*3.1立體角

計(jì)算圖a的立體角整個(gè)球面的對(duì)球心所張的立體角是4π球面度。

計(jì)算圖b的立體角立體角的正負(fù)

rOθnnraO＇nθ＇b立體角的正負(fù)

高斯定理

面元矢量*3.2電通量

1、電通量的定義

通過(guò)面元dS的電通量根據(jù)定義式確定電通量的正負(fù)（見(jiàn)上圖）2、不同曲面的電通量（1）任意曲面通過(guò)非閉合曲面的電通量*（2）任意閉合曲面規(guī)定：取閉合面外法線方向?yàn)檎?，則通過(guò)閉合曲面的電通量*3.3高斯定理的表述和證明

表述：通過(guò)一個(gè)任意閉合曲面S的電通量等于該面所包圍的所有電量的代數(shù)和除以，與閉合面外的電荷無(wú)關(guān)。

公式表示：

Gauss面通過(guò)任意閉合曲面的電通量Gauss面上的場(chǎng)強(qiáng)，是所有電荷產(chǎn)生的場(chǎng)面內(nèi)電量的代數(shù)和，與面外電荷無(wú)關(guān)*高斯定理的證明

（1）通過(guò)包圍點(diǎn)電荷q的同心球面的電通量都等于

點(diǎn)電荷q被任意球面包圍，設(shè)q>0，場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性*（2）通過(guò)包圍點(diǎn)電荷q的閉合曲面的電通量都等于

對(duì)整個(gè)閉合面S有包圍一個(gè)點(diǎn)電荷的任意曲面上的電通量等于結(jié)果與電力平方反比律分不開(kāi)*（3）通過(guò)不包圍點(diǎn)電荷的任意閉合面S的電通量恒為0閉合曲面不包圍點(diǎn)電荷，dS′與dS所對(duì)的立體角則電通量也有對(duì)于閉合面S’+S，總通量為結(jié)論：通過(guò)不包圍點(diǎn)電荷的閉合曲面的電通量為零*

(4)多個(gè)點(diǎn)電荷被任意閉合曲面包圍設(shè)帶電體系由n個(gè)點(diǎn)電荷組成，其中k個(gè)在閉合面內(nèi)，n-k個(gè)在閉合面外由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，通過(guò)閉合面的總通量為*討論：Gauss定理說(shuō)明閉合面內(nèi)的電荷決定通過(guò)閉合面的電通量,只要S內(nèi)電荷不為零，則通量不為零——有源正電荷——

噴泉形成的流速場(chǎng)——

源負(fù)電荷——

有洞水池中的流速場(chǎng)——匯閉合面外的電荷雖然對(duì)通量沒(méi)有貢獻(xiàn)，但并不意味著不影響閉合面上的電場(chǎng)，高斯面上的場(chǎng)強(qiáng)是空間所有帶電體所產(chǎn)生的高斯定理是靜電場(chǎng)的一條重要的定理，有其重要的理論地位，是靜電場(chǎng)基本方程之一，它是由庫(kù)侖定律導(dǎo)出的，反映了電力平方反比律，如果電力平方反比律不滿足，則高斯定理也不成立。*3.4球?qū)ΨQ的電場(chǎng)

說(shuō)明：當(dāng)場(chǎng)強(qiáng)的分布具有一定的對(duì)稱性時(shí)，才能夠直接運(yùn)用高斯定理補(bǔ)充：對(duì)稱性原理*例題6

利用高斯定理求電荷面密度均勻的帶電球殼產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分布。在球坐標(biāo)下分析：球殼電荷均勻分布，圍繞任一直徑都是旋轉(zhuǎn)不變——場(chǎng)強(qiáng)分布也不變，但旋轉(zhuǎn)時(shí)E

和E

變——只有E

＝0和E

＝0只有徑向分量Er不為零，r相同Er相同——場(chǎng)呈球?qū)ΨQ分布*根據(jù)場(chǎng)的對(duì)稱性做高斯面求出通過(guò)Gauss面的通量

結(jié)論：球殼內(nèi)E=0；球殼外與點(diǎn)電荷場(chǎng)相同*P26例題7利用例題6的結(jié)果，球外一樣在球內(nèi)任意取半徑為r的Gauss面注意計(jì)算r<R時(shí)，高斯面內(nèi)所包圍的電量為體電荷*3.5軸對(duì)稱的電場(chǎng)

例題8

(p27)

求無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電棒外的場(chǎng)強(qiáng)分布在柱坐標(biāo)下分析作平面П1和П2柱體對(duì)П1鏡像反射變換是不變的——場(chǎng)分布也不變但此變換下Eφ分量反向，只有Eφ＝0柱體對(duì)П2鏡像反射變換是不變的——場(chǎng)分布也不變但此變換下Ez分量反向，只有Ez＝0剩下唯一不可能等于0的分量只有Er無(wú)限長(zhǎng)圓柱體具有沿z方向的平移不變性

——等r處Er相等——軸對(duì)稱性*設(shè)棒上線電荷密度為+

e作高斯面——以細(xì)棒為對(duì)稱軸的圓柱（l長(zhǎng)）求出通過(guò)Gauss面的通量E⊥dSE是常數(shù)*3.6無(wú)限大帶電平面的電場(chǎng)

求均勻帶正電的無(wú)限大平面的電場(chǎng)分布，設(shè)電荷的面密度為σe。對(duì)稱性分析在直角坐標(biāo)下分析對(duì)yz平面，鏡像反射變換不變,場(chǎng)也不變——Ex=0對(duì)zx平面鏡像反射變換不變，場(chǎng)也不變——Ey=0只有Ez不為零，無(wú)限大平面自身具有平移不變性，Ez與場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)無(wú)關(guān)例題9(p28)*結(jié)論：均勻帶電的無(wú)限大平面板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小與場(chǎng)點(diǎn)到平面的距離無(wú)關(guān)圖示c板間場(chǎng)強(qiáng)為何？EΔS＝0？*討論：

以上三例電荷分布分別具有球?qū)ΨQ性、軸對(duì)稱性、面對(duì)稱性，電荷分布的對(duì)稱性決定了場(chǎng)的對(duì)稱性。用Gauss定理可以計(jì)算具有強(qiáng)對(duì)稱性場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)通量要好算注意選取合適的Gauss面Gauss定理可以和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理結(jié)合起來(lái)運(yùn)用，計(jì)算各種球?qū)ΨQ性、軸對(duì)稱性、面對(duì)稱性的場(chǎng)。上述三個(gè)例子的結(jié)論可以作為已知結(jié)論運(yùn)用，例如求兩塊無(wú)限大帶電平面板的場(chǎng)分布求均勻帶電球體內(nèi)外的場(chǎng)分布求均勻帶電的無(wú)限