試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁參照秘密級管理★啟用前試卷類型：A2022級高三校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)2025.4考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，則實數(shù)a=（

）A．1 B．-1 C．2 D．-23．“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，恰好構(gòu)成公差為5的等差數(shù)列，則這組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．30 B．40 C．50 D．605．如圖，已知同一平而上的三條直線a，b，c相交于同一點O，兩兩夾角均為，點A，B分別在直線a，b上，且，設(shè)，若點P落在陰影部分（不含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．6．將5名志愿者隨機分配到3個項目(衛(wèi)生、宣傳、審計)服務(wù)，衛(wèi)生項目與宣傳項目各分配2名志愿者，審計項目只需1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．30種 B．60種 C．90種 D．180種7．已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列的通項公式，在每相鄰兩項，之間插入個2（），使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，則成立的n的最小值為（

）A．20 B．21 C．22 D．23二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知樣本空間，其中每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，事件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件A與事件B互斥 B．事件B與事件C相互獨立C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期是πC．的值域為 D．在上單調(diào)遞增11．在三棱錐中，是邊長為的正三角形，，P為其表面上一點，記點與四個頂點的距離分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該三棱錐的外接球的表面積為B．若，，則點P存在且唯一C．若，則的最小值為D．的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，則．13．已知與x軸相交于C，D兩點，點，以AB為直徑的圓與⊙O內(nèi)切，則△BCD面積的最大值為．14．定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在正數(shù)K，對任意的，不等式恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上滿足K-條件．若函數(shù)在區(qū)間上滿足K-條件，則K的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知(1)求；(2)設(shè)的中點為，若，求的面積．16．如圖，在三棱柱中，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值．17．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若方程有3個不同的實數(shù)解，求a的取值范圍．18．在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與拋物線交于A，B兩點，當(dāng)直線l平行于y軸時，．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l的斜率存在，直線AO與直線相交于點D，過點B且與拋物線C相切的直線交x軸于點E．（ⅰ）證明：；（ⅱ）是否存在直線l使得四邊形ABDE的面積為？若存在，說明直線l有幾條；若不存在，請說明理由．19．設(shè)，數(shù)對按照如下方式生成：①規(guī)定；②拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)硬幣正面朝上時，，；當(dāng)硬幣反面朝上時，，(1)寫出數(shù)對的所有可能結(jié)果；(2)當(dāng)時，記的概率為．（ⅰ）求及的最大值；（ⅱ）設(shè)的數(shù)學(xué)期望為，求．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】解一元二次不等式求出集合B，再求交集即可.【詳解】易知，解之得，即，所以.故選：A2．D【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，所以.故選：D.3．A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和條件的判斷方法進行判斷.【詳解】因為函數(shù)在單調(diào)遞增，所以等價于，所以“”是“”的充要條件.故選：A4．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及平均值求法得均值為，再應(yīng)用方差公式求方差即可.【詳解】由題設(shè)，所以.故選：C5．C【分析】由題意，結(jié)合圖形，易得，且，設(shè)，求出，由的兩種表示式整理得到，從而建立不等式，解之即得.【詳解】設(shè)依題意，，因點P落在陰影部分（不含邊界），且，易得，且，由，可得，由，又，故可得：，即，因，則，即，由，可得，整理得：，因，故得，即；由，可得，整理得：顯然成立.綜上分析，可得.故選：C.6．A【分析】利用分步計數(shù)原理和組合數(shù)計算.【詳解】先從5名志愿者選2名參加衛(wèi)生項目，有種，再在剩下的3人中選2人參加宣傳項目，有種，剩下的1名志愿者參加審計項目，所以共有種分配方案.故選：A7．D【分析】當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以值域為：，由分段函數(shù)的值域為R，所以當(dāng)時，的取值包含的每一個取值，求解參數(shù)a的取值范圍即可.【詳解】因為函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以值域為：，要使得分段函數(shù)的值域為R，則當(dāng)時，的取值包含的每一個取值，所以，解得，故選：D8．B【分析】根據(jù)已知列舉出的項，再根據(jù)數(shù)列構(gòu)成求、，即可得.【詳解】由題設(shè)，數(shù)列各項依次為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以成立的n的最小值為21.故選：B9．BD【分析】根據(jù)已知及互斥事件定義判斷A；由已知得、，根據(jù)獨立事件的判定、條件概率公式判斷B、C、D.【詳解】由，即不是互斥事件，A錯；由，則且，故，B對；由，則，且，顯然，C錯；由，則，故，D對.故選：BD10．AC【分析】利用奇偶性定義判斷A；由奇偶對稱性，只需寫出上解析式，畫出部分圖象分析判斷B、C、D即可.【詳解】函數(shù)的定義域為R，且，所以是偶函數(shù)，A對；在上，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)部分圖象如下(注意偶函數(shù)的對稱性)，

由圖知，所以的最小正周期為，值域為，B錯、C對；由且，結(jié)合圖知在上不單調(diào)，D錯.故選：AC11．ACD【分析】A：通過正方體外接球即可判斷；B：找出線段的中垂面與線段的中垂面的交線與表面的交點即可；C：確定滿足的點的軌跡是以為焦點的橢球面與三棱錐的表面的截線，然后判定線段與橢球面必有交點，即可得到最小值為，從而判斷C正確；D：建立空間坐標系，設(shè)，確定滿足的條件，用可以表示四個距離的平方和，由對稱性只需討論點在面內(nèi)和在面內(nèi)兩種情況，利用配方法和不等式方法可求最小值，然后比較得到總得最小值，從而判定D正確.【詳解】

