第八章方差分析什么是方差分析?（一個(gè)例子）表8-1該飲料在五家超市的銷售情況超市無(wú)色粉色橘黃色綠色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8【例8.1】某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料。飲料的顏色共有四種，分別為橘黃色、粉色、綠色和無(wú)色透明。這四種飲料的營(yíng)養(yǎng)含量、味道、價(jià)格、包裝等可能影響銷售量的因素全部相同?，F(xiàn)從地理位置相似、經(jīng)營(yíng)規(guī)模相仿的五家超級(jí)市場(chǎng)上收集了前一時(shí)期該飲料的銷售情況，見(jiàn)表8-1。試分析飲料的顏色是否對(duì)銷售量產(chǎn)生影響。什么是方差分析?（例子的進(jìn)一步分析）檢驗(yàn)飲料的顏色對(duì)銷售量是否有影響，也就是檢驗(yàn)四種顏色飲料的平均銷售量是否相同設(shè)

1為無(wú)色飲料的平均銷售量，

2粉色飲料的平均銷售量，

3為橘黃色飲料的平均銷售量，

4為綠色飲料的平均銷售量，也就是檢驗(yàn)下面的假設(shè)H0:1

2

3

4

H1:1,2,3,4不全相等檢驗(yàn)上述假設(shè)所采用的方法就是方差分析一、3組以上數(shù)據(jù)采用t檢驗(yàn)的缺點(diǎn)：1.檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣2.無(wú)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低3.推斷的可靠性低，檢驗(yàn)的I型錯(cuò)誤率大t檢驗(yàn)？由于上述原因，多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用t檢驗(yàn)，須采用方差分析法。ANOVA由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，為紀(jì)念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗(yàn)（Ftest）。用于推斷多個(gè)總體均數(shù)有無(wú)差異

這種方法是將k個(gè)處理的觀測(cè)值作為一個(gè)整體看待，把觀測(cè)值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來(lái)源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來(lái)源總體方差估計(jì)值；通過(guò)計(jì)算這些總體方差的估計(jì)值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。

“方差分析法是一種在若干能相互比較的資料組中，把產(chǎn)生變異的原因加以區(qū)分開(kāi)來(lái)的方法與技術(shù)”，方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測(cè)值變異原因的數(shù)量分析。

幾個(gè)常用術(shù)語(yǔ):1.試驗(yàn)指標(biāo)(experimentalindex)

為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測(cè)定的性狀或觀測(cè)的項(xiàng)目稱為試驗(yàn)指標(biāo)。由于試驗(yàn)?zāi)康牟煌?，選擇的試驗(yàn)指標(biāo)也不相同。在畜禽、水產(chǎn)試驗(yàn)中常用的試驗(yàn)指標(biāo)有：日增重、產(chǎn)仔數(shù)、產(chǎn)奶量、產(chǎn)蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(biāo)(血糖含量、體高、體重)等。2.試驗(yàn)因素(experimentalfactor)

試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素。如研究如何提高豬的日增重時(shí)，飼料的配方、豬的品種、飼養(yǎng)方式、環(huán)境溫濕度等都對(duì)日增重有影響，均可作為試驗(yàn)因素來(lái)考慮。當(dāng)試驗(yàn)中考察的因素只有一個(gè)時(shí)，稱為單因素試驗(yàn)；若同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上的因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響時(shí)，則稱為兩因素或多因素試驗(yàn)。試驗(yàn)因素常用大寫字母A、B、C、…等表示。3.因素水平(leveloffactor)

試驗(yàn)因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級(jí)稱為因素水平，簡(jiǎn)稱水平。如比較3個(gè)品種奶牛產(chǎn)奶量的高低，這3個(gè)品種就是奶牛品種這個(gè)試驗(yàn)因素的3個(gè)水平；研究某種飼料中4種不同能量水平對(duì)肥育豬瘦肉率的影響，這4種特定的能量水平就是飼料能量這一試驗(yàn)因素的4個(gè)水平。

因素水平用代表該因素的字母加添足標(biāo)1，2，…

，來(lái)表示。如A1、A2、…

，B1、B2、…，等。

4.試驗(yàn)處理(treatment)

事先設(shè)計(jì)好的實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目叫試驗(yàn)處理，簡(jiǎn)稱處理。在單因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目就是試驗(yàn)因素的某一水平。例如進(jìn)行飼料的比較試驗(yàn)時(shí)，實(shí)施在試驗(yàn)單位(某種畜禽)上的具體項(xiàng)目就是喂飼某一種飼料。所以進(jìn)行單因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平就是一個(gè)處理。

在多因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目是各因素的某一水平組合。例如進(jìn)行3種飼料和3個(gè)品種對(duì)豬日增重影響的兩因素試驗(yàn)，整個(gè)試驗(yàn)共有3×3=9個(gè)水平組合，實(shí)施在試驗(yàn)單位(試驗(yàn)豬)上的具體項(xiàng)目就是某品種與某種飼料的結(jié)合。所以，在多因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平組合就是一個(gè)處理。5.試驗(yàn)單位(experimentalunit)

