第02講平行線及其判定【題型1平行線定義】【題型2平行線公理及推論】【題型3平行線判定-同位角相等，兩直線平行】【題型4平行線判定-內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】【題型5平行線判定-同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】考點(diǎn)1：平行線的定義及畫(huà)法1．定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a∥b．注意：(1)平行線的定義有三個(gè)特征：一是在同一個(gè)平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時(shí)說(shuō)兩條射線平行或線段平行，實(shí)際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系．2.平行線的畫(huà)法：用直尺和三角板作平行線的步驟：①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過(guò)已知點(diǎn).④畫(huà)：沿著這條斜邊畫(huà)一條直線,所畫(huà)直線與已知直線平行.【題型1平行線定義】【典例1】（2023春?青龍縣期末）在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不對(duì)【答案】C【解答】解：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系，是平行或相交，所以在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是：平行或相交．故選：C．【變式1-1】（2023春?榕城區(qū)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．兩點(diǎn)之間，直線最短 B．不相交的兩條直線叫做平行線 C．平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離【答案】C【解答】解：A．兩點(diǎn)之間，線段最短，故A不符合題意．B．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，故B不符合題意．C．平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故C符合題意．D．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，故D不符合題意．故選：C．【變式1-2】（2023春?宣化區(qū)期中）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，產(chǎn)生的折痕與折痕之間的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．無(wú)法確定【答案】A【解答】解：觀察圖形可知，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，產(chǎn)生的折痕與折痕之間的位置關(guān)系是平行．故選：A．【變式1-3】（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方體ABCD﹣EFGH中，下列各棱與棱AB平行的是（）A．BC B．CG C．EH D．HG【答案】D【解答】解：結(jié)合圖形可知，與棱AB平行的棱有CD，EF，GH．故選：D．考點(diǎn)2：平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．記作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．（2）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性【題型2平行線公理及推論】【典例2】（2023春?利川市期中）若直線a，b，c，d有下列關(guān)系，則推理正確的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【答案】C【解答】解：A、∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合題意；B、∵a∥c，b∥d，∴c與d不一定平行，故B不符合題意；C、∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合題意；D、∵a∥b，c∥d，∴a與c不一定平行，故D不符合題意；故選：C．【變式2-1】（2023春?新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，則直線a和c應(yīng)滿足的位置關(guān)系是（）A．在同一個(gè)平面內(nèi) B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一個(gè)平面內(nèi)【答案】C【解答】解：當(dāng)a∥c時(shí)，a∥b，c∥d，得b∥d；當(dāng)a、c重合時(shí)，a∥b，c∥d，得b∥d，故C正確；故選：C．【變式2-2】（2023春?南寧月考）a、b、c是直線，下列說(shuō)法正確的是（）A．若a⊥b，b∥c，則a∥c B．若a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．若a∥b，b⊥c，則b∥c D．若a∥b，b∥c，則a∥c【答案】D【解答】解：A、在同一平面內(nèi)，若a⊥b，b∥c，則a⊥c，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、在同一平面內(nèi)，若a⊥b，b⊥c，則a∥c，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、在同一平面內(nèi)，若a∥b，b⊥c，則a⊥c，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、若a∥b，b∥c，則a∥c，正確，符合題意．故選：D．【變式2-3】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b∥c，則a∥c B．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b⊥c，則a∥c D．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥c【答案】D【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、在同一平面內(nèi)，當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a∥c，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、當(dāng)a∥b，b⊥c時(shí)，a⊥c，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、當(dāng)a∥b，b∥c時(shí)，a∥c，故選項(xiàng)正確；故選：D．考點(diǎn)3：平行線判定判定方法（1）：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線平行。幾何語(yǔ)言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行?！