PAGEPAGE1專題16平面對量的數(shù)量積及應(yīng)用一、考綱要求:1.理解平面對量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面對量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.駕馭數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面對量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積推斷兩個平面對量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡潔的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡潔的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題．二、概念駕馭及解題上的留意點(diǎn)：1.向量數(shù)量積的兩種計算方法1當(dāng)已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cosθ.2當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝x1，y1，b＝x2，y2，則a·b＝x1x2＋y1y2.2.向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用類型與求解策略(1)求兩向量的夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，要留意θ∈[0，π]．(2)兩向量垂直的應(yīng)用：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).②|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).③若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).(4)射影的數(shù)量(投影)a在b上的投影|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|).三、高考考題題例分析：例1．(2024·全國卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________.【答案】7【解析】∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．又a＋b與a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.例2.(2024·北京高考)已知點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2,0)，O為原點(diǎn)，則eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值為________.【答案】6【解析】法一：依據(jù)題意作出圖象，如圖所示，A(－2,0)，P(x，y)．由點(diǎn)P向x軸作垂線交x軸于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,0)．eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))||eq\o(AP,\s\up6(→))|cosθ，|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\r(x＋22＋y2)，cosθ＝eq\f(AQ,AP)＝eq\f(x＋2,\r(x＋22＋y2))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝2(x＋2)＝2x＋4.點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值為2＋4＝6.例3.(2024·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.【答案】2eq\r(3).【解析】法一：|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq\r(22＋4×2×1×cos60°＋4×12)＝eq\r(12)＝2eq\r(3).法二：(數(shù)形結(jié)合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2eq\r(3).例4(2015高考安徽，理8)是邊長為的等邊三角形，已知向量，滿意，，則下列結(jié)論正確的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】如圖，例5(2024高考山東理數(shù))已知非零向量m，n滿意4│m│=3│n│，cos<m，n>=.若n⊥（tm+n），則實(shí)數(shù)t的值為（）（A）4 （B）–4 （C） （D）–【答案】B【解析】：由，可設(shè)，又，所以所以，故選B.例6.(2024高考新課標(biāo)2理數(shù))已知向量，且，則（）（A）－8（B）－6（C）6（D）8【答案】D【解析】：向量，由得，解得，故選D.例7.(2024天津，理13)在中，，，.若，，且，則的值為___________.【答案】【解析】,則例8.（2024課標(biāo)卷II）已知向量，滿意||=1，=﹣1，則?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【解析】：向量，滿意||=1，=﹣1，則?（2）=2﹣=2+1=3，故選：B．例9.（2024課標(biāo)卷III）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），則λ=．【答案】平面對量數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)選擇題：1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝()A．－1 B．0C．1 D．2【答案】C2．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b與b垂直，則|a|＝A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．4【答案】C【解析】：由已知得2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0?－3＋x2＝0?x2＝3，所以|a|＝eq\r(1＋x2)＝eq\r(4)＝2．3．在邊長為1的等邊△ABC中，設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝()A．－eq\f(3,2) B．0C．eq\f(3,2) D．3【答案】A【解析】：依題意有a·b＋b·c＋c·a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2).4.線段AD，BE分別是邊長為2的等邊三角形ABC在邊BC，AC邊上的高，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(3,2)B．eq\f(3,2)C．－eq\f(3\r(3),2)D．eq\f(3\r(3),2)【答案】A【解析】：由等邊三角形的性質(zhì)得|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))〉＝120°，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(BE,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))〉＝eq\r(3)×eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，故選A.5．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，點(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影為()A．－eq\f(3\r(2),2) B．－3eq\r(5)C．eq\f(3\r(2),2) D．3eq\r(5)【答案】C6．若向量a＝(2，－1)，b＝(3－x,2)，c＝(4，x)滿意(6a－b)·c＝8，則x等于()A．4B．5【答案】D【解析】：因?yàn)?a－b＝(9＋x，－8)，所以(6a－b)·c＝36＋4x－8x＝8，解得x＝7，故選D.7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3sinα，cosα)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，且eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，則tanα的值為()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(4,5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(3,4)【答案】A【解析】：由題意知6sin2α＋cosα·(5sinα－4cosα)＝0，即6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，上述等式兩邊同時除以cos2α，得6tan2α＋5tanα－4＝0，由于α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，則tanα<0，解得tanα＝－eq\f(4,3)，故選A．