卓越聯(lián)盟2024—2025學(xué)年高二第二學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊(cè)第五章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列求導(dǎo)正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)槭浅?shù)，所以，故A錯(cuò)誤；，所以B錯(cuò)誤；，所以C錯(cuò)誤；，D正確.故選：D2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于等于0得出函數(shù)增區(qū)間即可.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即的單調(diào)遞增區(qū)間是．故選：A.3.已知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)在上的圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞減C.在上不單調(diào) D.在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷區(qū)間符合，進(jìn)而得到原函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性，判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由圖，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A不正確；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故C不正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不正確．故選：B4.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，由函數(shù)單調(diào)遞增，得到導(dǎo)函數(shù)恒成立，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題處理即可，注意檢驗(yàn)導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)不構(gòu)成區(qū)間.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，則，得．經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)在上單調(diào)遞增.故選：C.5.若函數(shù)在上有極值，則的取值可能是（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，將函數(shù)有極值問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩不等實(shí)根，通過求二次函數(shù)的值域即得的取值范圍.【詳解】函數(shù)在上有極值，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，也即方程在上有兩不等實(shí)根，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故需使.故選：B.6.函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過求與直線平行的切線到該直線的距離求解答案.【詳解】由題意，，令，得（負(fù)值已舍去）．因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行．因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以所求最小值為．故選：C.7.已知函數(shù)，則的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間.【詳解】由，則，令，解得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，.故選：D.8.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，再將不等式變形，借助的單調(diào)性即可求解.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞增．又不等式，等價(jià)于，即，所以，所以，解得．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.過點(diǎn)向曲線作切線，切線方程可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾可意義，再結(jié)合題設(shè)條件得到，解得或，即可求解.【詳解】令，則，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，將點(diǎn)代入，整理得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線方程為．故答案為：AC.10.若函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在，使得，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，是它的平均值點(diǎn)．若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的平均值點(diǎn)，則的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得原題意等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合圖象分析可解得的取值范圍，即可判斷.【詳解】∵函數(shù)在上有兩個(gè)不同的平均值點(diǎn)，∴方程在有兩個(gè)不同的根，即在有兩個(gè)不同的根.∴直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn).則，令，解得；令，解得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且，，故.故選：BC.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則C.存在，使D.若不等式恒成立，則【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A：利用導(dǎo)數(shù)求解出函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值求解結(jié)果，選項(xiàng)B：由，得，所以然后進(jìn)行換元，將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，得到，選項(xiàng)C：因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，,則轉(zhuǎn)化為得到結(jié)果，選項(xiàng)D:將問題表述通過代數(shù)變形轉(zhuǎn)化為即．利用的單調(diào)性結(jié)合，等價(jià)于，轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．由上單調(diào)遞減，得，所以A正確．由，得，所以．易知函數(shù)在上單調(diào)遞增．令，則，所以，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，故B正確．因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，所以由，得，故C錯(cuò)誤．由，得，所以，即．令，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，所以，所以，，故正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則__________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?.13.將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為的小正方形，做成一個(gè)無蓋方盒．若該方盒的容積最大為432，則__________.【答案】【解析】【分析】由題意可知方盒的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，方盒高為，則，進(jìn)而可得方盒的容積為，.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可知在處取得最大值，列方程即可求解.【詳解】由題意可知方盒的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，方盒高為，則.所以無蓋方盒的容積為，.則，令，解得；令，解得.∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值即最大值，所以，，解得，即該方盒的邊長(zhǎng)為.故答案為：.14.已知函數(shù)，的定義域均為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù)，則的極小值點(diǎn)為__________．【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)性質(zhì)得出的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得答案.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以，所以．因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以的極小值點(diǎn)為．故答案為:四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求、；（2）求在上的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1），（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出，，可得出關(guān)于、方程組，即可解出、的值；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間和增區(qū)間.【小問1詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，，所以，．且?dāng)，時(shí)，，則，令可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)在處取得極大值，合乎題意，因此，，．【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.16.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的極值；（2）若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）極大值為，無極小值（2）【解析】【分析】（1）由曲線在點(diǎn)處的切線方程為，得到從而求出的值，確定函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)研究極值即可；（2）將恰有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)．通過研究函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，所以得所以，所以（）．令，得或（舍去）．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值為，無極小值．【小問2詳解】因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)解，所以關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)解，即直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)．令，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在（0，e）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)．故的取值范圍是．17.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若0為的極大值點(diǎn)，且極小值為，求；（3）若的導(dǎo)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，在對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，的大小進(jìn)行討論得到不同情況時(shí)函數(shù)的單調(diào)性.（2）利用極值點(diǎn)和極小值結(jié)合小問（1）中求出的值.（3）因?yàn)橹挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，所以關(guān)于的方程恰有一個(gè)異號(hào)根．然后結(jié)合結(jié)合曲線可知，，求解出．【小問1詳解】因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，得，．當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．【小問2詳解】由（1）知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，此時(shí)0為極大值點(diǎn)，極小值為．令，．因?yàn)?，所以在?，2）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋裕拘?詳解】令，則．因?yàn)橹挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，所以關(guān)于的方程恰有一個(gè)異號(hào)根．顯然當(dāng)時(shí)，方程無解，所以曲線與直線恰有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合曲線可知，，解得．18.已知函數(shù)．（1）若在（0，1）上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍；（3）若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再分和討論正負(fù)得出即可求解；（2）把恒成立問題化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性得出最大值即可；（3）把恒成立問題化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出最值即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意，所以．令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)樵冢?，1）上不單調(diào)，所以，得．【小問2詳解】因?yàn)閷?duì)恒成立，所以對(duì)恒成立．當(dāng)時(shí)，不等式成立．當(dāng)時(shí)，得．令，，則．令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故的取值范圍為．【小問3詳解】因?yàn)閷?duì)恒成立，所以對(duì)恒成立．令，則，．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，而．當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，恒成立．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以在?nèi)存在，使得．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，不符合題意．故的取值范圍是．19.定義：若函數(shù)與在公共定義域內(nèi)存在，使得，則稱與為“契合函數(shù)”，為“契合點(diǎn)”．（1）若函數(shù)和為“契合函數(shù)”，求的取值范圍．（2）已知函數(shù)和為“契合函數(shù)”且有兩個(gè)“契合點(diǎn)”．①求的取值范圍；②若，證明：．【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為與有交點(diǎn)，求導(dǎo)后可得單調(diào)性，進(jìn)而確定圖象，結(jié)合圖象可求得結(jié)果；（2）①令，采用同構(gòu)法可得，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可求得圖象，結(jié)合單調(diào)性可將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可求得的范圍；②根據(jù)與的兩個(gè)不同交點(diǎn)為，采用比值代換的方式，令，將表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】由題意知：與的公共定義域?yàn)?，令，即，，令，若與為“契合函數(shù)”，則與有交點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，，，即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，即；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；大致圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，與有交點(diǎn)，即當(dāng)與為“契合函數(shù)”時(shí)，的取值范圍為.【小問2詳解】①由題意知：與的公共定義域?yàn)?，令，則，即；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