摺?＝∠3∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)單說(shuō)成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行?！摺?＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）【題型3平行線判定-同位角相等，兩直線平行】【典例3】（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A在射線DE上，點(diǎn)C在射線BF上，∠B+∠BAD＝180°，∠1＝∠2．求證：AB∥CD．請(qǐng)將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：∵∠B+∠BAD＝180°（已知），∠1+∠BAD＝180°，∴∠1＝∠B，∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠B（等量代換），∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）．【答案】∠B；∠B；等量代換；同位角相等，兩直線平行．【解答】證明：∵∠B+∠BAD＝180°（已知），∠1+∠BAD＝180°，∴∠1＝∠B，∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠B（等量代換），∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：∠B；∠B；等量代換；同位角相等，兩直線平行．【變式3-1】（2023春?禪城區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知E，B，C三點(diǎn)共線，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB，試說(shuō)明：BF∥AC．因?yàn)锽E平分∠DBF（已知），所以∠1＝＝∠2（角平分線的定義），又因?yàn)椤?＝∠ACB（已知），所以∠2＝∠ACB（等量代換）．所以BF∥AC（同位角相等，兩直線平行）．【答案】見(jiàn)解析．【解答】解：因?yàn)锽E平分∠DBF（已知），所以∠1＝∠2（角平分線的定義），又因?yàn)椤?＝∠ACB（已知），所以∠2＝∠ACB（等量代換）．所以BF∥AC（同位角相等，兩直線平行）．【變式3-2】（2023春?瀘縣校級(jí)期末）如圖，已知∠1＝∠2，CD、EF分別是∠ACB、∠AED的平分線．求證：BC∥DE．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解答．【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴EF∥CD，∴∠3＝∠4，∵CD、EF分別是∠ACB、∠AED的平分線，∴∠ACB＝2∠3，∠AED＝2∠4，∴∠AED＝∠ACB，∴BC∥DE．【變式3-3】（2022秋?城陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，CD與EF相交于點(diǎn)H，且∠BDC+∠DHF＝180°，∠DEF＝∠B．求證：DE∥BC．【答案】證明見(jiàn)解答．【解答】證明：∵∠BDC+∠DHF＝180°，∴BD∥FH，∴∠B＝∠EFC，∵∠DEF＝∠B，∴∠EFC＝∠DEF，∴DE∥BC．【題型4平行線判定-內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】【典例4】（2023春?阿榮旗期末）已知：如圖，CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥CD證明∵CE平分∠ACD（已知）∴∠2＝∠ECD（角平分線定義）∵∠1＝∠2（已知）；∴∠1＝∠ECD（等量代換）∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠ECD（角平分線定義），∵∠1＝∠2（已知）；∴∠1＝∠ECD（等量代換），∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【變式4-1】（2023春?門(mén)頭溝區(qū)期末）按要求完成下列證明：已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是AC上一點(diǎn)，且∠1+∠2＝90°．求證：DE∥BC．證明：∵CD⊥AB（已知），∴∠1+∠EDC＝90°（垂直定義）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠EDC＝∠2（同角的余角相等）．∴DE∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵CD⊥AB（已知），∴∠1+∠EDC＝90°（垂直定義）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠EDC＝∠2（同角的余角相等）．∴DE∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【變式4-2】（2022秋?秦州區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC，請(qǐng)說(shuō)明AE∥GF的理由．解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（鄰補(bǔ)角的定義），所以∠BAG＝∠AGC（同角的補(bǔ)角相等）．因?yàn)镋A平分∠BAG，所以∠1＝∠BAG（角平分線的定義）．因?yàn)镕G平分∠AGC，所以∠2＝∠AGC，得∠1＝∠2（等量代換），所以AE∥GF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【答案】已知；鄰補(bǔ)角的定義；同角的補(bǔ)角相等；∠BAG；角平分線的定義；∠AGC；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【解答】解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（鄰補(bǔ)角的定義），所以∠BAG＝∠AGC（同角的補(bǔ)角相等），因?yàn)镋A平分∠BAG，所以∠1＝∠BAG（角平分線的定義），因?yàn)镕G平分∠AGC，所以∠2＝∠AGC，得∠1＝∠2（等量代換），所以AE∥GF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：已知；鄰補(bǔ)角的定義；同角的補(bǔ)角相等；∠BAG；角平分線的定義；∠AGC；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【變式4-3】（2023春?中山區(qū)期末）如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分別平分∠ABC和∠BCD，求證BE∥CF．【答案】證明見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】證明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠ABC＝90°，∠BCD＝90°，∵BE，CF分別平分∠ABC和∠BCD，∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠BCF＝∠BCD＝45°，∴∠EBC＝∠BCF，∴BE∥CF．