由，△ABC是邊長為的正三角形，結(jié)合勾股定理易知兩兩垂直，所以該三棱錐的外接球即為棱長為1的正方體的外接球，易知球的直徑為，所以外接球的表面積為，A正確；因，則為線段的中垂面與線段的中垂面的交線與表面的交點，如圖，

有兩個點，故B錯誤；對于C：取的中點，易得,設(shè)點在面上，，故點在以為焦點，2為長軸長的橢圓上，.而，故點在橢圓外，在空間中將該橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周得到橢球面，則橢球面上任一點都，由于點必須是三棱錐的表面上的一點，所以點的軌跡是上述橢球面與該三棱錐的表面的截線.而，故點在橢球面內(nèi)，因為，所以也在橢球面外，因此線段與橢球面必有2個不同交點，兩點中的任意一點到的距離之和都等于，根據(jù)兩點之間線段距離最短，其余的點到的距離之和都大于，故的最小值為，故C正確；如圖建立空間直角坐標系，則，設(shè)，則.①若點在坐標平面上，由對稱性，不妨設(shè)平面，則，，此時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；

②若點平面，平面的法向量為，由得，且，消去整理得因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.綜上，，故D正確.故選：ACD12．【詳解】試題分析：或，．考點：（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2）二倍角公式13．8【分析】由兩圓內(nèi)切可以判定得到B的軌跡方程為橢圓，根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可確定最大值.【詳解】如圖，設(shè)以為直徑的圓的圓心為，，因為兩圓內(nèi)切，所以，又為的中位線，所以，所以，所以的軌跡為以，為焦點的橢圓，，，顯然當(dāng)為橢圓短軸頂點即時，的面積最大，最大值為.故答案為：814．【分析】先求出在區(qū)間的單調(diào)性，再結(jié)合K-條件的定義進行分析，從而求K的取值范圍，即可求出K的最小值.【詳解】因為，令，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，又因為，所以在上恒成立，所以，則在上單調(diào)遞增，設(shè)，所以，若函數(shù)在區(qū)間上滿足K-條件因此對任意恒成立，所以對任意恒成立，則對任意恒成立，令，所以在上單調(diào)遞減，在恒成立，所以，又因為在上單調(diào)遞減，.所以，所以K的最小值為.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換求解即可；（2）利用和和向量數(shù)量積的運算律聯(lián)立解出和，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）因為的內(nèi)角的對邊分別為，，所以由正弦定理邊化角可得①，又因為中，所以②，將②式代入①式可得，因為，，所以，即，因為，所以，.（2）因為為中點，，所以③，④，③④聯(lián)立解得，，所以，的面積.16．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由已知得，應(yīng)用線面垂直的判定證明面，再由面面垂直的判定證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知構(gòu)建合適的空間直角坐標系，根據(jù)線面角的正弦值及向量法求得，進而確定相關(guān)向量的具體坐標，最后應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.【詳解】（1）在中，，，則，所以，則，由，都在面內(nèi)，則面，又面，所以面面；（2）由（1）及，即兩兩垂直，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，如下圖示，設(shè)，由（1），則，所以，若是面的一個法向量，則，取，則，設(shè)直線與面所成角為，則，所以，則，在中，則，若是面的一個法向量，則，取，則，設(shè)面與面所成角為，則.17．(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）令，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，確定每種情況下函數(shù)的零點個數(shù)，并結(jié)合零點存在定理可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，的定義域為，所以，，又因為，所以切點為，所以曲線在點處的切線方程為：，化簡可得：.（2）令，函數(shù)的定義域為，．①當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)至多一個零點，不合題意；②當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，，即對任意的恒成立，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個零點，不合題意；當(dāng)時，因為，所以方程有兩個實數(shù)根、，且滿足，，不妨設(shè)，則，、的情況如下：增極大值減極小值增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是、，單調(diào)遞減區(qū)間是．因為，所以為的一個零點．又，，且，所以存在唯一實數(shù)，使得．又，，且，所以存在唯一實數(shù)，使得．所以函數(shù)有個不同的零點，方程有3個不同的實數(shù)解，綜上，的取值范圍為．18．(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）存在，4條.【分析】（1）根據(jù)已知有點在拋物線上，代入拋物線求參數(shù)，即可得方程；（2）（i）設(shè)，，，聯(lián)立直線與拋物線并應(yīng)用韋達定理得，，導(dǎo)數(shù)的幾何意義求點處切線方程，且，進而得到、，易得，即可證；（ii）連接，由（i）得，則有四邊形為平行四邊形，再由且，結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)研究根的個數(shù)，即可得.【詳解】（1）當(dāng)直線軸時，則點在拋物線上，故，所以拋物線方程為；（2）（i）由題設(shè)，直線的斜率存在且不為0，設(shè)，則斜率，若，，聯(lián)立，得，所以，，由，則，故點處切線斜率為，所以對應(yīng)切線方程為，令，故，由，令，則，故，所以，所以，即，所以；（ii）連接，由（i）得，，則，又，所以軸，即四邊形為平行四邊形，所以，若四邊形的面積為，則，整理得，令且，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，又，所以使，在上，在上單調(diào)遞減，在上，在上單調(diào)遞增，而，，存在使，所以在上有兩個零點，為和，即在上有2個不同根，由對稱性，四邊形的面積為的直線共有4條.19．(1)答案見解析；(2)①，最大值為；②.【分析】（1）寫出所有拋擲結(jié)果即可得到答案；（2）①分析計算得，再構(gòu)造等比數(shù)列即可得到和其最值；②分析得，再分類討論和的情況即可.【詳解】（1）當(dāng)拋鄭兩次硬幣結(jié)果為（正，正）時，；當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（正，反）時，；當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（反，正）時，；當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（反，反）時，．（2）易知當(dāng)時，；