PAGEPAGE12.1平面對(duì)量的實(shí)際背景及基本概念[核心必知]1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入依據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P74～P76的內(nèi)容，回答下列問題．(1)我們?cè)谖锢碇袑W(xué)習(xí)了位移、速度、力等，這些量與我們?nèi)粘Ｉ钪械哪挲g、身高、體重、面積、體積等有什么區(qū)分？提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年齡、身高、體重、面積、體積等只有大小，沒有方向．(2)對(duì)既有大小，又有方向的量，如何形象、直觀地表示出來？提示：用有向線段．(3)若向量a與向量b相等，則它們應(yīng)具備什么條件？提示：長度相等且方向相同．2．歸納總結(jié)，核心必記(1)向量的概念數(shù)學(xué)中，我們把像力、位移等這種既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)有向線段帶有方向的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度．(3)向量的表示方法①向量可以用有向線段表示．向量的大小，也就是向量的長度(或稱模)，記作||.②用字母表示向量：通常在印刷時(shí)，用黑體小寫字母a，b，c，…表示向量，在手寫時(shí)用帶箭頭的小寫字母，，，…表示向量．也可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，例如，，.(4)幾種特別的向量①零向量：長度為0的向量，叫做零向量，記作0.②單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量．③相等向量：長度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，假如向量a和b平行，記作a∥b；規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對(duì)于隨意向量a，都有0∥a.[問題思索](1)兩個(gè)向量能比較大小嗎？提示：不能．因?yàn)橄蛄渴蔷哂蟹较虻牧浚?2)向量就是有向線段，這種說法對(duì)嗎？提示：不對(duì)，向量與有向線段是兩個(gè)不同的概念，可以用有向線段表示向量．(3)“若a∥b，且b∥c，則a∥c”這個(gè)說法對(duì)嗎？提示：不對(duì)，若b＝0，則a、c均可以是隨意向量，所以a、c不肯定平行．平面幾何中平行的傳遞性：a∥b，且b∥c，則a∥c，在向量的平行中并不適用．解題時(shí)我們也要充分考慮0的特別性．[課前反思](1)向量的概念：；(2)有向線段：；(3)向量的表示方法：；(4)零向量：；(5)單位向量：；(6)相等向量：；(7)平行向量(共線向量)：.學(xué)問點(diǎn)1向量的有關(guān)概念講一講1．(1)下列說法中正確的是()A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小C．向量的大小與方向有關(guān)D．向量的?？梢员容^大小(2)下列說法中正確的有()①單位向量的長度大于零向量的長度；②零向量與任一單位向量平行；③因?yàn)槠叫邢蛄恳步凶鞴簿€向量，所以平行向量所在的直線也肯定共線；④因?yàn)橄嗟认蛄康南嗟汝P(guān)系具有傳遞性，所以平行向量的平行關(guān)系也具有傳遞性；⑤因?yàn)橄嗟认蛄靠隙ㄊ瞧叫邢蛄?，所以平行向量也肯定是相等向量．A．①②B．①②④C．①③⑤D．①②③[嘗試解答](1)不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A，B不正確；向量的大小即為向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關(guān)，故C不正確；向量的模是一個(gè)數(shù)量，可以比較大小，故D正確．(2)①正確，因?yàn)閱挝幌蛄康拈L度為1，零向量的長度為0.②正確．③錯(cuò)誤，平行向量所在的直線可能不共線．④錯(cuò)誤，平行向量的平行關(guān)系不具有傳遞性．⑤錯(cuò)誤，平行向量不肯定是相等向量．答案：(1)D(2)A類題·通法解決與向量概念有關(guān)問題的方法解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個(gè)單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0；規(guī)定零向量與任一向量共線．只有緊緊抓住概念的核心才能順當(dāng)解決與向量概念有關(guān)的問題．練一練1．下列說法錯(cuò)誤的有________．(填上你認(rèn)為全部符合的序號(hào))(1)兩個(gè)單位向量不行能平行；(2)兩個(gè)非零向量平行，則它們所在直線平行；(3)當(dāng)兩個(gè)向量a，b共線且方向相同時(shí)，若|a|＞|b|，則a＞b.解析：(1)錯(cuò)誤，單位向量也可以平行；(2)錯(cuò)誤，兩個(gè)非零向量平行，則它們所在直線還可能重合；(3)錯(cuò)誤，兩個(gè)向量是不能比較大小的，只有?？梢员容^大小．答案：(1)(2)(3)學(xué)問點(diǎn)2向量的表示講一講2．(1)如圖，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，可以寫出________個(gè)向量．(2)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：①，使||＝4eq\r(2)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；②，使||＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；③，使||＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.[嘗試解答](1)由向量的幾何表示可知，可以寫出12個(gè)向量，它們分別是，，，，，，，，，，，.(2)①由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝4eq\r(2)，小方格邊長為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量如圖所示．