在試驗(yàn)中能接受不同試驗(yàn)處理的獨(dú)立的試驗(yàn)載體叫試驗(yàn)單位。在畜禽、水產(chǎn)試驗(yàn)中，一只家禽、一頭家畜、一只小白鼠、一尾魚(yú)，即一個(gè)動(dòng)物；或幾只家禽、幾頭家畜、幾只小白鼠、幾尾魚(yú)，即一組動(dòng)物都可作為試驗(yàn)單位。試驗(yàn)單位往往也是觀測(cè)數(shù)據(jù)的單位。6.重復(fù)(repetition)

在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱為處理有重復(fù)；一處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說(shuō)這個(gè)處理(飼料)有4次重復(fù)。1方差分析的基本原理與步驟

本節(jié)結(jié)合單因素試驗(yàn)結(jié)果的方差分析介紹其原理與步驟。一、線性模型與基本假定假設(shè)某單因素試驗(yàn)有k個(gè)處理，每個(gè)處理有n次重復(fù)，共有nk個(gè)觀測(cè)值。這類試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式如表1所示。

表1k個(gè)處理每個(gè)處理有n個(gè)觀測(cè)值的數(shù)據(jù)模式

表中表示第i個(gè)處理的第j個(gè)觀測(cè)值（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；表示第i個(gè)處理n個(gè)觀測(cè)值的和；表示全部觀測(cè)值的總和；表示第i個(gè)處理的平均數(shù)；表示全部觀測(cè)值的總平均數(shù)；可以分解為(1)

表示第i個(gè)處理觀測(cè)值總體的平均數(shù)。為了看出各處理的影響大小，將再進(jìn)行分解，令

(2)(3)則

(4)

其中μ表示全試驗(yàn)觀測(cè)值總體的平均數(shù)；ai是第i個(gè)處理的效應(yīng)（treatmenteffects）表示處理i對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響。顯然有

(5)εij是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N（0，σ2）。（4）式叫做單因素試驗(yàn)的線性模型（linearmodel）亦稱數(shù)學(xué)模型。在這個(gè)模型中Xii表示為總平均數(shù)μ、處理效應(yīng)αi、試驗(yàn)誤差εij之和。

由εij相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布N（0，σ2），可知各處理Ai(i=1，2，…，k)所屬總體亦應(yīng)具正態(tài)性，即服從正態(tài)分布N(μi,σ2)。盡管各總體的均數(shù)

可以不等或相等，σ2則必須是相等的。所以，單因素試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型可歸納為：效應(yīng)的可加性（additivity）、分布的正態(tài)性（normality）、方差的同質(zhì)性（homogeneity）。這也是進(jìn)行其它類型方差分析的前提或基本假定。

若將表（1）中的觀測(cè)值xij（i=1,2,…,k;j=1,2,…,n）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（模型）用樣本符號(hào)來(lái)表示，則（6）與（4）比較可知

（4）、（6）兩式告訴我們：每個(gè)觀測(cè)值都包含處理效應(yīng)（μi-μ或），與誤差（或)，故kn個(gè)觀測(cè)值的總變異可分解為處理間的變異和處理內(nèi)的變異兩部分。二、平方和與自由度的剖分在方差分析中是用樣本方差即均方（meansquares）來(lái)度量資料的變異程度的。表1中全部觀測(cè)值的總變異可以用總均方來(lái)度量?？傋儺愄幚黹g變異處理內(nèi)變異總平方和（總df）處理間平方和（處理間df）處理內(nèi)平方和（處理內(nèi)df）

（一）總平方和的剖分在表6-1中，反映全部觀測(cè)值總變異的總平方和是各觀測(cè)值xij與總平均數(shù)的離均差平方和，記為SST。即因?yàn)?/p>

其中所以（7）（7）式中，為各處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離均差平方和與重復(fù)數(shù)n的乘積，反映了重復(fù)n次的處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSt，即(7)式中，為各處理內(nèi)離均差平方和之和，反映了各處理內(nèi)的變異即誤差，稱為處理內(nèi)平方和或誤差平方和，記為SSe，即于是有

SST

=SSt+SSe

（8）這個(gè)關(guān)系式中三種平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算公式如下：

(9)

其中，C=/kn稱為矯正數(shù)。（二）總自由度的剖分在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各個(gè)觀測(cè)值要受這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測(cè)值的總個(gè)數(shù)減1，即kn-1?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT=kn-1。dfT＝kn-1；dft＝k-1；dfe＝kn-k

因?yàn)樗?/p>

(10)

綜合以上各式得：

(11)

