2024—2025學年高二（下）質(zhì)檢聯(lián)盟第一次月考數(shù)學注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊第五章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1若函數(shù)滿足，則（）A. B.4 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義合理變形即可.【詳解】.故選：C.2.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)的求導法則即可得到答案.【詳解】因為，則.故選：B.3.如圖，直線是曲線在點處的切線，則（）A.1 B.2 C. D.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖形，利用兩點表示直線的斜率，結(jié)合導數(shù)的幾何意義計算即可求解.【詳解】由圖可知，切線過點，所以切線的斜率為，又由導數(shù)的幾何意義知.故選：A4.已知火箭發(fā)射秒后，其高度（單位：米）為，則火箭發(fā)射后第5秒時，火箭爬高的瞬時速度為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求導得，計算即可.【詳解】，則火箭發(fā)射后第5秒時，火箭爬高的瞬時速度為.故選：B.5.“”是“函數(shù)有極值”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】對函數(shù)求導，根據(jù)的解析式得到函數(shù)有極值的充要條件，再判斷的情況即可.【詳解】，所以，若函數(shù)有極值點，則方程的判別式大于，即，整理得：，解得，所以是函數(shù)有極值的充要條件，所以“”是“函數(shù)有極值”的充分不必要條件.故選：B6.已知定義在上的函數(shù)滿足，，其導函數(shù)滿足，則（）A. B.16 C.12 D.24【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)，求出,進而賦值得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，由，則,則，令，則，令，則.故選：D.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在上遞增，得到在上恒成立，由此得到不等式，再反解得到，，構(gòu)造函數(shù)，，利用導函數(shù)求出的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值即可求解.【詳解】由，得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，，整理得：，，令，，則，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，且為最小值，所以.故選：B8.函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為．若，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導確定在R上單調(diào)遞減，不等式等價于，即，運算得解.【詳解】令，則，，，即在R上單調(diào)遞減，又，則不等式等價于，，即，，解得.所以不等式的解集為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.B.C.有2個極大值點，1個極小值點D.的單調(diào)遞減區(qū)間為，【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)單調(diào)性和極值與導函數(shù)圖象一一分析即可.【詳解】對A，由圖知當時，，此時單調(diào)遞減，則f?1>f1，故A錯誤；對B，當時，，此時單調(diào)遞增，則，故B正確；對C，由圖知，當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞減，則為的極大值點；，當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，則為的極小值點；，當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞減，則為的極大值點；則有2個極大值點，1個極小值點，故C正確；對D，當時，，當時，，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故D正確.故選：BCD.10.若函數(shù)的定義域為，且存在，使得，則稱是的一個“二倍階值點”．下列四個函數(shù)中，存在“二倍階值點”的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先對函數(shù)求導，得到關(guān)于的方程，根據(jù)“二倍階值點”的定義，探究方程的解是否存在，逐個選項進行判斷即可求解.【詳解】對于A，，，由得，解得，所以函數(shù)存“二倍階值點”，A正確；對于B，，，由得，因為，，解得，所以函數(shù)存在“二倍階值點”，B正確；對于C，，，由得，令，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，有極小值也是最小值，所以無解，所以函數(shù)不存“二倍階值點”，C錯誤；對于D，，，由得，令，，所以上單調(diào)遞增，又，，根據(jù)零點存在性定理可知在上存在零點，所以方程有解，所以函數(shù)存在“二倍階值點”，D正確；故選：ABD11.若，，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用作差法，適當放縮比較、和、的大小，得到、、的大小關(guān)系即可求解.【詳解】，，，，所以，，所以，所以，所以B、C、D正確，A錯誤.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數(shù)，則________．【答案】6【解析】【分析】求導得，代入即可得到答案.【詳解】，則，解得.故答案為：6.13.如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導，那么在開區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使得，其中稱為“拉格朗日中值”．函數(shù)在上的“拉格朗日中值”為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“拉格朗日中值”的定義及函數(shù)的導數(shù)得到方程，解方程即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)的“拉格朗日中值”為，根據(jù)已知條件有：，因為，，所以，，根據(jù)題意有：，整理得：，因為，所以.