②由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且||＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量如圖所示．③由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且||＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為3eq\r(3)≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量如圖所示．答案：(1)12類題·通法用有向線段表示向量的方法用有向線段表示向量時(shí)，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最終依據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn)．必要時(shí)，需依據(jù)直角三角形學(xué)問求出向量的方向(即夾角)或長度(即模)，選擇合適的比例關(guān)系作出向量．練一練2．一輛汽車從A動(dòng)身向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn)，然后變更方向向西偏北50°走了200km到達(dá)C點(diǎn)，又變更方向，向東行駛了100km到達(dá)D點(diǎn)．(1)作出向量、、；(2)求汽車從A點(diǎn)到D點(diǎn)的位移大小||.解：(1)向量、、如圖所示．(2)由題意，易知與方向相反，故與共線．又||＝||，所以在四邊形ABCD中，AB綊CD，所以四邊形ABCD為平行四邊形，所以||＝||＝200km.學(xué)問點(diǎn)3相等向量與共線向量[思索1]兩個(gè)向量相等的條件是什么？提示：方向相同，模相等．[思索2]兩個(gè)向量共線的條件是什么？名師指津：兩個(gè)非零向量的方向相同或相反，則這兩個(gè)向量為平行向量，也叫做共線向量.0與隨意向量共線．講一講3．如圖所示，已知點(diǎn)O為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形OAED，OCFB都是正方形．(1)與相等的向量有________，與相等的向量有________；(2)與共線的向量有____________________；(3)與的模相等的向量有____________________．[嘗試解答](1)依據(jù)相等向量定義可知＝，＝.(2)依據(jù)共線向量的定義可知，與共線的向量為，，.(3)易知||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.答案：(1)(2)，，(3)，，，，，，類題·通法找尋共線向量或相等向量的方法(1)找尋共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，留意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．(2)找尋相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是與已知向量方向相同的向量．練一練3．如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的eq\f(1,3)處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形，設(shè)△ABC的邊長為a，圖中列出了長度均為eq\f(a,3)的若干個(gè)向量，則(1)與向量相等的向量有________；(2)與向量共線，且模相等的向量有________；(3)與向量共線，且模相等的向量有________．解析：向量相等?向量方向相同且模相等．向量共線?表示有向線段所在的直線平行或重合．答案：(1)，(2)，，，，(3)，，，，[課堂歸納·感悟提升]1．本節(jié)課的重點(diǎn)是向量的概念、向量的表示方法及幾種特別的向量，難點(diǎn)是幾種特別向量的概念及應(yīng)用．2．要重點(diǎn)駕馭向量的三個(gè)問題(1)向量有關(guān)概念的辨析，見講1；(2)向量的表示，見講2；(3)相等向量與共線向量的應(yīng)用，見講3.3．本節(jié)課要留意兩個(gè)區(qū)分(1)向量與數(shù)量①數(shù)量只有大小沒有方向，向量既有大小又有方向．②數(shù)量可以比較大小，向量不能比較大小．(2)向量與有向線段①區(qū)分：從定義上看，向量有大小和方向兩個(gè)要素，而有向線段有起點(diǎn)、方向和長度三個(gè)要素，因此它們是兩個(gè)不同的量．在空間中，有向線段是固定的，而向量是可以自由移動(dòng)的．②聯(lián)系：向量可以用有向線段表示，但并不能說向量就是有向線段．課下實(shí)力提升(十三)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]題組1向量的有關(guān)概念1．汽車以120km/h的速度向西走了2h，摩托車以45km/h的速度向東北方向走了2h，則下列命題中正確的是()A．汽車的速度大于摩托車的速度B．汽車的位移大于摩托車的位移C．汽車走的路程大于摩托車走的路程D．以上都不對(duì)解析：選C速度和位移是向量，由向量不能比較大小可知A，B錯(cuò)；汽車走的路程為240km，摩托車走的路程為90km，故C正確．2.如圖，在圓O中，向量，，是()A．有相同起點(diǎn)的向量B．單位向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：選C由題圖可知三向量方向不同，但長度相等．3．下列命題：①若a是單位向量，b也是單位向量，則a與b的方向相同或相反；②若向量是單位向量，則向量也是單位向量；③以坐標(biāo)平面上的定點(diǎn)A為起點(diǎn)，全部單位向量的終點(diǎn)P的集合是以A為圓心的單位圓．其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3解析：選C由單位向量的定義知，凡長度為1的向量均稱為單位向量，對(duì)方向沒有任何要求，故①不正確．因?yàn)閨|＝||，所以當(dāng)是單位向量時(shí)，也是單位向量，故②正確．因?yàn)橄蛄渴菃挝幌蛄?，故||＝1，所以點(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上的一點(diǎn)；反過來，若點(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上的隨意一點(diǎn)，則因?yàn)閨|＝1，所以向量是單位向量，故③正確．