各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方，分別記為MST（或）、MSt（或）和MSe（或）。即（12）總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方?！纠?】某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對(duì)魚(yú)的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚(yú)20尾，隨機(jī)分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個(gè)月試驗(yàn)以后，各組魚(yú)的增重結(jié)果列于下表。

表2飼喂不同飼料的魚(yú)的增重（單位：10g）

這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，處理數(shù)k=4，重復(fù)數(shù)n=5。各項(xiàng)平方和及自由度計(jì)算如下：矯正數(shù)總平方和處理間平方和處理內(nèi)平方和

總自由度處理間自由度處理內(nèi)自由度用SSt、SSe分別除以dft和dfe便得到處理間均方MSt及處理內(nèi)均方MSe。因?yàn)榉讲罘治鲋胁簧婕翱偩降臄?shù)值，所以不必計(jì)算之。三、期望均方方差分析的一個(gè)基本假定是要求各處理觀測(cè)值總體的方差相等，即（i=1,2,…,k）表示第i個(gè)處理觀測(cè)值總體的方差。如果所分析的資料滿足這個(gè)方差同質(zhì)性的要求，那么各處理的樣本方差S21，S22，…

，S2k都是σ2的無(wú)偏估計(jì)（unbiasedestimate）量。

S2i(i=1,2,…,k)是由試驗(yàn)資料中第i個(gè)處理的n個(gè)觀測(cè)值算得的方差。

顯然，各S2i的合并方差（以各處理內(nèi)的自由度n-1為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)）也是σ2的無(wú)偏估計(jì)量，且估計(jì)的精確度更高。很容易推證處理內(nèi)均方MSe就是各的合并。

其中SSi、dfi（i=1，2，…，k）分別表示由試驗(yàn)資料中第i個(gè)處理的n個(gè)觀測(cè)值算得的平方和與自由度。這就是說(shuō)，處理內(nèi)均方MSe是誤差方差σ2的無(wú)偏估計(jì)量。試驗(yàn)中各處理所屬總體的本質(zhì)差異體現(xiàn)在處理效應(yīng)的差異上。我們把稱為效應(yīng)方差，它也反映了各處理觀測(cè)值總體平均數(shù)的變異程度，記為。

四、F分布與F檢驗(yàn)（一）F分布設(shè)想我們作這樣的抽樣試驗(yàn)，即在一正態(tài)總體N（μ，σ2）中隨機(jī)抽取樣本含量為n的樣本k個(gè)，將各樣本觀測(cè)值整理成表1的形式。此時(shí)所謂的各處理沒(méi)有真實(shí)差異，各處理只是隨機(jī)分的組。因此，由（12）式算出的和都是誤差方差的估計(jì)量。以為分母，為分子，求其比值。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把兩個(gè)均方之比值稱為F值。即

（14）F具有兩個(gè)自由度：若在給定的k和n的條件下，繼續(xù)從該總體進(jìn)行一系列抽樣，則可獲得一系列的F值。這些F值所具有的概率分布稱為F分布（Fdistribution）。F分布密度曲線是隨自由度df1、df2的變化而變化的一簇偏態(tài)曲線，其形態(tài)隨著df1、df2的增大逐漸趨于對(duì)稱，如圖1所示。圖1F分布的取值范圍是（0，+∞），其平均值=1。用表示F分布的概率密度函數(shù)，則其分布函數(shù)為：

(15)因而F分布右尾從到+∞的概率為：

(16)

附表4列出的是不同df1和df2下，P（F≥）=0.05和P（F≥）=0.01時(shí)的F值，即右尾概率α=0.05和α=0.01時(shí)的臨界F值，一般記作，。(二)F檢驗(yàn)附表4是專門為檢驗(yàn)代表的總體方差是否比

代表的總體方差大而設(shè)計(jì)的。若實(shí)際計(jì)算的F值大于，則F值在α=0.05的水平上顯著，我們以95%的可靠性(即冒5%的風(fēng)險(xiǎn))推斷代表的總體方差大于代表的總體方差。這種用F值出現(xiàn)概率的大小推斷兩個(gè)總體方差是否相等的方法稱為F檢驗(yàn)(F-test)。

在方差分析中所進(jìn)行的F檢驗(yàn)?zāi)康脑谟谕茢嗵幚黹g的差異是否存在，檢驗(yàn)?zāi)稠?xiàng)變異因素的效應(yīng)方差是否為零。因此，在計(jì)算F值時(shí)總是以被檢驗(yàn)因素的均方作分子，以誤差均方作分母。應(yīng)當(dāng)注意，分母項(xiàng)的正確選擇是由方差分析的模型和各項(xiàng)變異原因的期望均方?jīng)Q定的。

