線的公有點直線與平面相交——交點直線與平面的公有點平面與平面相交——交線兩平面的公有線要解決的問題：

如何求出交點或交線？

幾何元素存在相互遮擋問題，如何判斷可見性？三.直線與平面相交

平面為特殊位置時的情況

直線為特殊位置時的情況我們只討論直線和平面二者至少有一個為特殊位置時的情況。p46dceabe

b

c

d

a

⑴平面為特殊位置例：求直線AB與平面CDE的交點K并判別可見性?？臻g及投影分析平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與ab的交點即為K點的水平投影。①求交點②判別可見性由水平投影可知，KB段在平面前，故正面投影上k

b

為可見。還可通過重影點判別可見性。k

●1

(2

)作圖k●●2●1●p46ka

bc●a

b

ec

d

de⑵直線為特殊位置空間及投影分析直線AB為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于AB上，在后。故k

2

為不可見。1

(2

)k

●2●1●●作圖用面上取點法四.

平面與平面相交我們只討論兩個平面中至少有一個為特殊位置時的情況。

一個平面為特殊位置時的情況

兩個平面均為特殊位置時的情況空間分析：交線——兩平面的公有線；交線上的點——兩面的公有點。因此，只要確定兩平面的兩個公有點或

一個公有點和交線的方向，則交線即可作出。p47可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefc

f

d

b

e

a

m

n

空間及投影分析平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個點便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能否不用重影點判別？例：求兩平面的交線

MN并判別可見性。b

c

f

h

a

e

abcefh1(2)空間及投影分析①求交線②判別可見性點Ⅰ在FH上，點Ⅱ在BC上，點Ⅰ在上，點Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●2

●n●平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a

b

與e

f

的交點m

、b

c

與f

h

的交點n

即為兩個共有點的正面投影，故m

n

即MN的正面投影。n

●m

●1

●例：求兩平面的交線MN并判別可見性。c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析

N點的水平投影n位于Δdef的外面，說明點N在ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不在ΔDEF內(nèi)。所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。n●m

●k●m●k

●n

●

小結(jié)

重點掌握：二、如何在平面上確定直線和點。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面內(nèi)的兩組相交直線對應(yīng)平行。四、直線與平面的交點及平面與平面的交線是兩者的共有點或共有線。解題思路：★空間及投影分析目的是找出交點或交線的已知投影?！锱袆e可見性尤其是如何利用重影點判別。一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。要點一、各種位置平面的投影特性⒈一般位置平面⒉投影面垂直面⒊投影面平行面三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形——類似性。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線——積聚性。另外兩個投影類似。在其平行的投影面上的投影反映實形——實形性。另外兩個投影積聚為直線。二、平面上的點與直線⒈平面上的點一定位于平面內(nèi)的某條直線上⒉平面上的直線⑴過平面上的兩個點。⑵過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。三、平行問題⒈直線與平面平行直線平行于平面內(nèi)的一條直線。⒉兩平面平行必須是一個平面上的一對相交直線對應(yīng)平行于另一個平面上的一對相交直線。四、相交問題⒈求直線與平面的交點的方法⑴一般位置直線與特殊位置平面求交點，利用交點的共有性和平面的積聚性直接求解。⑵投影面垂直線與一般位置平面求交點，利用交點的共有性和直線的積聚性，采取平面上取點的方法