【題型5平行線判定-同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】【典例5】（2022秋?市北區(qū)期末）如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求證：DE∥BC．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵∠1+∠2＝180°（已知）∵∠1＝∠4（對(duì)頂角相等）∴∠2+∠4＝180°（等量代換）∴AB∥EF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠3＝∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵∠3＝∠B（已知）∴∠B＝∠ADE（等量代換）∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）【變式5-1】（2023春?船營(yíng)區(qū)期末）如圖，一個(gè)彎形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，這時(shí)說(shuō)管道AB∥CD對(duì)嗎？為什么？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：說(shuō)管道AB∥CD是對(duì)的．理由：∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°∴∠ABC+∠BCD＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．【變式5-2】（2022秋?城陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，CD與EF相交于點(diǎn)H，且∠BDC+∠DHF＝180°，∠DEF＝∠B．求證：DE∥BC．【答案】證明見(jiàn)解答．【解答】證明：∵∠BDC+∠DHF＝180°，∴BD∥FH，∴∠B＝∠EFC，∵∠DEF＝∠B，∴∠EFC＝∠DEF，∴DE∥BC．【變式5-3】（2022?青山區(qū)模擬）如圖，E在四邊形ABCD的邊CD的延長(zhǎng)線上，連接BE交AD于F，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，求證：AB∥CD．【答案】證明見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】證明：∵∠1+∠2＝180°，∴AD∥BC，∴∠3＝∠C，∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠3，∴AB∥CD．一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?新野縣期末）如圖，給出了過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．對(duì)頂角相等，兩直線平行【答案】A【解答】解：如圖，給出了過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是同位角相等，兩直線平行．故選：A．2．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)三模）如圖，可以得到DE∥BC的條件是（）A．∠ACB＝∠BAC B．∠ABC+∠BAE＝180° C．∠ACB+∠BAD＝180° D．∠ACB＝∠BAD【答案】B【解答】解：∵∠ABC+∠BAE＝180°，∴DE∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故選：B．3．（2022秋?洛江區(qū)校級(jí)期末）如圖，下列條件中，一定能判斷AB∥CD的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠B＝∠C D．∠1＝∠D【答案】C【解答】解：由∠1＝∠3不能判定AB∥CD，故A不符合題意；由∠2＝∠4不能判定AB∥CD，故B不符合題意；∵∠B＝∠C，∴AB∥CD，故C符合題意；∵∠1＝∠D，∴AF∥DE，故D不符合題意；故選：C．4．（2023?岳麓區(qū)一模）如圖，為判斷一段紙帶的兩邊a，b是否平行，小明在紙帶兩邊a，b上分別取點(diǎn)A，B，并連接AB．下列條件中，能得到a∥b的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1+∠4＝180° D．∠1+∠3＝180°【答案】D【解答】解：A、∠1＝∠2，∠1和∠2是鄰補(bǔ)角，不能證明a∥b，不符合題意；B、∠1＝∠3，∠1和∠3是同旁內(nèi)角，同旁內(nèi)角相等不能證明a∥b，不符合題意；C、∠1+∠4＝180°，∠1和∠4屬于內(nèi)錯(cuò)角，內(nèi)錯(cuò)角互補(bǔ)不能證明a∥b，不符合題意；D、∵∠1+∠3＝180°，∴a∥b（同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行），符合題意．故選：D．5．（2023春?黃島區(qū)校級(jí)期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A【答案】D【解答】解：A、因?yàn)椤螦＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，兩直線平行），故本選項(xiàng)不符合題意．B、因?yàn)椤螦+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），故本選項(xiàng)不符合題意．C、因?yàn)椤?＝∠4，所以AB∥DF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故本選項(xiàng)不符合題意．D、因?yàn)椤?＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，兩直線平行），不能證出AB∥DF，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．6．（2022秋?丹東期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，則有AC∥DE C．如果∠2＝45°，則有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，則有BC∥AE【答案】B【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠1＝∠3，故A錯(cuò)誤．∵∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴AC∥DE，故B正確，∵∠2＝45°，∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，∵∠E+∠3＝∠B+∠4，∴∠4＝30°，∵∠D＝60°，∴∠4≠∠D，故C錯(cuò)誤，∵∠2＝50°，∴∠3＝40°，∴∠B≠∠3，∴BC不平行AE，故D錯(cuò)誤．故選：B．7．（2023春?