在單因素試驗(yàn)結(jié)果的方差分析中，無(wú)效假設(shè)為H0：μ1=μ2=…=μk，備擇假設(shè)為HA：各μi不全相等，或H0

：=0,HA:≠0；

F=MSt/MSe，也就是要判斷處理間均方是否顯著大于處理內(nèi)(誤差)均方。如果結(jié)論是肯定的，我們將否定H0；反之，不否定H0。

反過(guò)來(lái)理解：如果H0是正確的，那么MSt與MSe都是總體誤差σ2的估計(jì)值，理論上講F值等于1；如果H0是不正確的，那么MSt之期望均方中的就不等于零，理論上講F值就必大于1。但是由于抽樣的原因，即使H0正確，F(xiàn)值也會(huì)出現(xiàn)大于1的情況。所以，只有F值大于1達(dá)到一定程度時(shí)，才有理由否定H0。

實(shí)際進(jìn)行F檢驗(yàn)時(shí)，是將由試驗(yàn)資料所算得的F值與根據(jù)df1=dft(大均方，即分子均方的自由度)、df2=dfe(小均方，即分母均方的自由度)查附表4所得的臨界F值，相比較作出統(tǒng)計(jì)推斷的。若F＜，即P＞0.05，不能否定H0，統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把這一檢驗(yàn)結(jié)果表述為：各處理間差異不顯著，在F值的右上方標(biāo)記“ns”，或不標(biāo)記符號(hào)；

若≤F＜，即0.01＜P≤0.05，否定H0，接受HA，統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把這一檢驗(yàn)結(jié)果表述為：各處理間差異顯著，在F值的右上方標(biāo)記“*”；若F≥，即P≤0.01，否定H0，接受HA，統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把這一檢驗(yàn)結(jié)果表述為：各處理間差異極顯著，在F值的右上方標(biāo)記“**”。

對(duì)于【例1】：因?yàn)?/p>

F=MSt/MSe=38.09/5.34=7.13**；根據(jù)df1=dft=3，df2=dfe=16查附表4，得F0.01(3，16)；因?yàn)镕＞F0.01(3，16)=5.29,P＜0.01

表明四種不同飼料對(duì)魚(yú)的增重效果差異極顯著，用不同的飼料飼喂，增重是不同的。

表3表2資料方差分析表

在方差分析中，通常將變異來(lái)源、平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表，見(jiàn)表3。

在實(shí)際進(jìn)行方差分析時(shí)，只須計(jì)算出各項(xiàng)平方和與自由度，各項(xiàng)均方的計(jì)算及F檢驗(yàn)可在方差分析表上進(jìn)行。五、多重比較統(tǒng)計(jì)上把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較(multiplecomparisons)。多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)

（一）最小顯著差數(shù)法(LSD法，leastsignificantdifference)此法的基本作法是：1、F檢驗(yàn)顯著2、計(jì)算出顯著水平為α的3、與其比較。

若＞LSDα?xí)r，則與在α水平上差異顯著；反之，則在α水平上差異不顯著。(17)

式中：為在F檢驗(yàn)中誤差自由度下，顯著水平為α的臨界t值，為均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤，由(18)式算得。

(18)其中為F檢驗(yàn)中的誤差均方，n為各處理的重復(fù)數(shù)。

當(dāng)顯著水平α=0.05和0.01時(shí)，從t值表中查出

和，代入(17)式得：

(19)

LSD法步驟：(1)列出平均數(shù)的多重比較表比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；(2)計(jì)算最小顯著差數(shù)和；(3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與、比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。

表4例1中四種飼料平均增重的多重比較結(jié)果

(LSD法)Step1計(jì)算和查t值表得：

t0.05(dfe)=t0.05(16)=2.120t0.01(dfe)=t0.01(16)=2.921

所以，顯著水平為0.05與0.01的最小顯著差數(shù)為Step2

將表4中的6個(gè)差數(shù)與，比較：

小于，標(biāo)記“ns”，或不標(biāo)記符號(hào)；介于與之間標(biāo)記“*”；大于，標(biāo)記“**”。Step3結(jié)果

關(guān)于LSD

法的應(yīng)用有以下幾點(diǎn)說(shuō)明：

1、LSD法實(shí)質(zhì)上就是t檢驗(yàn)法。它解決了本章開(kāi)頭指出的檢驗(yàn)法檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣，無(wú)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差且估計(jì)誤差的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低這兩個(gè)問(wèn)題。但LSD法并未解決推斷的可靠性降低、犯I型錯(cuò)誤的概率變大的問(wèn)題。2、因?yàn)長(zhǎng)SD法實(shí)質(zhì)上是t檢驗(yàn)，故有人指出其最適宜的比較形式是：在進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)就確定各處理只是固定的兩個(gè)兩個(gè)相比，每個(gè)處理平均數(shù)在比較中只比較一次。例如，在一個(gè)試驗(yàn)中共有4個(gè)處理，設(shè)計(jì)時(shí)已確定只是處理1與處理2、處理3與處理4(或1與3、2與4；或1與4、2與3)比較，而其它的處理間不進(jìn)行比較。因?yàn)檫@種比較形式實(shí)際上不涉及多個(gè)均數(shù)的極差問(wèn)題，所以不會(huì)增大犯I型錯(cuò)誤的概率。