故答案為：14.已知函數(shù)有三個不同的零點，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由可得，令，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性可知，設(shè)，由圖象可知，函數(shù)有兩個不等的零點、，且，，利用二次函數(shù)的零點分布可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，由可得，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，且當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，由圖象可知，函數(shù)有兩個不等的零點、，且，，若，解得，此時，，由可得或，不合乎題意；若，可得，則，由，解得，不合乎題意；所以，，，所以，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若曲線與軸相交于點，求該曲線在點處的切線方程；（2）若曲線上點的切線與坐標軸圍成的三角形面積為，求點的坐標．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求出曲線與軸的交點坐標，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而求出切線方程；（2）設(shè)出點的坐標，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的方程，進而求出切線與坐標軸圍成的三角形面積，運算得解.【小問1詳解】由，令，得，所以曲線與軸的交點為，又，則曲線在點處切線的斜率為，所以曲線在點處切線的方程為，即.【小問2詳解】設(shè)，，，則切線的斜率，所以切線的方程為，即，，令，得，令，得，所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為，解得，所以點的坐標為或.16.已知函數(shù)．（1）若在上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）若，求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意知方程在R上有解，結(jié)合計算即可求解；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】由題意知，，因為在R上不單調(diào)，所以方程在R上有變號零點，即方程在R上有兩解，得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】當時，，則，令或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以在上的值域為.17.將一個邊長為2分米的正八邊形硬紙片的八個角截去八個全等的四邊形，再把它沿虛線折起，如圖所示，做成一個無蓋的正八棱柱紙盒（忽略紙片厚度）．（參考數(shù)據(jù)：）（1）試把該正八棱柱紙盒的容積（單位：立方分米）表示為盒底正八邊形邊長（單位：分米）的函數(shù)．（2）試問當盒底正八邊形邊長為何值時，這個正八棱柱紙盒的容積最大？容積的最大值是多少立方分米？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出八邊形內(nèi)角，根據(jù)幾何關(guān)系將正八棱柱的底面積和高用表示，即可求解；（2）對求導，利用導數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，求得最大值即可求解.【小問1詳解】根據(jù)已知條件，得到如上圖所示圖形，已知條件有正八邊形的內(nèi)角為，所以，，，設(shè)，，在中，，解得，在中，，，所以，所以，正八邊形面積為：，所以正八棱柱紙盒的容積：，.即，.【小問2詳解】因為，，所以，，所以，，所以當時，，單調(diào)遞增，所以當時，，單調(diào)遞減，由此可知當時，取得極大值即最大值.18.已知函數(shù)，，．（1）求的單調(diào)區(qū)間．（2）若的最大值為1，證明：對任意的，．（3）當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）求導，分別令和，即可得到對應的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）根據(jù)題意求出參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可證明；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值進而列出不等式求解即可.【小問1詳解】的定義域為，令得，令得，令得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）知，，，要證，即證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)，則，令得，令得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，即恒成之，當且僅當時等號成立.，，使得，恒成立，故對于任意的，.【小問3詳解】當時，，若恒式立,即恒式立，即，即恒成立，由（2）可知恒成立，當且僅當時等號成立，令，則恒成立，在單調(diào)遞增，，使得成立，，，所以．19.若連續(xù)函數(shù)的極值點是函數(shù)的零點，為函數(shù)的導函數(shù)，且存在實數(shù)滿足，則稱是的強化原生函數(shù)，記的最大值為，則為的強化原生系數(shù)．已知函數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)，證明有唯一極值點，并求出滿足的整數(shù)的值．（2）設(shè)函數(shù)，函數(shù)．已知是的強化原生函數(shù)．（i）證明：．（ii）求的強化原生系數(shù)的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）利用零點存在性定理得有唯一零點，驗證單調(diào)性可知也為極值點，根據(jù)范圍求即得；（2）（i）利用強化原生函數(shù)定義，由的極值點是的零點，代入韋達定理化簡得，再構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可證明；（ii）由不等式代入韋達定理可得，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求最值.【小問1詳解】證明：依題意得，則，設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，