通榆縣期末）下列圖形中，已知∠1＝∠2，則可得到AB∥CD的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、∠1和∠2的是對(duì)頂角，不能判斷AB∥CD，此選項(xiàng)不正確；B、∠1和∠2的對(duì)頂角是同位角，又相等，所以AB∥CD，此選項(xiàng)正確；C、∠1和∠2的是內(nèi)錯(cuò)角，又相等，故AD∥BC，不是AB∥CD，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∠1和∠2互為同旁內(nèi)角，同旁內(nèi)角相等兩直線不平行，此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．8．（2022秋?綠園區(qū)期末）如圖，將木條a，b與c釘在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是（）A．15° B．25° C．35° D．50°【答案】C【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°時(shí)，OA∥b，∴要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是85°﹣50°＝35°．故選：C．9．（2023春?新羅區(qū)期末）如圖，在下列給出的條件中，可以判定AB∥CD的有（）①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠4；④∠DAB+∠ABC＝180°；⑤∠BAD+∠ADC＝180°．A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．②③⑤【答案】D【解答】解：①∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合題意；②∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，符合題意；③∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，符合題意；④∠DAB+∠ABC＝180°；不能判定AB∥CD，不符合題意；⑤∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，符合題意．故選：D．10．（2023春?鳳臺(tái)縣期中）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）①經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離；④同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解答】解：①經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故①錯(cuò)誤；②在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故②錯(cuò)誤；③直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離，故③錯(cuò)誤；④同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，故④正確；故選：C．二．填空題（共6小題）11．（2023秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）同一平面內(nèi)三條直線a、b、c，若a⊥b，c⊥b，則a與c的關(guān)系是：a∥c．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a⊥b，c⊥b，∴a∥c．故答案為：a∥c．12．（2023春?同江市期末）如圖，點(diǎn)A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，在不添加輔助線的情況下，如果添加一個(gè)條件，使AB∥CD，則可以添加的條件為∠A＝∠CDE（答案不唯一）．（任意添加一個(gè)符合題意的條件即可）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠A＝∠CDE，∴AB∥CD．（答案不唯一）．故答案為：∠A＝∠CDE13．（2023春?衢江區(qū)期末）如圖是某小區(qū)大門(mén)的道閘欄桿示意圖，立柱BA垂直地面AE于點(diǎn)A，當(dāng)欄桿達(dá)到最高高度時(shí)，橫欄CD∥AE，此時(shí)∠ABC+∠BCD＝270°．【答案】270．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BF∥AE，∵CD∥AE，∴BF∥AE∥CD，∴∠BCD+∠CBF＝180°，∵BA⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠ABF＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝∠BCD+∠CBF+∠ABF＝180°+90°＝270°．故答案為：270．14．（2023春?漳平市期末）如圖，已知直線EF⊥MN垂足為F，且∠1＝140°，則當(dāng)∠2等于50°時(shí)，AB∥CD．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠4（兩直線平行，同位角相等）；又∵∠1+∠3＝180°（平角的定義），∠1＝140°（已知），∴∠3＝∠4＝40°；∵EF⊥MN，∴∠2+∠4＝90°，∴∠2＝50°；故答案為：50°15．（2023春?蓮池區(qū)期末）一副三角板按如圖所示（共頂點(diǎn)A）疊放在一起，若固定三角板ABC，改變?nèi)前錋DE的位置（其中A點(diǎn)位置始終不變），當(dāng)∠BAD＝30或150．°時(shí)，DE∥AB．【答案】30或150．【解答】解：由題意得∠ADE＝30°，∠ACB＝∠DAE＝90°，①如圖，當(dāng)∠BAD＝∠ADE＝30°時(shí)，可得AB∥DE；②如圖，當(dāng)∠BAD+∠D＝180°時(shí)，可得AB∥DE，則∠BAD＝180°﹣∠D＝150°．故答案為：30或150．16．（2023春?甘州區(qū)校級(jí)期中）如圖，現(xiàn)給出下列條件：①∠1＝∠2；②∠B＝∠5；③∠3＝∠4；④∠5＝∠D；⑤∠D+∠BCD＝180°．其中能夠得到AD∥BC的條件是①④⑤．（填序號(hào)）【答案】①④⑤．【解答】解：①④⑤中的條件，能判定AD∥BC，故①④⑤符合題意；②③中的條件，能判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故②③不符合題意．∴其中能夠得到AD∥BC的條件是①④⑤．故答案為：①④⑤三．解答題（共3小題）17．（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，AE與BD相交于點(diǎn)F，∠B＝∠C，∠1＝∠2．求證：AB∥CE．【答案】見(jiàn)解析．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AC∥BD，∴∠C＝∠BDE，∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠BDE，∴AB∥CE．18．（2023春?長(zhǎng)清區(qū)期中）已知，如圖，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1＝∠3．求證：AB∥DC，請(qǐng)根據(jù)條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．證明：∵BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