綜上所述，對(duì)于多個(gè)處理平均數(shù)所有可能的兩兩比較，LSD法的優(yōu)點(diǎn)在于方法比較簡(jiǎn)便，克服一般檢驗(yàn)法所具有的某些缺點(diǎn)，但是由于沒(méi)有考慮相互比較的處理平均數(shù)依數(shù)值大小排列上的秩次，故仍有推斷可靠性低、犯I型錯(cuò)誤概率增大的問(wèn)題。為克服此弊病，統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了最小顯著極差法。(二)最小顯著極差法(LSR法,Leastsignificantranges)

LSR法的特點(diǎn)是把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)(稱為秩次距)k的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗(yàn)尺度叫做最小顯著極差LSR。

因?yàn)長(zhǎng)SR法是一種極差檢驗(yàn)法，所以當(dāng)一個(gè)平均數(shù)大集合的極差不顯著時(shí)，其中所包含的各個(gè)較小集合極差也應(yīng)一概作不顯著處理。

LSR法克服了LSD法的不足，但檢驗(yàn)的工作量有所增加。常用的LSR法有q檢驗(yàn)法和新復(fù)極差法兩種。

1、q檢驗(yàn)法(qtest)

此法是以統(tǒng)計(jì)量q的概率分布為基礎(chǔ)的。q值由下式求得：

(20)

式中，ω為極差，為標(biāo)準(zhǔn)誤，分布依賴于誤差自由度dfe及秩次距k。利用q檢驗(yàn)法進(jìn)行多重比較時(shí)，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，不是將由(20)式算出的q值與臨界q值比較，而是將極差與比較，從而作出統(tǒng)計(jì)推斷。即為α水平上的最小顯著極差。(21)

當(dāng)顯著水平α=0.05和0.01時(shí)，從附表5(q值表)中根據(jù)自由度及秩次距k查出和代入(21)式得

(22)

實(shí)際利用q檢驗(yàn)法進(jìn)行多重比較時(shí)，可按如下步驟進(jìn)行：(1)列出平均數(shù)多重比較表；

(2)由自由度dfe、秩次距k查臨界q值，計(jì)算最小顯著極差LSR0.05,k，LSR0.01,k；

(3)將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應(yīng)的最小顯著極差LSR0.05,k,LSR0.01,k比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。對(duì)于【例1】，各處理平均數(shù)多重比較表同表4。在表4中，極差1.54、1.68、3.22的秩次距為2；極差3.22、4.90的秩次距為3；極差6.44的秩次距為4。

因?yàn)?，MSe=5.34，故標(biāo)準(zhǔn)誤為根據(jù)dfe=16，k=2，3，4由附表5查出α=0.05、0.01水平下臨界q值，乘以標(biāo)準(zhǔn)誤求得各最小顯著極差，所得結(jié)果列于表5。

表5q值及LSR值

將表4中的極差1.54、1.68、3.22與表5中的最小顯著極差3.099、4.266比較；將極差3.22、4.90與3.770、4.948比較；將極差6.44與4.184、5.361比較。檢驗(yàn)結(jié)果，除A4與

A3的差數(shù)3.22由LSD法比較時(shí)的差異顯著變?yōu)椴町惒伙@著外，其余檢驗(yàn)結(jié)果同法。2、新復(fù)極差法(newmultiplerangemethod)

此法是由鄧肯(Duncan)于1955年提出，故又稱Duncan法，此法還稱SSR法(shortestsignificantranges)。新復(fù)極差法與q檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)步驟相同，唯一不同的是計(jì)算最小顯著極差時(shí)需查SSR表(附表6)而不是查q值表。最小顯著極差計(jì)算公式為

(23)

其中是根據(jù)顯著水平α、誤差自由度dfe、秩次距k，由SSR表查得的臨界SSR，。α=0.05和α=0.01水平下的最小顯著極差為：

(24)

對(duì)于【例6.1】，各處理均數(shù)多重比較表同表4。已算出=1.033，依dfe=16k=2,3,4,由附表6查臨界SSR0.05(16,k)和SSR0.01(16,k)值，乘以=1.033，求得各最小顯著極差，所得結(jié)果列于表6-6。

表6SSR值與LSR值

將表4中的平均數(shù)差數(shù)(極差)與表6中的最小顯著極差比較，檢驗(yàn)結(jié)果與q檢驗(yàn)法相同。當(dāng)各處理重復(fù)數(shù)不等時(shí)，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，不論LSD法還是LSR法，可用(6-25)式計(jì)算出一個(gè)各處理平均的重復(fù)數(shù)n0，以代替計(jì)算或所需的n。