題組2向量的表示4．一個(gè)人先向東行進(jìn)了5千米，而后又向西行進(jìn)了3千米，那么這個(gè)人總共()A．向東行進(jìn)了8千米B．向東行進(jìn)了2千米C．向東行進(jìn)了5千米D．向西行進(jìn)了3千米解析：選B記向東方向?yàn)檎?，則向東行進(jìn)了5千米為＋5千米，向西行進(jìn)了3千米為－3千米，則＋5＋(－3)＝＋2，表示向東行進(jìn)了2千米．5．如圖，在矩形ABCD中，可以用一條有向線段表示的向量是()A．和B．和C．和D．和解析：選B和方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一條有向線段表示．6.在如圖的方格紙中，畫出下列向量．(1)||＝3，點(diǎn)A在點(diǎn)O的正西方向；(2)||＝3eq\r(2)，點(diǎn)B在點(diǎn)O北偏西45°方向；(3)求出||的值．解：取每個(gè)方格的單位長為1，依題意，結(jié)合向量的表示可知，(1)(2)的向量如圖所示．(3)由圖知，△AOB是等腰直角三角形，所以||＝eq\r(|OB→|2－|OA→|2)＝3.題組3相等向量與共線向量7．在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，則如圖所示的向量中，相等向量有()A．一組B．二組C．三組D．四組解析：選A由向量相等的定義可知，只有一組向量相等，即＝.8．如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O中的隨意一點(diǎn)為起點(diǎn)，與起點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的全部向量中，與向量共線的向量共有()A．2個(gè)B．3個(gè)C．6個(gè)D．9個(gè)解析：選D與向量共線的向量有，，，，，，，，，共9個(gè)．9．如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形，那么以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中：(1)與共線的向量有_____________________________________________；(2)與相等的向量有_____________________________________________；(3)與模相等的向量有___________________________________________．解析：(1)與已知向量在同始終線上或平行的向量都是它的共線向量，依據(jù)題意，與共線的向量有，，，，，，.(2)與已知向量相等的向量與已知向量方向相同、長度相等，于是與相等的向量有，.(3)向量的模相等，只需長度相等，與方向無關(guān)，依據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，可知與模相等的向量有，，，，，，，，.答案：(1)，，，，，，(2)，(3)，，，，，，，，10．如圖是4×3的矩形(每個(gè)小方格的邊長都是1)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，與向量平行且模為eq\r(2)的向量共有幾個(gè)？與向量方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有幾個(gè)？解：(1)依題意，每個(gè)小方格的兩條對(duì)角線中，有一條對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量及其相反向量都和平行且模為eq\r(2).因?yàn)楣灿?2個(gè)小方格，所以滿意條件的向量共有24個(gè)．(2)易知與向量方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有2個(gè)．[實(shí)力提升綜合練]1．如圖所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，則與向量相等的向量是()A．與B．與C．與D．與解析：選B向量相等要求模相等，方向相同，因此與都是和相等的向量．2．已知在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則||＝()A．1B.eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)解析：選D易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則AO＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝eq\r(3)，則||＝2||＝2eq\r(3).故選D.3．下列說法中正確的是()A．||與線段BA的長度不相等B．對(duì)任一向量a，|a|>0總是成立的C．||＝||D．若a∥b，且|a|＝1005，|b|＝1013，則|a＋b|＝2018解析：選C||，||分別與線段AB，BA的長度相等，所以A不正確，C正確；|0|＝0，對(duì)任一向量a，|a|≥0總成立，所以B不正確；對(duì)于D，當(dāng)a與b方向相反時(shí)，|a＋b|＝8，故D不正確．4．給出下列命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若a∥b，則|a|＝|b|.其中，正確的命題有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)解析：選A①忽視了0與0的區(qū)分，a＝0；②混淆了兩個(gè)向量的模相等和兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，兩個(gè)向量的模相等，只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定；③兩個(gè)向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等．5．設(shè)a0，b0分別是a，b的單位向量，則下列結(jié)論中正確的是________(填序號(hào))．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.解析：因?yàn)閍0，b0是單位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③6.如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形．(1)