8.設(shè)向量a，b滿意|a＋b|＝4，a·b＝1，則|a－b|＝()A．2 B．2eq\r(3)C．3 D．2eq\r(5)【答案】B【解析】：由|a＋b|＝4兩邊平方可得|a|2＋|b|2＝16－2a·b＝14，則|a－b|＝eq\r(|a－b|2)＝eq\r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝eq\r(12)＝2eq\r(3)，故選B．9.已知平面對量a，b的夾角為120°，且a·b＝－1，則|a－b|的最小值為()A.eq\r(6)B．eq\r(3)C.eq\r(2)D．1【答案】eq\r(6)10．已知兩點(diǎn)A(－1,1)，B(3,5)，點(diǎn)C在曲線y＝2x2上運(yùn)動，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最小值為()A．2 B．eq\f(1,2)C．－2 D．－eq\f(1,2)【答案】D【解析】：設(shè)C(x0,2xeq\o\al(2,0))，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝(4,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x0＋1,2xeq\o\al(2,0)－1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝8xeq\o\al(2,0)＋4x0＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)≥－eq\f(1,2)，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最小值為－eq\f(1,2)，故選D.11.O是平面上一點(diǎn)，動點(diǎn)P滿意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，則動點(diǎn)P的軌跡肯定通過△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．垂心 D．重心【答案】A【解析】∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝1，∴λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))表示與∠A的平分線共線的向量．又eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))即eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，∴P肯定在∠A的平分線上，即P點(diǎn)肯定通過△ABC的內(nèi)心．12．已知a，b均為單位向量，且a·b＝0．若|c－4a|＋|c－3b|＝5，則|c＋a|的取值范圍是A．[3，eq\r(10)] B．[3,5]C．[3,4] D．[eq\r(10)，5]【答案】B【解析】：∵a，b均為單位向量，且a·b＝0，∴設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，填空題：13.設(shè)向量a與b的夾角為θ，若a＝(3，－1)，b－a＝(－1,1)，則cosθ＝________.【答案】eq\f(3\r(10),10)【解析】：由題意得向量b＝(b－a)＋a＝(2,0)，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3×2＋－1×0,\r(10)×2)＝eq\f(3\r(10),10)14．若非零向量a，b滿意|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥(3a－b)，則a與b夾角的余弦值為________．【答案】eq\f(1,4)【解析】：由(a＋b)⊥(3a－b)可得(a＋b)·(3a－b)＝0，又|a|＝1，|b|＝2，則可得a·b＝eq\f(1,2)，設(shè)a，b的夾角為θ，θ∈[0，π]，則cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(1,4).15.已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為________【答案】eq\f(7,12)16．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，若△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則△OAB的面積為________.【答案】1【解析】：由題意得，|a|＝1，又△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|.由eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，由|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0.所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，故S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1.解答題:17．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°.(1)計算：①|(zhì)a＋b|，②|4a－2b|；(2)當(dāng)k為何值時，(a＋2b)⊥(ka－b)．【答案】(1)|a＋b|＝4eq\r(3)；|4a－2b|＝16eq\r(3)(2)k＝－7【解析】：由已知得，a·b＝4×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－16.18.如圖4-3-1，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3cosx,3sinx)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3cosx，sinx)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，0)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).圖4-3-1(1)求證：(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))⊥eq\o(OC,\s\up6(→))；(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．【答案】(2)x＝eq\f(π,6)【解析】(1)證明：eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,2sinx)，∴(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0×eq\r(3)＋2sinx×0＝0，∴(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))⊥eq\o(OC,\s\up6(→)).(2)若△ABC是等腰三角形，則AB＝BC，∴(2sinx)2＝(3cosx－eq\r(3))2＋sin2x，整理得2cos2x－eq\r(3)cosx＝0，解得cosx＝0，或cosx＝eq\f(\r(3),2).∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosx＝eq\f(\r(3),2)，x＝eq\f(π,6).19.已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)，sin\f(3x,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)，－sin\f(x,2)))，且x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4))).(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．【答案】(1)a·beq\f(x,2)＝cos2x；|a＋b|＝2cosx.(2)最小值－eq\f(3,2)；最大值－1.20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m與n的夾角為eq\f(π,3)，求x的值．【答案】(1)tanx＝1.(2)x＝eq\f(5π,12).【解析】：(1)因?yàn)閙＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因?yàn)閨m|＝|n|＝1，所以m·n＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，因?yàn)?＜x＜eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)＜x－eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)，所以x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12).21.已知函數(shù)f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－eq\r(3)sin2x)，b＝(cosx,1)，x∈R