(25)

式中k為試驗(yàn)的處理數(shù)，(i=1,2,…,k)為第i處理的重復(fù)數(shù)。

以上介紹的三種多重比較方法，其檢驗(yàn)尺度有如下關(guān)系：

LSD法≤新復(fù)極差法≤q檢驗(yàn)法當(dāng)秩次距k=2時(shí)，取等號(hào)；秩次距k≥3時(shí)，取小于號(hào)。在多重比較中，LSD法的尺度最小，q檢驗(yàn)法尺度最大，新復(fù)極差法尺度居中。用上述排列順序前面方法檢驗(yàn)顯著的差數(shù)，用后面方法檢驗(yàn)未必顯著；用后面方法檢驗(yàn)顯著的差數(shù)，用前面方法檢驗(yàn)必然顯著。一般地講，一個(gè)試驗(yàn)資料，究竟采用哪一種多重比較方法，主要應(yīng)根據(jù)否定一個(gè)正確的H0和接受一個(gè)不正確的H0的相對(duì)重要性來(lái)決定。如果否定正確的H0是事關(guān)重大或后果嚴(yán)重的，或?qū)υ囼?yàn)要求嚴(yán)格時(shí)，用檢驗(yàn)法較為妥當(dāng)；如果接受一個(gè)不正確的H0是事關(guān)重大或后果嚴(yán)重的，則宜用新復(fù)極差法。生物試驗(yàn)中，由于試驗(yàn)誤差較大，常采用新復(fù)極差法；F檢驗(yàn)顯著后，為了簡(jiǎn)便，也可采用LSD法。(三)多重比較結(jié)果的表示法各平均數(shù)經(jīng)多重比較后，應(yīng)以簡(jiǎn)明的形式將結(jié)果表示出來(lái)，常用的表示方法有以下兩種。

1、三角形法此法是將多重比較結(jié)果直接標(biāo)記在平均數(shù)多重比較表上，如表4所示。此法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便直觀，缺點(diǎn)是占的篇幅較大。

2、標(biāo)記字母法此法是先將各處理平均數(shù)由大到小自上而下排列；然后在最大平均數(shù)后標(biāo)記字母，并將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)依次相比，凡差異不顯著標(biāo)記同一字母，直到某一個(gè)與其差異顯著的平均數(shù)標(biāo)記字母b；

再以標(biāo)有字母b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與上方比它大的各個(gè)平均數(shù)比較，凡差異不顯著一律再加標(biāo)b

，直至顯著為止；再以標(biāo)記有字母b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與下面各未標(biāo)記字母的平均數(shù)相比，凡差異不顯著，繼續(xù)標(biāo)記字母b，直至某一個(gè)與其差異顯著的平均數(shù)標(biāo)記c；……；如此重復(fù)下去，直至最小一個(gè)平均數(shù)被標(biāo)記、比較完畢為止。這樣，各平均數(shù)間凡有一個(gè)相同字母的即為差異不顯著，凡無(wú)相同字母的即為差異顯著。用小寫拉丁字母表示顯著水平α=0.05，用大寫拉丁字母表示顯著水平α=0.01。在利用字母標(biāo)記法表示多重比較結(jié)果時(shí)，常在三角形法的基礎(chǔ)上進(jìn)行。此法的優(yōu)點(diǎn)是占篇幅小，在科技文獻(xiàn)中常見(jiàn)。

對(duì)于【例1】，現(xiàn)根據(jù)表4所表示的用新復(fù)極差法進(jìn)行多重比較結(jié)果用字母標(biāo)記如表7所示(注意，用新復(fù)極差法進(jìn)行多重比較，表4中A4與A3的差數(shù)3.22在α=0.05的水平上不顯著，其余的與LSD法同)。表7表4多重比較結(jié)果的字母標(biāo)記(SSR法)

在表7中，先將各處理平均數(shù)由大到小自上而下排列。當(dāng)顯著水平α=0.05時(shí)，先在平均數(shù)31.18行上標(biāo)記字母a；由于31.18與27.96之差為3.22，在α=0.05水平上顯著，所以在平均數(shù)27.96行上標(biāo)記字母b；然后以標(biāo)記字母b的平均數(shù)27.96與其下方的平均數(shù)26.28比較，差數(shù)為1.68，在α=0.05水平上不顯著，所以在平均數(shù)26.28行上標(biāo)記字母b；再將平均數(shù)27.96與平均數(shù)24.74比較，差數(shù)為3.22，在α=0.05水平上不顯著，所以在平均數(shù)24.74行上標(biāo)記字母b。類似地，可以在α=0.01將各處理平均數(shù)標(biāo)記上字母，結(jié)果見(jiàn)表6-7。q檢驗(yàn)結(jié)果與SSR法檢驗(yàn)結(jié)果相同。

由表7看到，A1飼料對(duì)魚(yú)的平均增重極顯著地高于A2和A3飼料，顯著高于A4飼料；A4、A2、A3三種飼料對(duì)魚(yú)的平均增重差異不顯著。四種飼料其中以A1飼料對(duì)魚(yú)的增重效果最好。應(yīng)當(dāng)注意，無(wú)論采用哪種方法表示多重比較結(jié)果，都應(yīng)注明采用的是哪一種多重比較法。

七、方差分析的基本步驟方差分析的基本步驟歸納如下：（一）計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度；（二）列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)；（三）若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較。多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法：包括q檢驗(yàn)法和新復(fù)極差法)。表示多重比較結(jié)果的方法有三角形法和標(biāo)記字母法。第二節(jié)單因素試驗(yàn)資料的方差分析根據(jù)各處理內(nèi)重復(fù)數(shù)是否相等，單因素試驗(yàn)資料的方差分析又分為重復(fù)數(shù)相等和重復(fù)數(shù)不等兩種情況。一、各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析

【例3】抽測(cè)5個(gè)不同品種的若干頭母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表12，試檢驗(yàn)不同品種母豬平均窩產(chǎn)仔數(shù)的差異是否顯著。表12五個(gè)不同品種母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)

這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，k=5,n=5?，F(xiàn)對(duì)此試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析如下：

1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)表13不同品種母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)的方差分析表

根據(jù)df1=dft=4,df2=dfe=20查臨界F值得：F0.05(4,20)=2.87,F0.05(4,20)=4.43

因?yàn)镕＞F0.01(4,20)，即P＜0.01，表明品種間產(chǎn)仔數(shù)的差異達(dá)到1%顯著水平。

3、多重比較采用新復(fù)極差法，各處理平均數(shù)多重比較表見(jiàn)表14。

表14不同品種母豬的平均窩產(chǎn)仔數(shù)多重比較表(SSR法)

因?yàn)镸Se=3.14,n=5，所以為：根據(jù)dfe=20，秩次距k=2，3，4，5由附表6查出α=0.05和α=0.01的各臨界SSR值，乘以=0.7925，即得各最小顯著極差，所得結(jié)果列于表15。

表15SSR值及LSR值二、各處理重復(fù)數(shù)不等的方差分析設(shè)處理數(shù)為k；各處理重復(fù)數(shù)為n1,n2,…,nk；試驗(yàn)觀測(cè)值總數(shù)為N=Σni。則

(28)【例4】5個(gè)不同品種豬的育肥試驗(yàn)，后期30天增重(kg)如表16所示。試比較品種間增重有無(wú)差異。表165個(gè)品種豬30天增重

此例處理數(shù)k=5，各處理重復(fù)數(shù)不等?，F(xiàn)對(duì)此試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析如下：

1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度

2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)臨界F值為：F0.05(4,20)=2.87,F0.01(4,20)=4.43，因?yàn)槠贩N間的F值5.99＞F0.01(4,20)，P＜0.01，表明品種間差異極顯著。

表175個(gè)品種育肥豬增重方差分析表3、多重比較采用新復(fù)極差法，各處理平均數(shù)多重比較表見(jiàn)表18。因?yàn)楦魈幚碇貜?fù)數(shù)不等，應(yīng)先由(25)式計(jì)算出平均重復(fù)次數(shù)n0來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)誤中的n，此例于是，標(biāo)準(zhǔn)誤為：表185個(gè)品種育肥豬平均增重多重比較表(SSR法)

根據(jù)dfe=20，秩次距k=2,3,4,5，從附表6中查出α=0.05與α=0.01的臨界SSR值，乘以=0.625，即得各最小顯極差，所得結(jié)果列于表19。

表19SSR值及LSR值表第三節(jié)兩因素試驗(yàn)資料的方差分析

兩因素試驗(yàn)資料的方差分析是指對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)同時(shí)受到兩個(gè)試驗(yàn)因素作用的試驗(yàn)資料的方差分析。兩因素試驗(yàn)按水平組合的方式不同，分為交叉分組和系統(tǒng)分組兩類，因而對(duì)試驗(yàn)資料的方差分析方法也分為交叉分組方差分析和系統(tǒng)分組方差分析兩種。

一、交叉分組資料的方差分析設(shè)試驗(yàn)考察A、B兩個(gè)因素，A因素分a個(gè)水平，B因素分b個(gè)水平。所謂交叉分組是指A因素每個(gè)水平與B因素的每個(gè)水平都要碰到，兩者交叉搭配形成ab個(gè)水平組合即處理，試驗(yàn)因素A、B在試驗(yàn)中處于平等地位。試驗(yàn)單位分成ab個(gè)組，每組隨機(jī)接受一種處理，因而試驗(yàn)數(shù)據(jù)也按兩因素兩方向分組。這種試驗(yàn)以各處理是單獨(dú)觀測(cè)值還是有重復(fù)觀測(cè)值又分為兩種類型。(一)兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)資料的方差分析對(duì)于A、B兩個(gè)試驗(yàn)因素的全部ab個(gè)水平組合，每個(gè)水平組合只有一個(gè)觀測(cè)值，全試驗(yàn)共有ab個(gè)觀測(cè)值，其數(shù)據(jù)模式如表20所示。

表20兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式表20中

兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)資料的數(shù)學(xué)模型為：

(29)

式中，μ為總平均數(shù)；αi，βj分別為Ai、Bj的效應(yīng):αi=μi-μ,βj=μj-μ,μi、

μj分別為Ai、Bj觀測(cè)值總體平均數(shù)，且Σαi=0,Σβj=0;εijl為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從N(0，σ2)。

交叉分組兩因素單獨(dú)觀測(cè)值的試驗(yàn)，A因素的每個(gè)水平有b次重復(fù)，B因素的每個(gè)水平有a次重復(fù)，每個(gè)觀測(cè)值同時(shí)受到A、B兩因素及隨機(jī)誤差的作用。因此全部ab個(gè)觀測(cè)值的總變異可以剖分為A因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗(yàn)誤差三部分；自由度也相應(yīng)剖分。平方和與自由度的剖分式如下：(30)

各項(xiàng)平方和與自由度的計(jì)算公式為:矯正數(shù)總平方和A因素平方和B因素平方和(31)

誤差平方和SSe=SST-SSA-SSB

總自由度dfT=ab-1A因素自由度dfA=a-1B因素自由度dfB=b-1

誤差自由度dfe=dfT

-dfA

–dfB

=(a-1)(b-1)相應(yīng)均方為【例5】為研究雌激素對(duì)子宮發(fā)育的影響，現(xiàn)有4窩不同品系未成年的大白鼠，每窩3只，隨機(jī)分別注射不同劑量的雌激素，然后在相同條件下試驗(yàn)，并稱得它們的子宮重量，見(jiàn)表21，試作方差分析。表21各品系大白鼠注射不同劑量雌激素的子宮重量(g)

這是一個(gè)兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)資料。A因素(品系)有4個(gè)水平，即a=4；B因素(雌激素注射劑量)有3個(gè)水平，即b=3，共有a×b=3×4=12個(gè)觀測(cè)值。方差分析如下：

1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度

2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)表22表21資料的方差分析表

根據(jù)df1=dfA=3,df2=dfe=6查臨界F值，F(xiàn)0.01(3,6)=9.78；根據(jù)df1=dfB=2，df2=dfe=6查臨界F值，F(xiàn)0.01(2,6)=10.92。因?yàn)锳因素的F值23.77＞F0.01(3,6)，P＜0.01，表明不同品系間差異極顯著；B因素的F值33.54＞F0.01(2,6)，P＜0.01，表明不同雌激素劑量間差異極顯著。也就是說(shuō)不同品系和不同雌激素劑量對(duì)大白鼠子宮的發(fā)育均有極顯著影響，有必要進(jìn)一步對(duì)A、B兩因素不同水平的平均測(cè)定結(jié)果進(jìn)行多重比較。3、多重比較（1）不同品系的子宮平均重量比較

表23各品系子宮平均重量多重比較（q法）

在兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)情況下，因?yàn)锳因素(本例為品系)每一水平的重復(fù)數(shù)恰為B因素的水平數(shù)b，故A因素的標(biāo)準(zhǔn)誤，此例b=3,MSe=90.5556，故根據(jù)dfe=6，秩次距k=2,3,4從附表5中查出α=0.05和α=0.01的臨界q值，與標(biāo)準(zhǔn)誤相乘，計(jì)算出最小顯著極差LSR，結(jié)果見(jiàn)表24。

表24q值及LSR值

檢驗(yàn)結(jié)果表明，A1、A

3品系與A2、A

4品系的子宮平均重量均有極顯著的差異；但A1與A

3及A2與A4品系間差異不顯著。

(2)不同激素劑量的子宮平均重量比較

表25不同雌激素劑量的子宮平均重量多重比較(q法)

在兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)情況下，B因素(本例為雌激素劑量)每一水平的重復(fù)數(shù)恰為A因素的水平數(shù)a，故B因素的標(biāo)準(zhǔn)誤，此例a=4，MSe=90.5556。故根據(jù)dfe=6，秩次距k=2,3查臨界q值并與相乘，求得最小顯著極差LSR，見(jiàn)表26。

表26q值與LSR值檢驗(yàn)結(jié)果表明，注射雌激素劑量為0.8mg的大白鼠子宮重量極顯著大于注射劑量為0.4mg和0.2mg的子宮重量，而后兩種注射劑量的子宮重量間也有顯著差